Momente principale de inerție
După cum se arată în Tensorul de inerție, momentul unghiular al unui corp rigid în raport cu originea cadrului de referință local se exprimă ca
Dacă, din întâmplare, toți termenii extra-diagonali ai tensorului de inerție prezentat în devin zero, se poate simplifica în continuare la
Acest lucru se poate întâmpla atunci când se aliniază axele cadrului de referință local în așa fel încât masa corpului să se distribuie uniform în jurul axelor, astfel, termenii produsului de inerție dispar toți. Termenii diagonali care nu sunt zero din tensorul de inerție prezentat în se numesc momente principale de inerție ale obiectului.
Top
Axe principale
Cum se arată în , nu există nicio garanție că vectorul momentului unghiular are aceeași direcție cu cea a vectorului viteză unghiulară. Acest lucru cauzează o problemă: dacă direcția momentului unghiular continuă să se schimbe, acesta dezvoltă un cuplu care, în cele din urmă, forțează axa de rotație să se deplaseze. Acesta este principalul motiv care provoacă uzura și vibrațiile la mașinile cu piese rotative.
Dar în unele cazuri speciale, se poate îndeplini următoarea condiție, astfel încât vectorii momentului unghiular și al vitezei să prezinte aceeași direcție:
unde I = momentul scalar echivalent de inerție scalar al corpului în jurul axei de rotație. Orice axă de rotație a corpului care este suficientă se numește axă principală. Într-un corp tridimensional există un grup de axe principale (teoretic 3). De exemplu, există trei axe principale perpendiculare pentru sistemul prezentat în figura 1.
Figura 1
spune practic că tensorul de inerție poate fi înlocuit cu un singur moment de inerție scalar atunci când axa de rotație este o axă principală.
Top
Diagonalizarea tensorului de inerție
De la :
Oare poate fi simplificată la
unde 1 = matricea identitate. I arătată în se numește valoare proprie, în timp ce w este vectorul propriu. este ecuația valorilor proprii.
Pentru a avea o soluție non-trivială, determinantul coeficienților trebuie să dispară:
conduce la ecuația seculară care este practic cubică, deci oferă trei rădăcini (valori proprii): I1, I2 & I3. Fiecare rădăcină corespunde unui moment de inerție în jurul unei axe principale. De fapt, cele trei rădăcini sunt momentele principale de inerție ale corpului rigid introdus în :
După ce se cunosc valorile proprii, se pot calcula axele principale. Fie
unde n = vectorul unitar al axei principale, astfel,
Din & :
Pentru fiecare valoare proprie, se pot calcula nx, ny & nz corespunzătoare din & . Trebuie să se acorde atenție direcției vectorului propriu în acest proces.
În analiza mișcării, momentele principale de inerție pot fi obținute din proprietățile inerțiale ale segmentelor corpului. I1, I2 & I3 ale fiecărui segment sunt în general cunoscute. Datele sunt disponibile sub forma rapoartelor razei de girație (raportul dintre raza de girație și lungimea segmentului), a ecuațiilor de regresie și a coeficienților de scalare. Se pot calcula, de asemenea, momentele principale de inerție ale segmentelor corpului prin modelare cu ajutorul unor forme geometrice. A se vedea Estimarea BSP individualizată pentru detalii.
Top
.
