|
Imagine folosită cu permisiunea |
Dacă nu v-ați gândit niciodată că sex-appeal-ul poate fi calculat matematic, mai gândiți-vă o dată. Crabii violoniști masculi (Uca pugnax) posedă o gheară majoră mărită pentru a se lupta sau a amenința alți masculi. În plus, masculii cu gheare mai mari atrag mai multe partenere. Atractivitatea sexuală (mărimea ghearelor) a unei anumite specii de crab vioi este determinată de următoarea ecuație alometrică: Mc = 0,036 – Mb 1,356, |
|
|
Ce este alometria?
Allometria este studiul modificării relative a proporției unui atribut în comparație cu un altul în timpul creșterii organismului. Aceste atribute pot fi morfologice, fiziologice sau de altă natură. Un exemplu bine cunoscut de relație alometrică este masa scheletică și masa corporală. Mai exact, scheletul unui organism mai mare va fi relativ mai greu decât cel al unui organism mai mic. Desigur, pare evident că organismele mai grele necesită schelete mai grele. Dar este la fel de clar că organismele mai grele necesită schelete disproporționat de grele? Așadar, cum funcționează această relație? Luați în considerare următoarele date:
- un organism de 10 kg poate avea nevoie de un schelet de 0,75 kg,
- un organism de 60 kg poate avea nevoie de un schelet de 5,3 kg, și totuși
- un organism de 110 kg poate avea nevoie de un schelet de 10,2 kg.
După cum puteți vedea inspectând aceste cifre, organismele mai grele au nevoie de schelete relativ mai robuste pentru a le susține. Nu există o creștere constantă a masei scheletice pentru fiecare creștere de 50 kg a masei corporale; masa scheletului crește proporțional cu masa corporală .
Legile de scalare alometrică sunt derivate din date empirice. Oamenii de știință interesați să descopere aceste legi măsoară un atribut comun, cum ar fi masa corporală și dimensiunea creierului mamiferelor adulte, în mai mulți taxoni . Datele sunt apoi exploatate pentru a găsi relații din care se scriu ecuații.
Creșterea alometrică
Relațiile de scalare alometrică pot fi descrise cu ajutorul unei ecuații alometrice de forma:, f (s) = c s d,
(1) unde c și d sunt constante. Variabilele s și f (s) reprezintă cele două atribute diferite pe care le comparăm (de exemplu, masa corporală și masa scheletului). Această ecuație poate fi utilizată pentru a înțelege relația dintre două atribute. Mai exact, constanta d din acest model determină ratele relative de creștere ale celor două atribute reprezentate de s și f (s). Pentru simplitate, să luăm în considerare doar cazul d > 0.
- Dacă d > 1, atributul dat de f (s) crește în mod disproporționat față de atributul dat de s. De exemplu, dacă s reprezintă mărimea corpului, atunci f (s) este relativ mai mare pentru corpurile mai mari decât pentru corpurile mai mici.
- Dacă 0 < d < 1, atributul f (s) crește odată cu atributul s, dar o face într-un ritm mai lent decât cel al proporționalității.
- Dacă d = 1, atunci atributul f (s) se modifică ca o proporție constantă a atributului s. Acest caz special se numește izometrie, mai degrabă decât alometrie.
Utilizarea ecuațiilor alometrice
Observați că (1) este o funcție de putere și nu o ecuație exponențială (constanta d se află în poziția de exponent în locul variabilei s). Spre deosebire de alte aplicații în care avem nevoie de logaritmi pentru a ne ajuta să rezolvăm ecuația, aici folosim logaritmi pentru a simplifica ecuația alometrică într-o ecuație liniară.
Iată cum funcționează
Scriem din nou (1) ca o ecuație logaritmică de forma:
log (f (s)) = log (c s d). (2) Apoi, folosind proprietățile logaritmilor, putem rearanja (2) după cum urmează, = log c + log (s d), = log c + d log s. (3) Când schimbăm variabilele prin lăsare,
= log f, = log c, = d, = log s. se poate observa că (3) este de fapt ecuația liniară = mx + b. (4) Prin urmare, transformarea unei ecuații alometrice în echivalentul său logaritmic dă naștere unei ecuații liniare.
De ce să ne batem capul?
Rezcriind ecuația alometrică într-o ecuație logaritmică, putem calcula cu ușurință valorile constantelor c și d dintr-un set de date experimentale. Dacă reprezentăm log s pe axa x și log f pe axa y, ar trebui să vedem o dreaptă cu panta egală cu d și cu intercepția y egală cu log c. Rețineți, variabilele x și y sunt într-adevăr pe o scară logaritmică (deoarece x = log s și y = log f). Un astfel de grafic se numește grafic log-log.
Pentru că ecuațiile alometrice sunt derivate din date empirice, trebuie să fim precauți cu privire la datele împrăștiate în jurul unei linii de cea mai bună potrivire în planul xy al unui grafic log-log. Abaterile mici de la o linie de cea mai bună potrivire sunt de fapt mai mari decât ar putea părea. Rețineți că, întrucât variabilele x și y sunt pe scara logaritmică, modificările liniare ale variabilelor de ieșire (x și y) corespund unor modificări exponențiale ale variabilelor de intrare (f (s) și s). Din moment ce suntem interesați în cele din urmă de o relație între f și s, trebuie să fim preocupați chiar și de abaterile mici de la o linie de cea mai bună potrivire.
Acum să ne întoarcem la crabul nostru violonist ca exemplu concret.