Jedním ze základních pojmů fyziky je energie. Je obtížné definovat, co to vlastně energie je, ale jedna z užitečných definic by mohla znít: „míra velikosti změny, která se odehrává v systému, nebo potenciál změny, která se v systému odehrává“.
Hrubě řečeno, energii lze rozdělit na dvě formy, kinetickou a potenciální. Kinetická energie je energie pohybu nebo změny. Potenciální energie je energie, kterou má systém v důsledku toho, že může projít nějakou změnou. Uvedeme konkrétní příklad: padající kniha má kinetickou energii, protože se mění její poloha v prostoru (pohybuje se směrem dolů). Kniha ležící na polici nemá vzhledem k polici žádnou potenciální energii, protože má vzhledem k polici výšku nula metrů. Pokud je však kniha vyzdvižena do určité výšky nad polici, pak má potenciální energii úměrnou výšce, ve které se nad policí nachází.
Objekt může mít současně kinetickou i potenciální energii. Například předmět, který padá, ale ještě nedosáhl země, má kinetickou energii, protože se pohybuje směrem dolů, a potenciální energii, protože se může pohybovat směrem dolů ještě dále, než se již pohyboval. Součet potenciální a kinetické energie objektu se nazývá mechanická energie objektu.
Při pádu objektu jeho potenciální energie klesá, zatímco jeho kinetická energie roste. Pokles potenciální energie se přesně rovná nárůstu kinetické energie.
Dalším důležitým pojmem je práce. Podobně jako jsme definovali energii, můžemedefinovat práci jako „míru velikosti změny vyvolané v systému působením energie“. Práci můžete vykonat například tak, že zvednete knihu z podlahy a položíte ji na polici. Tím jste zvýšili potenciální energii knihy (tím, že jste zvýšili její potenciál spadnout na podlahu). Množství potenciální energie, které jste knize „dodali“, se přesně rovná množství práce, kterou jste vykonali jejím zvednutím na polici.
Matematicky lze však energii definovat velmi snadno. Kinetická energie je 1/2 m v^2. S potenciální energií je to trochu složitější. Řekněme, že máme sílu, kterou lze zapsat jako gradient (trojrozměrnou derivaci. Pokud nevíte, co to je, předstírejte, že je to normální derivace, a měli byste být schopni pochopit věci v jednom rozměru) nějaké funkce, ϕ {\displaystyle \phi }. 
Můžeme stručně uvést následující princip, který platí pro uzavřené systémy (tj. když nedochází k interakcím s věcmi mimo systém):
Při všech fyzikálních procesech probíhajících v uzavřených systémech se velikost změny kinetické energie rovná velikosti změny potenciální energie. Pokud se kinetická energie zvyšuje, potenciální energie se snižuje a naopak.
Pokud uvažujeme o otevřených systémech (tj. pokud dochází k interakcím s věcmi mimo systém), je možné energii do systému přidávat (tím, že na něm vykonáme práci) nebo ze systému odebírat (tím, že systém vykoná práci). V tomto případě platí následující pravidlo:
Celková energie systému (kinetická plus potenciální) se zvětšuje o množství práce vykonané na systému a zmenšuje o množství práce, kterou systém vykoná.
To nás vede k úvahám o zachování energie a dalších veličin.
V mnoha případech platí, že „dostanete ven to, co jste vložili dovnitř“.
Dáte-li do prázdné sušičky 3 páry ponožek, nemusíte analyzovat přesnou konfiguraci sušičky, teplotní profil ani další věci, abyste zjistili, kolik ponožek ze sušičky vyjde. Vyjdou 3 páry ponožek.
Zákon zachování ve své nejobecnější podobě jednoduše říká, že celkové množství nějaké veličiny v uzavřeném systému se nemění. Ve výše uvedeném příkladu by zachovávanou veličinou byly ponožky, systémem by byla sušička a systém je uzavřený, dokud nikdo nevkládá ponožky do sušičky ani je z ní nevybírá. Pokud systém není uzavřený, můžeme vždy uvažovat větší systém, který je uzavřený a který zahrnuje systém, o němž jsme původně uvažovali (např. dům, v němž se sušička nachází), i když v extrémních případech nás to může vést k tomu, že budeme uvažovat o počtu ponožek (nebo čehokoli jiného) v celém vesmíru!“
Zákony zachování nám pomáhají rychle řešit problémy, protože víme, že na konci nějakého procesu budeme mít stejné množství zachovávané veličiny jako na začátku. Základní zákony zachování jsou;
- zachování hmotnosti
- zachování energie
- zachování hybnosti
- zachování momentu hybnosti
- zachování náboje
Vrátíme-li se k našemu příkladu výše, „zachování ponožek“ je ve skutečnosti důsledkem zákona zachování hmotnosti.
Je třeba poznamenat, že v souvislosti s jadernými reakcemi lze energii přeměnit na hmotnost a naopak. Při takových reakcích se celkové množství hmoty plus energie nemění. Proto se první dva z těchto zákonů zachování často považují za jediný zákon zachování hmoty a energie
Kombinací těchto zákonů s Newtonovými zákony získáme další odvozené zachovávané veličiny, například
- zachování momentu hybnosti
V uzavřeném systému se vždy zachovává celkové množství energie. To se převede jako součet n změn energie, které dohromady činí 0.
∑ k = 1 n Δ E k = 0 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\Delta \mathbf {E} _{k}=0}
Příkladem takové změny energie je pád míče ze vzdálenosti nad zemí. Energie míče se při pádu mění z potenciální energie na kinetickou.
U g = m g h K = 1 2 m v 2 {\displaystyle {\begin{matrix}}U_{g}&=&m\mathbf {g} h\\K&=&{1 \nad 2}m\mathbf {v} ^{2}\end{matrix}}}}
Protože se jedná o jedinou změnu energie v naší soustavě, vezmeme jednoduchý fyzikální problém a pro demonstraci ho namodelujeme.
Předmět o hmotnosti 10 kg je upuštěn z výšky 3m. Jaká je jeho rychlost, když se nachází 1 m nad zemí?“
Začneme vyhodnocením potenciální energie, když je předmět v počátečním stavu.
U g = m g h U g = 30 g g = 9,807 m s – 2 U g = 30 ⋅ 9,807 U g 3 = 294,21 J {\displaystyle {\begin{matrix}U_{g}&=&m\mathbf {g} h\\U_{g}&=&30\mathbf {g} \\\mathbf {g} &=&9.807ms^{-2}\\U_{g}&=&30\cdot 9.807\\U_{g3}&=&294.21J\end{matrix}}}
Potenciální energie objektu ve výšce 1m nad zemí je dána podobným způsobem.
U g = m g h U g = 10 g U g = 10 ⋅ 9,807 U g 1 = 98,07 J {\displaystyle {\begin{matrix}U_{g}&=&m\mathbf {g} h\\U_{g}&=&10\mathbf {g} \\U_{g}&=&10\cdot 9.807\\U_{g1}&=&98.07J\end{matrix}}}
Zde je dána změna potenciální energie
Δ U g = 294.21 – 98,07 = 196,14 J {\displaystyle {\begin{matrix}\Delta U_{g}&=&294,21-98,07=196,14J\end{matrix}}}
Podle definice je změna potenciální energie rovna změně kinetické energie. Počáteční KE objektu je 0, protože je v klidu. Proto je konečná Kinetická energie rovna změně KE.
Δ U g = Δ K 196,14 J = 1 2 m v 2 196. Kinetická energie je tedy rovna změně KE.14 = 5 v 2 {\displaystyle {\begin{matrix}\Delta U_{g}&=&\Delta K\\196,14J&=&{1 \nad 2}m\mathbf {v} ^{2}\196,14&=&5\mathbf {v} ^{2}\end{matrix}}}.
Zpětné uspořádání pro v
196.14 5 = v 2 196.14 5 = v v ≈ 6.263 m s – 1 {\displaystyle {\begin{matrix}{196,14 \over 5}&=&\mathbf {v} ^{2}\\{\qrt {196,14 \over 5}}&=&\mathbf {v} \\\mathbf {v} &\aprox &6,263ms^{-1}\end{matrix}}}.
Naši práci můžeme ověřit pomocí následující kinematické rovnice.
v 2 = u 2 + 2 a s v 2 = 0 2 + 2 g s v = 2 g s v = 2 ⋅ 9,807 ⋅ 2 v ≈ 6,263 m s – 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {v} ^{2}&=&\mathbf {u} ^{2}+2\mathbf {as} \\\\mathbf {v} ^{2}&=&0^{2}+2\mathbf {gs} \\\mathbf {v} &=&{\sqrt {2\mathbf {gs} }}\\\mathbf {v} &=&{\sqrt {2\cdot 9,807\cdot 2}}\\\mathbf {v} &\aprox &6,263ms^{-1}\end{matrix}}}.
Toto vyplývá z toho, že můžeme skutečně použít rovnice pro energii k vytvoření výše uvedené kinematické rovnice.
Δ U g = Δ K m g h = 1 2 m v 2 m g Δ h = 1 2 m Δ ( v 2 ) s = Δ h g s = 1 2 Δ ( v 2 ) 2 g s = v 2 – v 0 2 2 a s = v 2 – u 2 v 2 = u 2 + 2 a s {\displaystyle {\begin{matrix}\Delta U_{g}&=&\Delta K\\m\mathbf {g} h&=&{1 \over 2}m\mathbf {v} ^{2}\m\mathbf {g} \Delta h&=&{1 \over 2}m{\Delta (\mathbf {v} }^{2})\\\mathbf {s} &=&\Delta h\\\mathbf {gs} &=&{1 \nad 2}\Delta (\mathbf {v} ^{2})\\2\mathbf {gs} &=&\mathbf {v} ^{2}-{\mathbf {v} _{0}}^{2}\\2\mathbf {as} &=&\mathbf {v} ^{2}-\mathbf {u} ^{2}\\\mathbf {v} ^{2}&=&\mathbf {u} ^{2}+2\mathbf {as} \end{matrix}}}
