Hlavní momenty setrvačnosti
Jak je uvedeno v Tenzoru setrvačnosti, úhlový moment tuhého tělesa vzhledem k počátku lokální vztažné soustavy je vyjádřen jako
Jestliže náhodou, se všechny mimodiagonální členy tenzoru setrvačnosti uvedené v stanou nulovými, lze dále zjednodušit na
To se může stát, když seřídíme osy lokální vztažné soustavy tak, aby se hmotnost tělesa rovnoměrně rozložila kolem os, tedy všechny členy součinu setrvačnosti zmizí. Nenulové diagonální členy tenzoru setrvačnosti uvedené v se nazývají hlavní momenty setrvačnosti tělesa.
Top
Hlavní osy
Jak je uvedeno v , není zaručeno, že vektor momentu hybnosti má stejný směr jako vektor úhlové rychlosti. To způsobuje problém: pokud se směr vektoru momentu hybnosti neustále mění, vzniká točivý moment, který nakonec nutí osu otáčení k pohybu. To je hlavní příčina, která způsobuje opotřebení a vibrace strojů s rotujícími částmi.
V některých zvláštních případech však může platit následující podmínka, aby vektory úhlového momentu a rychlosti vykazovaly stejný směr:
kde I = ekvivalentní skalární moment setrvačnosti tělesa kolem osy otáčení. Každá osa otáčení tělesa, která postačuje, se nazývá hlavní osa. U trojrozměrného tělesa existuje skupina hlavních os (teoreticky 3). Například pro soustavu znázorněnou na obrázku 1 existují tři kolmé hlavní osy.
Obrázek 1
v podstatě říká, že tenzor setrvačnosti lze nahradit jediným skalárním momentem setrvačnosti, je-li osa otáčení hlavní osou.
Nahoře
Diagonalizace tenzoru setrvačnosti
Od :
Nebo lze zjednodušit na
kde 1 = matice identity. I zobrazené v se nazývá vlastní číslo, zatímco w je vlastní vektor. je rovnice vlastních čísel.
Aby měla netriviální řešení, měl by determinant koeficientů zmizet:
vede k sekulární rovnici, která je v podstatě kubická, tedy poskytuje tři kořeny (vlastní čísla): I1, I2 & I3. Každý kořen odpovídá momentu setrvačnosti kolem hlavní osy. Tyto tři kořeny jsou vlastně hlavní momenty setrvačnosti tuhého tělesa zavedené v :
Jakmile jsou známa vlastní čísla, lze vypočítat hlavní osy. Nechť
kde n = jednotkový vektor hlavní osy, tedy,
Z & :
Pro každou vlastní hodnotu lze vypočítat odpovídající nx, ny & nz z & . Při tomto postupu je třeba dávat pozor na směr vlastního vektoru.
Při analýze pohybu lze hlavní momenty setrvačnosti získat ze setrvačných vlastností segmentů tělesa. I1, I2 & I3 každého segmentu jsou obecně známy. Údaje jsou k dispozici ve formě poměrů poloměru gyrace (poměr poloměru gyrace k délce segmentu), regresních rovnic a škálovacích koeficientů. Lze také vypočítat hlavní momenty setrvačnosti segmentů tělesa modelováním pomocí některých geometrických útvarů. Podrobnosti naleznete v části Individualizovaný odhad BSP.
Top
.