Variační kalkul
Většinu konce 17. století a velkou část počátku 18. století zabíraly práce Newtonových a Leibnizových žáků, kteří aplikovali své myšlenky o kalkulu na řešení nejrůznějších problémů z fyziky, astronomie a techniky.
V tomto období však dominovala jedna rodina, Bernoulliové ze švýcarské Basileje, která se mohla pochlubit dvěma nebo třemi generacemi výjimečných matematiků, zejména bratry Jacobem a Johannem. Ti se velkou měrou zasloužili o další rozvoj Leibnizova infinitezimálního kalkulu – zejména prostřednictvím zobecnění a rozšíření kalkulu známého jako „variační kalkul“ – a také Pascalovy a Fermatovy teorie pravděpodobnosti a čísel.
Basilej byla také rodným městem největšího z matematiků 18. století, Leonharda Eulera, ačkoli, částečně kvůli obtížím prosadit se ve městě ovládaném rodinou Bernoulliů, trávil Euler většinu času v zahraničí, v Německu a ruském Petrohradě. Vynikal ve všech oblastech matematiky, od geometrie přes počty a trigonometrii až po algebru a teorii čísel, a dokázal najít nečekané souvislosti mezi jednotlivými obory. Během svého dlouhého akademického života dokázal řadu tvrzení, byl průkopníkem nových metod, standardizoval matematický zápis a napsal mnoho vlivných učebnic.
Německý matematik Christian Goldbach v dopise Eulerovi v roce 1742 navrhl Goldbachovu domněnku, podle níž lze každé sudé celé číslo větší než 2 vyjádřit jako součet dvou prvočísel (např.4 = 2 + 2; 8 = 3 + 5; 14 = 3 + 11 = 7 + 7; atd.) nebo, v jiné ekvivalentní verzi, každé celé číslo větší než 5 lze vyjádřit jako součet tří prvočísel. Další verzí je takzvaná „slabá“ Goldbachova domněnka, že všechna lichá čísla větší než 7 jsou součtem tří lichých prvočísel. Stále patří mezi nejstarší nevyřešené problémy v teorii čísel (a v celé matematice), i když se zdá, že slabá forma domněnky je blíže řešení než silná. Goldbach dokázal i další věty z teorie čísel, například Goldbachovu-Eulerovu větu o dokonalých mocninách.
Přes Eulerovu a Bernoullisovu dominanci v matematice 18. století pocházela řada dalších významných matematiků z Francie. Na počátku století je Abraham de Moivre patrně nejznámější díky de Moivrově formuli (cosx + isinx)n = cos(nx) + isin(nx), která spojuje komplexní čísla a trigonometrii. Zobecnil však také slavnou Newtonovu binomickou větu na multinomickou větu, byl průkopníkem rozvoje analytické geometrie a velký význam měly jeho práce o normálním rozdělení (poprvé uvedl vzorec pro normální distribuční křivku) a teorii pravděpodobnosti.
Francie se ke konci století stala ještě významnější a na tomto místě si zaslouží zmínku zejména hrstka francouzských matematiků konce 18. století, počínaje „třemi L“.
Joseph Louis Lagrange spolupracoval s Eulerem na důležité společné práci o variačním počtu, ale přispěl také k diferenciálním rovnicím a teorii čísel a obvykle se mu připisuje vznik teorie grup, která se stala tak důležitou v matematice 19. a 20. století. Jeho jméno nese raná věta v teorii grup, která říká, že počet prvků každé podgrupy konečné grupy se rovnoměrně dělí s počtem prvků původní konečné grupy.
Lagrangeova věta o střední hodnotě
Lagrangeova věta o střední hodnotě
Lagrangeovi se také připisuje věta o čtyřech čtvercích, že každé přirozené číslo lze znázornit jako součet čtyř čtverců (např.např. 3 = 12 + 12 + 12 + 02; 31 = 52 + 22 + 12 + 12; 310 = 172 + 42 + 22 + 12; atd), a také další věta, matoucím způsobem známá také jako Lagrangeova věta nebo Lagrangeova věta o střední hodnotě, která říká, že je-li dán úsek hladké spojité (diferencovatelné) křivky, existuje na tomto úseku alespoň jeden bod, v němž je derivace (nebo sklon) křivky rovna (nebo rovnoběžná) s průměrnou (nebo střední) derivací úseku. Lagrangeovo pojednání o analytické mechanice z roku 1788 nabídlo nejobsáhlejší zpracování klasické mechaniky od dob Newtona a stalo se základem pro rozvoj matematické fyziky v 19. století.
Pierre-Simon Laplace, někdy označovaný jako „francouzský Newton“, byl významný matematik a astronom, jehož monumentální dílo „Nebeská mechanika“ převedlo geometrické studium klasické mechaniky na studium založené na kalkulu, čímž otevřelo mnohem širší okruh problémů. Ačkoli se v počátcích své práce zabýval především diferenciálními rovnicemi a konečnými diferencemi, již v 70. letech 19. století začal uvažovat o matematických a filozofických koncepcích pravděpodobnosti a statistiky a nezávisle na Thomasi Bayesovi vypracoval vlastní verzi tzv. bayesovského výkladu pravděpodobnosti. Laplace je známý svou vírou v úplný vědecký determinismus a tvrdil, že by měl existovat soubor vědeckých zákonů, který by nám umožnil – alespoň v principu – předpovědět vše o vesmíru a jeho fungování.
Prvních šest Legendrových polynomů
Prvních šest Legendrových polynomů (řešení Legendrovy diferenciální rovnice)
Adrien-Marie Legendre také významně přispěl ke statistice, teorii čísel, abstraktní algebře a matematické analýze koncem 18. a počátkem 19. století, ačkoli většinu jeho prací (například metodu nejmenších čtverců pro fitování křivek a lineární regresi, zákon kvadratické reciprocity, větu o prvočíslech a jeho práci o eliptických funkcích) dovedli k dokonalosti – nebo alespoň k obecnému povědomí – až jiní, zejména Gauss. Jeho „Prvky geometrie“, přepracovaná Euklidova kniha, se staly hlavní učebnicí geometrie na téměř 100 let a jeho mimořádně přesné měření pozemského poledníku inspirovalo vytvoření a téměř všeobecné přijetí metrické soustavy měr a vah.
Jiný Francouz, Gaspard Monge, byl vynálezcem deskriptivní geometrie, chytré metody zobrazování trojrozměrných objektů pomocí projekcí na dvourozměrnou rovinu s využitím specifického souboru postupů, techniky, která se později stala důležitou v oblasti inženýrství, architektury a designu. Jeho ortografické promítání se stalo grafickou metodou používanou téměř ve všech moderních mechanických výkresech.
Po mnoha staletích stále přesnějších aproximací podal Johann Lambert, švýcarský matematik a významný astronom, v roce 1761 konečně rigorózní důkaz, že π je iracionální, tj. nelze ho vyjádřit jako jednoduchý zlomek pouze pomocí celých čísel nebo jako koncové či opakovací desetinné číslo. Tím definitivně dokázal, že jej nikdy nebude možné vypočítat přesně, ačkoli posedlost získáváním stále přesnějších aproximací trvá dodnes. (O více než sto let později, v roce 1882, Ferdinand von Lindemann dokáže, že π je také transcendentní, tj. nemůže být kořenem žádné polynomické rovnice s racionálními koeficienty). Lambert také jako první zavedl hyperbolické funkce do trigonometrie a vyslovil některé prozíravé domněnky týkající se neeuklidovského prostoru a vlastností hyperbolických trojúhelníků.
| << Zpět k Leibnizovi | Před bratry Bernoulliovými >> |
.