nLab Yangova-Millsova teorie

Idea

YangâMillsova teorie je měřítková teorie na daném čtyřrozměrném (pseudo)Riemannově mnohoúhelníku XX, jejíž pole je YangâMillsovo pole â a kocykl ââH(X,B¯U(n))\nabla \v \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}U(n)) v diferenciální neabelovské kohomologii reprezentované vektorovým svazkem se spojením â a jejíž akční funkcionál je

pro

• F âF_\nabla intenzitu pole, lokálně křivková ð²(n)\mathfrak{u}(n)-Lieova algebra oceněná diferenciální forma na XX ( přičemž ð²(n)\mathfrak{u}(n) je Lieova algebra unitární grupy U(n)U(n));

• â\star Hodgeův hvězdicový operátor metriky gg;

• 1g 2\frac{1}{g^2} Yang-Millsova spojovací konstanta a θ\theta úhel theta, některá reálná čísla (viz u S-duality).

(Viz tento příklad na A first idea of quantum field theory.)

Vlastnosti

Klasifikace řešení

• Narasimhan-Seshadriho věta

• Donaldsonova-Uhlenbeckova-Yauova věta

Kvantování

Přes svou zásadní roli ve standardním modelu částicové fyziky, jsou různé detaily kvantizace Yangovy-Millsovy teorie stále otevřené. Viz kvantizace Yangovy-Millsovy teorie.

Aplikace

Všechna měřítková pole ve standardním modelu fyziky částic i v modelech GUT jsou Yangova-Millsova pole.

Hmotná pole ve standardním modelu jsou spinory nabité pod Yangovým-Millsovým polem. Viz

• spinory v Yangově-Millsově teorii

Historie

Od Jaffeho-Wittena:

V 50. letech 20. století, kdy byla YangâMillsova teorie objevena, již bylo známo, že kvantová verze Maxwellovy teorie â známá jako kvantová elektrodynamika neboli QED â poskytuje mimořádně přesný popis elektromagnetických polí a sil. Ve skutečnosti QED zlepšila přesnost některých dřívějších předpovědí kvantové teorie o několik řádů a také předpověděla nové rozdělení energetických hladin.

Bylo tedy přirozené ptát se, zda neabelovská měřítková teorie popisuje další síly v přírodě, zejména slabou sílu (zodpovědnou mimo jiné za některé formy radioaktivity) a silnou neboli jadernou sílu (zodpovědnou mimo jiné za vazbu protonů a neutronů do jader). Bezhmotnost klasických YangâMillsových vln byla vážnou překážkou pro aplikaci YangâMillsovy teorie na ostatní síly, neboť slabé a jaderné síly mají krátký dosah a mnohé z částic jsou hmotné. Proto se nezdálo, že by tyto jevy souvisely s poli dlouhého dosahu popisujícími bezhmotné částice.

V 60. a 70. letech 20. století fyzikové tyto překážky fyzikální interpretace neabelovské měřítkové teorie překonali. V případě slabé síly se to podařilo pomocí GlashowâSalamâWeinbergovy elektroslabé teorie s měrnou grupou H=H = SU(2) Ã\times U(1). Vypracováním teorie s dodatečným âHiggsovým polemâ se zabránilo bezhmotové povaze klasických YangâMillsových vln. Higgsovo pole se transformuje do dvourozměrné reprezentace HH; jeho nenulová a přibližně konstantní hodnota ve vakuovém stavu redukuje strukturní grupu z HH na podgrupu U(1)U(1) (diagonálně vloženou do SU(2)ÃU(1)SU(2) \times U(1). Tato teorie popisuje jak elektromagnetické, tak slabé síly, a to víceméně jednotným způsobem; vzhledem k redukci strukturní grupy na U(1)U(1) jsou pole dlouhého dosahu pouze polem elektromagnetismu, což je v souladu s tím, co vidíme v přírodě.

Řešení problému bezhmotových YangâMillsových polí pro silné interakce má zcela jinou povahu. Toto řešení nevzniklo přidáním polí do YangâMillsovy teorie, ale objevem pozoruhodné vlastnosti samotné kvantové YangâMillsovy teorie, tedy kvantové teorie, jejíž klasický Lagrangián byl uveden ]. Tato vlastnost se nazývá „asymptotická svoboda“. Zhruba to znamená, že na krátkých vzdálenostech vykazuje pole kvantové chování velmi podobné svému klasickému chování; na velkých vzdálenostech však již klasická teorie není dobrým vodítkem pro kvantové chování pole.

Asymptotická svoboda spolu s dalšími experimentálními a teoretickými objevy učiněnými v 60. a 70. letech 20. století umožnila popsat jadernou sílu neabelovskou měrnou teorií, v níž je měrnou grupou G=G = SU(3). Dodatečná pole popisují na klasické úrovni „kvarky“, což jsou objekty se spinem 1/2 poněkud analogické elektronu, ale transformující se v základní reprezentaci SU(3)SU(3). Neabelovská měřítková teorie silné síly se nazývá kvantová chromodynamika (QCD).

Použití QCD k popisu silné síly bylo motivováno celou řadou experimentálních a teoretických objevů učiněných v 60. a 70. letech 20. století, které se týkaly symetrií a vysokoenergetického chování silných interakcí. Klasická neabelovská měřítková teorie se však velmi liší od pozorovaného světa silných interakcí; aby QCD mohla úspěšně popsat silnou sílu, musí mít na kvantové úrovni následující tři vlastnosti, z nichž každá se dramaticky liší od chování klasické teorie:

(1) Musí mít âmass gap;â totiž musí existovat nějaká konstanta Î>0\Delta \gt 0 taková, že každá excitace vakua má energii alespoň Î\Delta.

(2) Musí mít „kvarkovou uzavřenost“, to znamená, že i když je teorie popsána v termínech elementárních polí, jako jsou kvarková pole, která se netriviálně transformují podle SU(3), fyzikální stavy částic, jako jsou proton, neutron a pion, jsou SU(3)-invariantní.

(3) Musí mít âchirální narušení symetrie,â což znamená, že vakuum je potenciálně invariantní (v limitě, že hmotnosti kvarkových polí mizí) pouze pod určitou podgrupou plné grupy symetrie, která působí na kvarkové pole.

První bod je nutný k vysvětlení toho, proč je jaderná síla silná, ale s krátkým dosahem; druhý je nutný k vysvětlení toho, proč nikdy nevidíme jednotlivé kvarky; a třetí je nutný k vysvětlení teorie měkkých pionů, která byla vyvinuta v 60. letech 20. století.

Jak experiment â protože QCD má četné úspěchy v konfrontaci s experimentem â tak počítačové simulace, prováděné od konce 70. let, silně povzbuzují k tomu, že QCD skutečně má výše uvedené vlastnosti. Tyto vlastnosti lze do jisté míry pozorovat i v teoretických výpočtech prováděných v různých značně zjednodušených modelech (jako je silně vázaná mřížková měřítková teorie). Nejsou však plně teoreticky pochopeny; neexistuje přesvědčivý, ať už matematicky úplný nebo ne, teoretický výpočet, který by demonstroval některou z těchto tří vlastností v QCD, na rozdíl od jejího silně zjednodušeného zkrácení.

Jde o problém neperturbační kvantizace Yangovy-Millsovy teorie. Více viz tamtéž.

• D=5 Yangova-Millsova teorie

• masivní Yangova-Millsova teorie

• samostatná duální Yangova-Millsova teorie

• super Yangova-.Millsova teorie

• minimální vazba

• ‚t Hooftova notace dvojité čáry

• Einsteinova-Yang-Millsova teorie

  • Einsteinova-Maxwellova teorie

  • Einsteinova-Yang-Millsova-Diracova teorie

  • Einsteinova-Maxwellova-Yang-Millsova-Diracova-Higgsova teorie

• Yangova-Millsova rovnice

• standardní model částicové fyziky

  • elektromagnetismus

  • spinory v Yangově-Millsově teorii

  • QED, QCD,

  • elektroslabé pole

• Yangův monopól, ‚t Hooftův-Poljakovův monopól

• S-dualita, Montonenova-Oliveova dualita

  • elektricko-magnetická dualita

  • geometrická Langlandsova dualita

• Chernova-Simonsova teorie

• Yangova-Millsova instantní

  • konečná

• asymptotická volnost

obecná

Yang-Millsova teorie je pojmenována podle článku

• Chen Ning Yang, Robert Mills, Zachování izotopického spinu a izotopická invariace gainu. Physical Review 96 (1): 191â 195. (1954) (web)

který jako první zobecnil princip elektromagnetismu na neabalickou měrnou grupu. Ta byla přijata jako formulace QCD a slabé interakce (až) po pochopení spontánního narušení symetrie (Higgsův mechanismus) v 60. letech 20. století.

Moderní přehledy základů

• Arthur Jaffe, Edward Witten, Kvantová Yang-Millsova teorie (pdf)

• Simon Donaldson, Yang-Millsova teorie a geometrie (2005) pdf

• José Figueroa-O’Farrill, Gauge theory

• Karen Uhlenbeck, poznámky Laury Fredrickson, Equations of Gauge Theory, přednáška na Temple University, 2012 (pdf, pdf)

• Simon Donaldson, Gauge Theory: Mathematical Applications, Encyclopedia of Mathematical Physics, Academic Press, Pages 468-481, 2006 (doi:10.1016/B0-12-512666-2/00075-4, autor pdf, pdf)

• Mikio Nakahara, Section 10.5.4 of: Geometry, Topology and Physics, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)

Viz také odkazy na QCD, gauge theory, Yang-Mills monopole, Yang-Mills instanton a na super Yang-Mills theory.

Klasická diskuse o YM-teorii nad Riemannovými plochami (která úzce souvisí s Chern-Simonsovou teorií, viz také u modulového prostoru plochých spojení) je v

• Michael Atiyah, Raoul Bott, The Yang-Mills equations over Riemann surfaces, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences

  Vol. 308, No. 1505 (Mar. 17, 1983), pp. 523-615 (jstor, lighning summary)

který je recenzován v poznámkách k přednášce

• Jonathan EvansAspects of Yang-Mills theory, (web)

Pro vztah k instantní Floerově homologii viz také

• Simon Donaldson, Floer homology groups in Yang-Mills theory Cambridge University Press (2002) (pdf)

Pro vztah k Tamagawovým číslům viz

• Aravind Asok, Brent Doran, Frances Kirwan, Yang-Mills theory and Tamagawa numbers (arXiv:0801.4733)

Klasická řešení

Wu a Yang (1968) nalezli statické řešení Yangových-Millsových rovnic bez zdrojů SU(2)SU(2). Mezi nejnovější odkazy patří

• J. A. O. Marinho, O. Oliveira, B. V. Carlson, T. Frederico, Revisiting the Wu-Yang Monopole: Classical solutions and conformal invariance

Existuje starší přehled,

• Alfred Actor, Classical solutions of SU(2)SU(2) YangâMills theories, Rev. Mod. Phys. 51, 461â525 (1979),

která uvádí některá známá řešení SU(2)SU(2) měřítkové teorie v Minkowského (monopóly, rovinné vlny atd.) a Euklidovském prostoru (instantony a jejich příbuzní). Pro obecné měřítkové grupy lze získat řešení vložením SU(2)SU(2)âs.

Pro Yang-Millsovy instantony je známo nejobecnější řešení, které nejprve vypracovali

• Michael Atiyah, Nigel Hitchin, Vladimir Drinfeld, Yuri Manin, Construction of instantons, Physics Letters 65 A, 3, 185â187 (1978) pdf

pro klasické grupy SU, SO , Sp, a poté

• C. Bernard, N. Christ, A. Guth, E. Weinberg, Pseudoparticle Parameters for Arbitrary Gauge Groups, Phys. Rev. D16, 2977 (1977)

pro výjimečné Lieovy grupy. Nejnovějším zvratem v příběhu Yang-Millsových instantonů je konstrukce řešení s netriviální holonomií:

• Thomas C. Kraan, Pierre van Baal, Periodic instantons with netrivial holonomy, Nucl.Phys. B533 (1998) 627-659, hep-th/9805168

Existuje pěkný soubor poznámek z přednášek

• David Tong, TASI Lectures on Solitons (hep-th/0509216),

o topologických řešeních s různou ko-dimenzí (instantony, monopoly, víry, doménové stěny). Všimněte si však, že kromě instantonů tato řešení obvykle vyžadují další skaláry a porušené U(1)âs, jak je lze nalézt v super Yang-Millsových teoriích.

Některý zde použitý materiál byl převzat z

• TP.SE, Which exact solutions of the classical Yang-Mills equations are known?

Další model obsahující Yang-Millsova pole navrhli Curci a Ferrari, viz Curci-Ferrariho model.

Viz také

• DispersiveWiki, Yang-Millsovy rovnice

.