Pokaždé, když vytváříme něco nového, jdeme od 0 k 1. Akt tvorby je jedinečný, stejně jako okamžik vzniku, a výsledkem je něco nového a zvláštního.
Peter Thiel, Zero to One
Studie z roku 1992 publikovaná v časopise Nature pracovala s pětiměsíčními kojenci, aby zjistila jejich schopnost porozumět sčítání a odčítání. Experimentátoři ukázali kojencům nějaký předmět, schovali ho za zástěnu a pak je nechali sledovat, jak za zástěnu přidávají další předmět. Během některých pokusů experimentátoři další předmět tajně odstranili. Už v tomto věku děti věděly, že něco není v pořádku, když viděly, že se do skupiny přidává „o nulu více“ objektů místo „o jeden více“ objektů.
Většinou se jedná o vrozenou intuici, která nás provázela prvními hodinami matematiky. Pokud jsme měli štěstí (nebo smůlu, záleží na tom, koho se zeptáte), dostali jsme první ochutnávku formalizace této intuice v geometrii na střední nebo vysoké škole. Vycházeli jsme z tvrzení zvaných „axiomy“ – věcí, které jsme považovali za samozřejmé a pravdivé – a byli jsme nuceni přemýšlet o tom, jak naše intuice z těchto axiomů vyplývá, a vytvářeli jsme formální, i když základní matematické „důkazy“ výsledků, jako je kosinusový zákon nebo shodnost dvou trojúhelníků.
Pokud jste to zapomněli, Kosinův zákon říká, že c2=a2+b2-2abcos(C)c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(C)c2=a2+b2-2abcos(C), kde aaa, bbb a ccc jsou délky stran trojúhelníku a CCC je úhel opačný ke straně ccc. Pokud za CCC dosadíme 90 stupňů, dostaneme Pythagorovu větu.
V té první hodině geometrie nám bylo řečeno, co můžeme považovat za pravdivé – ale zastavili jsme se někdy nad otázkou proč?
Kdo rozhodl, co přesně můžeme považovat za samozřejmé? Proč právě tyto axiomy? Proč jsme nemohli předpokládat, že kosinový zákon je pravdivý, a proč jsme ho museli dokazovat?
Matematikové o těchto otázkách dlouho a usilovně přemýšleli a komunita se nutně neshodla na konkrétních axiomech, které považujeme za samozřejmé a pravdivé, ale na zásadě: omezit počet předpokladů na minimum. To se podobá slavné technice řešení problémů známé jako Occamova břitva: „Když jsou nám předloženy konkurenční hypotézy k řešení problému, měli bychom si vybrat řešení s nejmenším počtem předpokladů.“
Určení axiomů
Problém přijít s minimální množinou axiomů, z nichž vyplývá celá matematika, je těžší, než se zdá. Matematici se o to snažili dlouhá léta a nejslavnějším pokusem byla kniha Principia Mathematica, kterou v roce 1913 vydali matematici Alfred North Whitehead a Bertrand Russell. V roce 1931 však logik Kurt Gödel dokázal, že žádný takový systém není možný – stručně řečeno, jakákoli volba axiomů by byla buď neúplná a nedokázala by dokázat celou matematiku, nebo nekonzistentní a mohla by být použita k důkazu rozporů.
Matematika nicméně musí z něčeho vycházet, a tak matematici definovali specifické axiomy pro specializace, kterými se zabývají, jako je geometrie (vzpomeňme na Euklidovy axiomy). Tyto specializované axiomy jsou tím, o čem geometři, algebraici atd. rozhodli, že je to minimální soubor předpokladů, které potřebují k tomu, aby mohli produktivně pracovat a vyvozovat platné závěry.
Díky těmto axiomům můžeme přísně ukázat, že 1 je ve skutečnosti větší než 0 – nikoliv na základě mlhavých pojmů, jako je „intuice“, ale na základě pevných matematických základů postavených na axiomatickém konsensu matematické komunity.
Možná právě to odlišuje naše mentální schopnosti od mentálních schopností pětiměsíčních dětí.
Na okraj dodejme, že vzdorování konvencím a zkoumání důsledků alternativních axiomů vedlo k vytvoření celých nových odvětví matematiky. Jedním z příkladů je sférická geometrie, která tradiční euklidovské základy vyhazuje z okna. Na kouli se například úhly trojúhelníku mohou sečíst na více než 180 stupňů.
Axiomy, které potřebujeme
„Přirozená čísla stvořil Bůh, vše ostatní je dílem člověka.“
Leopold Kronecker, německý matematik
Když říkám „minimální soubor předpokladů“, existuje mnoho různých úrovní „minimálního“, ze kterých můžeme vycházet. Naše základní úroveň abstrakce by potenciálně mohla být taková, že vše, s čím musíme pracovat, jsou přirozená čísla – 1,2,3,…1, 2, 3, …1,2,3,…. – jak to zřejmě prosazuje Kronecker. Případně můžeme prostě vzít 1>01 > 01>0 jako axiom.
Při prvním přístupu bychom se mohli vydat několika směry. Existují Peanovy axiomy, což je soubor axiomů o přirozených číslech, jejichž cílem je plně popsat jejich chování. Tyto axiomy jsou téměř jako Newtonovy zákony – nejsou konstruovány, ale spíše popisem „přirozených“ vlastností přirozených čísel. V tomto přístupu jednoduše definujeme uspořádání přirozených čísel, takže konstrukcí dojdeme k závěru 1>01 > 01>0.
Uspořádání přirozených čísel definujeme takto: pro přirozená čísla aaa a bbb platí, že a≤ba \leq ba≤b tehdy a jen tehdy, když a+c=ba + c = ba+c=b pro nějaké přirozené číslo ccc.
To platí, ale do jisté míry to vypadá jako trochu laciný výstřel – v podstatě definujeme náš výsledek do existence.
Na druhou stranu bychom se mohli pokusit dokázat 1>01 > 01>0 v reálných číslech. Začít v tomto směru od základů je však téměř „příliš blízko hardwaru“ a přejít od přirozených čísel (1,2,31, 2, 31,2,3 atd.) k reálným (např. 2,π,3\sqrt{2}, \pi, 32,π,3) vyžaduje použití takových pojmů, jako jsou Cauchyho posloupnosti, třídy ekvivalence a další – nástroje, které vyžadují důkladné znalosti moderní algebry (které mi bohužel chybí).
Přijmout poslední přístup, tedy axiomatizovat náš závěr, že 1>01 > 01>0 do pravdy, by se podobalo snědení dezertu před večeří.
Přístup, který mi připadal nejvíce poučný – přístupný a přitom uspokojivě přísný – prezentoval ve své úvodní hodině analýzy na Michiganské univerzitě profesor Stephen DeBacker. Začneme na úrovni abstrakce, která je snadno pochopitelná – a přitom dostatečně logicky oddělená od našeho výsledku -, takže si stále budeme moci z první ruky ověřit, jak lze naše základní předpoklady použít k formalizaci zdánlivě jednoduchého závěru, o který nám jde. Navíc naše základní předpoklady budou tytéž předpoklady, které používají specialisté v oborech moderní algebry a reálné analýzy – takže bych řekl, že jsme oprávněni zvolit si toto místo jako výchozí bod.
Náš „minimální předpoklad“ je, že reálná čísla splňují níže uvedené vlastnosti, kde aaa, bbb a ccc jsou libovolná reálná čísla. Termín běžně používaný matematickou komunitou pro označení jednotlivých vlastností je uveden v závorce u každé z nich.
- a+ba + ba+b je reálné číslo (tj. sečtením dvou reálných čísel vznikne další reálné číslo, známé také jako „uzávěr při sčítání“)
- a×ba \times ba×b je reálné číslo („uzávěr při násobení“)
- a+b=b+aa + b = b + aa+b=b+a (tj.tj. můžeme prohodit pořadí sčítanců, tzv. „komutativita sčítání“)
- (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)(a+b)+c=a+(b+c) (tj. můžeme sčítat v libovolném pořadí, známá jako „asociativita sčítání“)
- Existuje reálné číslo 000 takové, že a+0=aa + 0 = aa+0=a (000 je „aditivní identitní prvek“)
- Existuje reálné číslo 000 takové, že a+0=aa + 0 = aa+0=a (000 je „aditivní identitní prvek“)
- Existuje existuje reálné číslo xxx takové, že a+x=0a + x = 0a+x=0 (xxx je „aditivní inverzní prvek“)
- a×b=b×aa \krát b = b \krát aa×b=b×a („komutativita z násobení“)
- (a×b)×c=a×(b×c)(a \krát b) \krát c = a \krát (b \krát c)(a×b)×c=a×(b×c) („asociativita násobení“)
- Tamtéž existuje reálné číslo 111 takové, že a×1=aa \times 1 = aa×1=a (1 je „multiplikativní identita“)
- Existuje reálné číslo yyy takové, že a×y=1a \times y = 1a×y=1, když aaa není nula (yyy je „multiplikativní inverze“)
- a×(b+c)=a×b+a×ca \times (b + c) = a \times b + a \times ca×(b+c)=a×b+a×c („distributivita“)
- 1≠01 \neq 01=0
- Reálná čísla jsou rozdělena na kladné a záporné podmnožiny
- Sčítání a násobení kladných čísel (tj.e. čísel větších než 000) dohromady dává kladné číslo
- Každé reálné číslo aaa je buď kladné (a>0a > 0a>0), nebo záporné (a<0a < 0a<0), nebo sama nula (a=0a = 0a=0)
Prozatím můžeme dosadit několik hodnot pro aaa, bbb a ccc, abychom získali intuici, proč každá z těchto vlastností platí. Opět existují způsoby, jak dokázat, že reálná čísla splňují všechny výše uvedené vlastnosti pomocí nástrojů moderní algebry, ale bez tohoto zázemí je to, co máme výše, velmi přístupným výchozím bodem.
V našem důkazu také nebudeme muset použít všechny výše uvedené vlastnosti, ale uvedl jsem je zde všechny, protože (potenciálně nekonečná) množina čísel, která splňují prvních dvanáct vlastností, má mezi matematiky zvláštní název – „pole“. Pokud tato množina čísel splňuje také poslední tři vlastnosti, nazývá se „uspořádané pole“. Naším předpokladem v podstatě je, že reálná čísla tvoří uspořádané pole.
Důkaz
Na začátku našeho důkazu předpokládáme náš axiom – že reálná čísla tvoří uspořádané pole, a tudíž splňují výše uvedených patnáct vlastností.
Na začátek podle výše uvedených vlastností (5) a (9) víme, že reálná čísla 000 a 111 existují. Z vlastnosti (15) víme, že 111 je buď kladné, nebo záporné, nebo nulové. Z vlastnosti (12) víme, že 1≠01 \neq 01=0. Zbývají dvě možnosti: buď je 111 kladné a 1>01 > 01>0; nebo je 111 záporné a 1<01 < 01<0.
Pokračujeme nyní technikou známou jako „důkaz rozporem“. V podstatě předpokládáme, že něco, co chceme ukázat jako nepravdivé, je pravdivé, a pomocí předpokládané pravdy dokazujeme něco, o čem s jistotou víme, že je nepravdivé. Logickým důsledkem tohoto druhu manévrování je, že musí být nemožné, aby věc, kterou jsme předpokládali jako pravdivou, byla skutečně pravdivá, protože to vedlo k nemožnosti. Proto musí být nepravdivá.
Máme-li na výběr několik možností, z nichž jedna musí být pravdivá, je tato taktika dobrým způsobem, jak vyloučit nemožné možnosti a zúžit rozsah toho, co je skutečnou možností.
Zní-li důkaz rozporem složitě, je tomu tak – ale je to také základní matematický nástroj. Někdy složitost přímého důkazu něčeho – bez rozporu – činí problém natolik obtížným, že ve skutečnosti může být jednodušší ukázat, že alternativní možnosti prostě nemohou být pravdivé.
Předpokládejme, že 1<01 < 01<0 – že 111 je záporné – a ukažme, že to vede k nemožnosti. Jednou z možných nemožností, kterou bychom mohli dokázat, je, že z tohoto předpokladu vyplývá, že 1≥01 \geq 01≥0, protože podle vlastnosti (15) nemůže být 111 zároveň menší než nula a zároveň větší nebo rovno nule.
Podle vlastnosti (6) existuje reálné číslo xxx takové, že 1+x=01 + x = 01+x=0. To znamená, že 111 je záporné.
Můžeme k oběma stranám přičíst xxx a dostaneme 1+x<0+x1 + x < 0 + x1+x<0+x.
Protože vlastnost (5) nám říká, že 0+x=x0 + x = x0+x=x, můžeme nerovnost zjednodušit na 0<x0 < x0<x.
Ještě však nemůžeme říci, že xxx musí být -1-1-1 – vlastnost (6) pouze říká, že existuje reálné číslo xxx. Musíme to dokázat.
Lemma je mezipravda, kterou můžeme použít k důkazu většího výsledku. To, zda se něco nazývá tvrzením nebo lemmatem, není nutně dobře definováno, ale obecně nám lemmata „pomáhají“ dokázat to, co skutečně chceme.
Lemma: Aditivní inverzní prvky jsou jedinečné
V našem případě, chceme-li dokázat, že xxx ve vlastnosti (6) je jedinečné – konkrétně, že existuje pouze jedno reálné číslo xxx takové, že 1+x=01 + x = 01+x=0 (a tedy, že reálné číslo xxx musí být -1-1-1), můžeme opět postupovat pomocí kontradikce.
Předpokládejme, že existuje jiné reálné číslo zzz, kde z≠xz \neq xz=x, takové, že 1+z=01 + z = 01+z=0. Nyní uvažujme výraz x+1+zx + 1 + zx+1+z. Vezměme v úvahu, že x+1+zx + 1 + zx+1+z je reálné číslo. Protože rovnost je reflexivní – tedy a=aa = aa=a pro všechna aaa – víme, že x+1+z=x+1+zx + 1 + z = x + 1 + zx+1+z=x+1+z.
Podle vlastnosti (4), asociativity sčítání, můžeme výrazy seskupit jako (x+1)+z=x+(1+z)(x + 1) + z = x + (1 + z)(x+1)+z=x+(1+z).
Podle vlastnosti (3), komutativnosti sčítání, můžeme první veličinu přeskupit a dostat (1+x)+z=x+(1+z)(1 + x) + z = x + (1 + z)(1+x)+z=x+(1+z).
Protože 1+x1 + x1+x a 1+z1 + z1+z se obě rovnají nule, máme 0+z=x+00 + z = x + 00+z=x+0 a podle vlastnosti (5), aditivního prvku identity, z=xz = xz=x. Předpokládali jsme však, že z≠xz \neq xz=x, takže máme rozpor!!!
Může tedy existovat jen jedno reálné číslo xxx takové, že 1+x=01 + x = 01+x=0. Nahradíme-li každý případ 111 ve výše uvedených řádcích libovolným reálným číslem aaa, toto lemma ukazuje, že pro libovolné reálné číslo aaa existuje jedinečné xxx takové, že a+x=0a + x = 0a+x=0. To znamená, že pro každé reálné číslo aaa existuje jedinečné xxx. Protože toto xxx je jedinečné, můžeme mu bezpečně dát jedinečné jméno -a-a-a, což vede ke známému pojmu zápor, kde a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0. V našem konkrétním případě z toho vyplývá, že xxx se musí rovnat -1-1-1.
Lemma: Záporná znaménka se „ruší“
Při použití výsledků výše uvedeného lemmatu se z naší předchozí nerovnosti 0<x0 < x0<x stává 0<-10 < -10<-1. To znamená, že záporná znaménka se „ruší“.
Podle vlastnosti (14) je součin kladných čísel kladný, takže 0<(-1)(-1)0 < (-1)(-1)0<(-1)(-1). Zatím však nemůžeme říci, že „dvě záporná čísla se navzájem ruší“ – z žádného axiomu to nevyplývá! Musíme dokázat, že (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)=(1)(1). Budeme potřebovat další lemma.
V obecném případě pro libovolné reálné číslo aaa potřebujeme ukázat, že (-a)(-a)=(a)(a)=a2(-a)(-a) = (a)(a) = a^2(-a)(-a)=(a)(a)=a2. Vlastnost (6) – předpoklad, že každý prvek má aditivní inverzi – se zabývá zápornými znaménky a mohla by být zajímavou cestou, jak to dokázat.
Pokud máte pocit, že se v tom orientujete, klidně se zde zastavte a zkuste pomocí axiomů dokázat některé mezivýsledky sami. Pokud se zaseknete, můžete vždy sjet dolů!“
Protože aditivní inverze jsou jedinečné, víme, že existuje jedinečné reálné číslo -a2-a^2-a2 takové, že a2+(-a2)=0a^2 + (-a^2) = 0a2+(-a2)=0. Pokud se zaseknete, můžete vždy sjet dolů.
Podle vlastnosti (3), komutativnosti sčítání, máme -a2+a2=0-a^2 + a^2 = 0-a2+a2=0.
Předchozí lemma nám řeklo, že pokud -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0, pak je xxx jedinečné, takže pokud máme výraz tvaru -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0, musíme mít x=a2x = a^2x=a2. Pokud tedy dokážeme, že -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0, budeme s jistotou vědět, že (-a)(-a)=a2(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
Pracujme s výrazem -a2+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a). Abychom mohli výraz -a2-a^2-a2 vynásobit, musíme ho nějak rozdělit na jeho složky, takže potřebujeme ještě jedno lemma – dokázat, že -a2=-a(a)-a^2 = -a(a)-a2=-a(a).
Lemma: Součin záporného a kladného čísla je záporný
Pro toto lemma použijeme podobný přístup jako na začátku, tedy využijeme jednoznačnost aditivních inverzí, abychom ukázali, že jeden součin se musí rovnat jinému součinu. Protože -a2-a^2-a2 je jedinečnou aditivní inverzí a2a^2a2, ukážeme-li, že a2+(-a)(a)=0a^2 + (-a)(a) = 0a2+(-a)(a)=0, pak (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Poznamenejme, že a2=a(a)a^2 = a(a)a2=a(a), takže podle vlastnosti (7), komutativity násobení, máme a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a)a^2 + (-a)(a) = a(a) + a(-a)a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a).
Podle vlastnosti (11) můžeme vynásobit a(a)+a(-a)a(a) + a(-a)a(a)+a(-a) na a(a+(-a))a(a + (-a))a(a+(-a)).
Podle vlastnosti (6) a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0, takže máme a2+(-a)(a)=a0a^2 + (-a)(a) = a0a2+(-a)(a)=a0.
Byli bychom hotovi, kdyby a0=0a0 = 0a0=0, ale to jsme ještě nedokázali!!!
Lemma: Součin s 0 je 0
Podle vlastnosti (5) platí, že 0+0=00 + 0 = 00+0=0. To znamená, že součin s 0 je 0. Můžeme tedy psát a0=a(0+0)a0 = a(0 + 0)a0=a(0+0).
Podle vlastnosti (11) se to rozdělí na a0=a0+a0a0 = a0 + a0a0=a0+a0.
Podle vlastnosti (6) existuje jedinečná aditivní inverze -a0-a0-a0 k a0a0a0, takže ji můžeme přičíst k oběma stranám naší rovnice a dostaneme a0+(-a0)=a0+a0+(-a0)a0 + (-a0) = a0 + a0 + (-a0)a0+(-a0)=a0+a0+(-a0).
Zjednodušením dostaneme 0=a00 = a00=a0.
Když to dáme dohromady
Z toho můžeme vyvodit, že a2+(-a)(a)=a0=0a^2 + (-a)(a) = a0 = 0a2+(-a)(a)=a0=0, takže (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Zapojíme-li to do předchozího lemmatu, máme -a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a) = -a(a) + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a).
Podle vlastnosti (11) pak můžeme tento výraz vynásobit na -a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a))-a^2 + (-a)(-a) = -a(a + (-a))-a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a)).
Podle vlastnosti (6), když dáme dohromady aditivní inverze, máme -a2+(-a)(-a)=-a0-a^2 + (-a)(-a) = -a0-a2+(-a)(-a)=-a0, takže -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0.
Takže (-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a) je jedinečnou aditivní inverzí -a2-a^2-a2, a proto (-a)(-a)=a2(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
Pokračujeme-li až nahoru, skončili jsme v bodě 0<(-1)(-1)0 < (-1)(-1)0<(-1)(-1). Toto poslední lemma nám říká, že (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)=(1)(1). Podle vlastnosti (9) je multiplikativní prvek identity (1)(1)=1(1)(1) = 1(1)(1)=1. Máme tedy 0<10 < 10<1, takže 1>01 > 01>0.
To je rozpor, protože jsme předpokládali, že 1<01 < 01<0! Podle vlastnosti (15) je každé reálné číslo buď kladné, záporné, nebo nulové – žádné číslo nemůže být současně kladné i záporné! Máme tedy nemožnost a náš původní předpoklad – 1<01 < 01<0 – nemůže platit. Tuto možnost můžeme vyloučit, takže nám zbývá jediný případ: Protože víme, že každé reálné číslo musí spadat do jednoho ze tří případů, a my jsme dva z nich vyloučili, musíme mít 1>01 >01 > 01>0.
Jak to hezky vyjádřil Peter Thiel, jak svěží a zvláštní.