Jako trojúhelník 30-60-90 vychází z rovnostranného trojúhelníku, trojúhelník 45-45-90 vychází ze čtverce, trojúhelníky 18-72-90 a 36-54-90 vycházejí z pravidelného pětiúhelníku (viz https://robertlovespi.wordpress.com/2013/03/12/the-18-72-90-and-36-54-90-triangles/) a trojúhelník 22.5-67,5-90 vychází z pravidelného osmiúhelníku (viz předchozí příspěvek), takže trojúhelník 15-75-90 vychází z pravidelného dvanáctiúhelníku, který je zde zobrazen se třemi poloměry (červeně) a jednou úhlopříčkou (fialově). Trojúhelník 15-75-90 je znázorněn žlutě. Argument ze symetrie stačí k tomu, abychom ukázali, že úhel EFC je v tomto trojúhelníku pravoúhlý a větší z jeho dvou ostrých úhlů (úhel FCE) je polovinou vnitřního úhlu tohoto dodekagonu. Vnitřní úhel pravidelného desetiúhelníku měří 150 stupňů (důkaz je triviální), a tak úhel FCE musí měřit polovinu této hodnoty, tedy 75 stupňů. Zbývá tedy 15 stupňů pro úhel CEF, a to prostřednictvím věty o součtu trojúhelníků.
Co však s délkami stran trojúhelníku 15-75-90? Nejprve uvažujme zobrazené červené úhlopříčky a nechť každá z nich má délku 2. Úhly DAF a FAE měří každý 30 stupňů, protože 360/12 = 30, a jsou to středové úhly mezi sousedními poloměry. Sčítáním úhlů tedy vznikne úhel DAE o velikosti 60 stupňů a trojúhelník DAE je, jak známo, rovnoramenný, protože obě červené strany jsou poloměry téhož pravidelného dvanáctiúhelníku, a jsou tedy shodné. Podle věty o rovnoramenném trojúhelníku a věty o součtu trojúhelníků pak úhly ADE a AED měří každý také (180-60)/2 = 60 stupňů, takže trojúhelník ADE je tedy rovnostranný, přičemž fialová strana DE má také délku dva. Symetrie stačí k tomu, abychom viděli, že DE je přepůlen poloměrem AC, což vede k závěru, že EF, dlouhá odnož trojúhelníku 15-75-90, má délku 1.
Úsečka AF je středem, a tedy i výškou, rovnostranného trojúhelníku ADE a rozděluje jej na dva trojúhelníky 30-60-90, z nichž jeden je trojúhelník AEF. O jeho přeponě AE již víme, že má délku 2, zatímco o jeho krátkém rameni EF již víme, že má délku 1. Úsečka AF je tedy dlouhým ramenem tohoto trojúhelníku 30-60-90 a má délku √3.
AF, délka √3, a FC, krátké rameno trojúhelníku 15-75-90, dohromady tvoří dodekagon o poloměru AC, který má již stanovenou délku 2. Odečtením délek pak FC, krátké rameno trojúhelníku 15-75-90, má délku 2 – √3. V tomto případě se jedná o úsečku o délce 2 – √3. Na tomto místě je rozumné provést zkoušku pomocí tečny k úhlu 15 stupňů FEC ve žlutém trojúhelníku. Tan(15 stupňů) se rovná 0,26794919…, což je také desetinná aproximace pro FC/EF, neboli (2 – √3)/1.
K tomu, abychom znali poměry délek stran trojúhelníku 15-75-90, zbývá určit délku EC, jeho přepony, pomocí Pythagorovy věty. Čtverec délky EC se musí rovnat čtverci 1 plus čtverci (2 – √3), takže čtverec EC se rovná 1 + 4 – 4√3 + 3, neboli 8 – 4√3. Hypotenuse (EC) se tedy musí rovnat druhé odmocnině z 8 – 4√3, což je √(8-4√3)) = 2√(2-√3)).
Poměr krátká odnož:dlouhá odnož:přepona v trojúhelníku 15-75-90 je tedy (2-√3):1:2√(2-√3)).