Předskriptum (z 26. června 2020): Tyto příspěvky o elementární matematice a fyzice příliš neutrpěly útokem temné síly – což je dobře, protože je mám stále rád. I když se mé názory na skutečnou povahu světla, hmoty a síly či sil, které na ně působí, v rámci mého zkoumání realističtějšího (klasického) vysvětlení kvantové mechaniky značně vyvinuly, myslím, že většina (ne-li všechny) analýzy v tomto příspěvku zůstává platná a zábavná na čtení. Vlastně zjišťuji, že ty nejjednodušší věci jsou často nejlepší. 🙂
Původní příspěvek:
Můj první pracovní název tohoto příspěvku byl Hudba a mody. Tak jsem si to představoval. Módy. Ne nálady. Vztah mezi hudbou a náladami je také zajímavé výzkumné téma, ale tak o tom psát nebudu. 🙂
Začalo to tím, že jsem si říkal, že bych měl skutečně napsat něco o módech, protože pojem módu vlnění, nebo vlastně jakéhokoli oscilátoru, je pro fyziku docela zásadní, a to jak v klasické fyzice, tak i v kvantové fyzice (kvantově-mechanické systémy se také analyzují jako oscilátory!). Přemýšlel jsem ale, jak k tomu přistupovat, protože je to poměrně nudné téma, pokud se díváte jen na matematiku. Pak jsem se ale vracel z Evropy do Asie, kde žiji, a protože také trochu hraji na kytaru, najednou jsem chtěl vědět, proč máme rádi hudbu. A pak mě napadlo, že tuhle otázku jste si možná někdy položili taky! A tak mě pak napadlo, že bych měl psát o módech jako o součásti zajímavějšího příběhu: příběhu o hudbě – nebo přesněji řečeno příběhu o fyzice, která stojí za hudbou. Takže… Pojďme na to.
Filosofie versus fyzika
Na otázku, proč máme rádi hudbu, existuje samozřejmě velmi jednoduchá odpověď: hudbu máme rádi, protože je to hudba. Kdyby to nebyla hudba, neměli bychom ji rádi. To je poněkud filozofická odpověď, která pravděpodobně uspokojí většinu lidí. Pro někoho, kdo studuje fyziku, však tato odpověď jistě nemůže být dostačující. Co se skrývá za fyzikou? Prošel jsem si Feynmanovu přednášku o zvukových vlnách v rovině, zkombinoval ji s dalšími věcmi, které jsem si vygooglil, když jsem přišel, a pak jsem napsal tento příspěvek, který vám dá mnohem méně filozofickou odpověď. 🙂
Pozorování v centru diskuse je klamně jednoduché: proč je to tak, že podobné struny (tj. struny ze stejného materiálu, se stejnou tloušťkou atd.), při stejném napětí, ale lišící se délkou, znějí při společném rozezvučení „příjemně“ tehdy – a jen tehdy – když je poměr délek strun jako 1:2, 2:3, 3:4, 3:5, 4:5 atd (tj. jako jakýkoli jiný poměr dvou malých celých čísel)?
Asi si říkáte: je to skutečně otázka? Je. Otázka je skutečně klamně jednoduchá, protože, jak za chvíli uvidíte, odpověď je poměrně složitá. Dokonce tak složitá, že pythagorejci neměli žádnou odpověď. A neměl ji ani nikdo jiný – až zhruba do 18. století, kdy si hudebníci, fyzikové i matematici začali uvědomovat, že struna (kytary, klavíru nebo jakéhokoli jiného nástroje, který měl Pythagoras v té době na mysli) nebo sloupec vzduchu (například ve varhanách nebo trubce) či cokoli jiného, co vlastně vytváří hudební tón, ve skutečnosti kmitá na mnoha frekvencích současně.
Pythagorejci netušili, že struna sama o sobě je poměrně složitá věc – něco, co fyzici označují jako harmonický oscilátor – a že její zvuk tedy ve skutečnosti vytváří mnoho frekvencí, a nikoli pouze jedna. V té době také neexistoval pojem čistého tónu, tj. tónu, který je prostý harmonických (tj. prostý všech ostatních frekvencí kromě základní frekvence). A kdyby existoval, stejně by nedokázali vyrobit čistý tón: výroba čistých tónů – nebo not, jak je budu poněkud nepřesně nazývat (měl bych říkat: čistá výška tónu) – je pozoruhodně složitá a v přírodě neexistují. Kdyby pythagorejci byli schopni vyrobit čisté tóny, vypozorovali by, že čisté tóny nevyvolávají žádný pocit konsonance nebo disonance, pokud jejich relativní frekvence respektují tyto jednoduché poměry. Opakované pokusy, při nichž se takové čisté tóny produkují, totiž ukázaly, že člověk vlastně nedokáže říci, zda jde o hudební zvuk, nebo ne: je to prostě zvuk, a ten není ani příjemný (řekněme konsonantní), ani nepříjemný (tj. disonantní).
Pythagorovo pozorování však platí pro skutečné (tj. ne-čisté) hudební tóny. Stručně řečeno, musíme rozlišovat mezi tóny a notami (tj. čistými tóny): jsou to dvě velmi odlišné věci a podstata celého argumentu spočívá v tom, že hudební tóny vycházející z jedné (nebo více) struny (strun) pod napětím jsou plné harmonických složek, a jak vysvětlím za chvíli, právě to vysvětluje pozorovaný vztah mezi délkami těchto strun a jevem konsonance (tj. souzvuku).tj. zněním „příjemným“) nebo disonancí (tj. zněním „nepříjemným“).
Je samozřejmě snadné říci to, co říkám výše: jsme v roce 2015, a tak máme výhodu zpětného pohledu. Tehdy – tedy před více než 2 500 lety! – jednoduchý, ale pozoruhodný fakt, že délky podobných strun by měly respektovat nějaký jednoduchý poměr, mají-li spolu „hezky“ znít, vyvolal fascinaci teorií čísel (pythagorejci vlastně položili základy toho, co dnes známe jako teorii čísel). Pythagoras se domníval, že podobné vztahy by měly platit i pro další přírodní jevy! Abychom uvedli jen jeden příklad, pythagorejci se také domnívali, že oběžné dráhy planet budou také respektovat tyto jednoduché číselné vztahy, a proto hovořili o „hudbě sfér“ (Musica Universalis).
Dnes víme, že se pythagorejci mýlili. Poměry v pohybech planet kolem Slunce nerespektují jednoduché poměry a s výhodou zpětného pohledu je opět politováníhodné, že bylo zapotřebí mnoha odvážných a geniálních lidí, jako byli Galileo Galilei a Koperník, aby o tom přesvědčili církev. 😦 Také Pythagorova pozorování, pokud jde o zvuky vycházející z jakýchkoli strun, na které se díval, byla sice správná, ale jeho závěry byly nesprávné: z pozorování nevyplývá, že by všechny frekvence hudebních tónů měly být v nějakém jednoduchém vzájemném poměru.
Zopakuji, co jsem napsal výše: frekvence hudebních tónů nejsou v nějakém jednoduchém vzájemném poměru. Frekvenční stupnice všech hudebních tónů je logaritmická, a i když z toho vyplývá, že můžeme efektivně provádět určité triky s poměry založenými na vlastnostech logaritmické stupnice (jak vysvětlím za chvíli), takzvaný „pythagorejský“ systém ladění, který je založen na jednoduchých poměrech, byl prostě špatný, i když se – nebo jeho určitá varianta (místo poměru 3:2 používali hudebníci přibližně od roku 1510 poměr 5:4) – obecně používal až do 18. století! Stručně řečeno, Pythagoras se skutečně mýlil – přinejmenším v tomto ohledu: s těmito jednoduchými poměry toho moc nenaděláme.
Jak již bylo řečeno, základní Pythagorova intuice byla správná a tato intuice je dodnes do značné míry hnacím motorem fyziky: je to představa, že přírodu lze popsat nebo vysvětlit (ať už to znamená cokoli) pouze pomocí kvantitativních vztahů. Podívejme se, jak to vlastně funguje v hudbě.
Tóny, šum a noty
Nejprve definujme a rozlišujme tóny a noty. Hudební tón je opakem šumu a rozdíl mezi nimi spočívá v tom, že hudební tóny jsou periodické průběhy, mají tedy periodu T, jak je znázorněno níže. Naproti tomu šum je neperiodický průběh. Je to tak jednoduché.
Z předchozích příspěvků víte, že libovolnou periodickou funkci můžeme zapsat jako součet potenciálně nekonečného počtu jednoduchých harmonických funkcí a že tento součet se označuje jako Fourierova řada. Zde to jen poznamenávám, takže se tím prozatím nezabývejte. Vrátím se k tomu později.
Víte také, že máme sedm hudebních not: Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si nebo, což je v anglicky mluvícím světě běžnější, A-B-C-D-E-F-G. A pak to opět začíná písmenem A (neboli Do). Máme tedy dva tóny oddělené intervalem, který se označuje jako oktáva (z řeckého octo, tj. osm), a mezi nimi šest tónů, takže celkem osm tónů. Víte však také, že existují noty mezi nimi, kromě těch mezi E a F a mezi B a C. Ty se označují jako půltóny nebo půlkroky. Dávám přednost termínu „půltón“ před termínem „půltón“, protože ve skutečnosti mluvíme o notách, nikoliv o tónech.
Máme například fis (značí se F#), kterému můžeme říkat také g-bas (značí se Gb). Je to totéž: ostrý tón # zvedá notu o půltón (neboli půlkrok) a plochý tón b ji o stejnou hodnotu snižuje, takže F# je Gb. To ukazuje následující obrázek: v oktávě máme osm tónů, ale dvanáct půlkroků.
Podívejme se nyní na frekvence. Výše uvedená frekvenční stupnice (vyjádřená v kmitočtech za sekundu, tedy v jednotce hertz) je logaritmická: frekvence se zdvojnásobují, jak postupujeme od jedné oktávy k druhé: frekvence výše uvedeného tónu C4 (tzv. středního C) je 261,626 Hz, zatímco frekvence následujícího tónu C (C5) je dvojnásobná: 523,251 Hz.
Pokud tedy interval mezi C4 a C5 ztotožníme s jedničkou (oktáva je tedy naší hudební „jednotkou“), pak interval mezi dvanácti půltóny je zřejmě 1/12. V tomto případě je tedy interval mezi dvanácti půltóny 1/12. Proč? Protože v naší hudební jednotce máme 12 půlkroků. Snadno si také ověříte, že vzhledem k tomu, jak fungují logaritmy, bude poměr frekvencí dvou tónů, které od sebe dělí jeden půlkrok (například mezi D# a E), roven 21/12. Stejně tak poměr frekvencí dvou tónů, které od sebe dělí n půlkroků, bude roven 2n/12.
Nyní, protože frekvence různých tónů C jsou vyjádřeny číslem zahrnujícím nějaký desetinný zlomek (například 523,251 Hz, přičemž 0,251 je vlastně jen přibližná hodnota), a protože se proto trochu špatně čtou a/nebo se s nimi pracuje, budu ilustrovat další myšlenku – tj.tj. pojem harmonické – s A místo C. 🙂
Harmonická
Nejnižší A na klavíru se označuje A0 a jeho frekvence je 27,5 Hz. Existují i nižší tóny A (máme například jeden s frekvencí 13,75 Hz), ale nepoužíváme je, protože jsou blízko (nebo vlastně za hranicí) nejnižších frekvencí, které můžeme slyšet. Zůstaňme tedy u našeho klavíru a začněme s onou frekvencí 27,5 Hz. Další tón A je A1 a jeho frekvence je 55 Hz. Pak máme A2, což je jako A na mé (nebo vaší) kytaře: jeho frekvence je rovna 2×55 = 110 Hz. Následuje tón A3, u kterého opět zdvojnásobíme frekvenci: nyní jsme na 220 Hz. Další je A na obrázku stupnice C výše: A4 s frekvencí 440 Hz.
Nyní jsou všechny tóny, o kterých zde mluvíme, takzvanými čistými tóny. Ve skutečnosti, když říkám, že A na naší kytaře se označuje jako A2 a že má frekvenci 110 Hz, pak se vlastně dopouštím velkého zjednodušení. Ba co hůř, lžu, když to říkám: když zahrajete na strunu kytary nebo když udeříte do klávesy klavíru, budou rezonovat i nejrůznější další frekvence – takzvané harmonické – a to je to, co dává zvuku kvalitu: díky tomu zní krásně. Takže základní frekvence (známá také jako první harmonická) je v pořádku 110 Hz, ale budeme mít také druhou, třetí, čtvrtou atd. harmonickou s frekvencí 220 Hz, 330 Hz, 440 Hz atd. V hudbě se základní neboli fundamentální frekvence označuje jako výška tónu, a jak vidíte, často používám termín „nota“ (nebo čistý tón) jako synonymum pro výšku tónu – což je víceméně v pořádku, ale vlastně ne zcela správné.
Co je za tím z fyzikálního hlediska? Podívejte se na obrázek níže (vypůjčil jsem si ho ze stránek Physics Classroom). Tlustá černá čára je struna a vlnová délka její základní frekvence (tj. první harmonické) je dvojnásobkem její délky, takže píšeme λ1 = 2-L nebo naopak L = (1/2)-λ1. To je nyní takzvaný první mód struny.
Máme také druhý, třetí atd. mód, který je znázorněn níže, a tyto módy odpovídají druhé, třetí, resp. další harmonické.
Pro druhý, třetí atd. mód platí zřejmě následující vztah mezi vlnovou délkou a délkou struny: L = (2/2)-λ2 = λ2, L = L = (3/2)-λ3, atd. Obecněji řečeno, pro n-tý mód bude L = (n/2)-λn, přičemž n = 1, 2 atd. Ve skutečnosti, protože L má být nějaká pevná délka, bychom to měli psát obráceně: λn = (2/n)-L.
Co z toho vyplývá pro frekvence? Víme, že rychlost vlnění – označme ji c – při pohybu nahoru a dolů po struně je vlastností struny, a to pouze vlastností struny. Jinými slovy, nezávisí na frekvenci. Nyní je rychlost vlnění vždy rovna kmitočtu krát vlnová délka, takže máme c = f-λ. Vezměme si příklad (klasické) kytarové struny: její délka je 650 mm, tj. 0,65 m. Proto se identity λ1 = (2/1)-L, λ2 = (2/2)-L, λ3 = (2/3)-L atd. stávají λ1 = (2/1)-0,65 = 1,3 m, λ2 = (2/2)-0,65 = 0,65 m, λ3 = (2/3)-0,65 = 0,433.. m atd. Spojíme-li nyní tyto vlnové délky s výše uvedenými frekvencemi, dostaneme rychlost vlnění c = (110 Hz)-(1,3 m) = (220 Hz)-(0,65 m) = (330 Hz)-(0,433.. m) = 143 m/s.
Nyní se vrátím k Pythagorově struně. Měli byste si všimnout, že frekvence harmonických, které vytváří jednoduchá kytarová struna, spolu souvisejí pomocí jednoduchých celočíselných poměrů. Frekvence první a druhé harmonické jsou totiž v jednoduchém poměru 2:1 (2:1). Frekvence druhé a třetí harmonické jsou v poměru 3:2. Třetí a čtvrtá harmonická mají poměr frekvencí 4:3. Pátá a čtvrtá harmonická 5:4 a tak dále a tak dále. Musí být. Proč? Protože harmonické jsou prostými násobky základní frekvence. A teď to, co skutečně stojí za Pythagorovým pozorováním: když rozezníval podobné struny se stejným napětím, ale různou délkou, vydával zvuky se stejnými harmonickými. Nic víc, nic míň.
Dovolte mi, abych se vyjádřil zcela jasně, protože pointa, kterou se zde snažím vyjádřit, je poněkud subtilní. Pythagorova struna je Pythagorova struna: mluvil o podobných strunách. Nemluvíme tedy o nějaké skutečné kytaře, klavíru nebo jakémkoli jiném strunném nástroji. Struny na (moderních) strunných nástrojích nejsou podobné a nemají stejné napětí. Například šest strun kytarových strun se neliší délkou (všechny mají 650 mm), ale liší se napětím. Šest strun klasické kytary má také jiný průměr a první tři struny jsou hladké, na rozdíl od spodních strun, které jsou vinuté. Struny tedy nejsou podobné, ale skutečně velmi odlišné. Pro ilustraci jsem níže zkopíroval hodnoty jen pro jednu z mnoha komerčně dostupných sad kytarových strun. 
Stejné je to i u strun pro klavír. Jsou sice poněkud jednodušší (všechny jsou vyrobeny z klavírního drátu, což je v podstatě velmi kvalitní ocelový drát), ale také se liší – nejen délkou, ale i průměrem, který se obvykle pohybuje od 0,85 mm u nejvyšších výškových strun až po 8,5 mm (tedy desetkrát 0,85 mm) u nejnižších basových tónů.
Krátce řečeno, Pythagoras nehrál na kytaru nebo klavír (nebo na jakýkoli jiný sofistikovanější strunný nástroj, který Řekové jistě také museli mít), když přemýšlel o těchto harmonických vztazích. Fyzikální vysvětlení jeho slavného postřehu je tedy poměrně jednoduché: hudební tóny, které mají stejnou harmonickou, znějí příjemně, nebo bychom měli říci souzvučně – z latinského con-sonare, což doslova znamená „znít společně“ (od sonare = znít a con = s). A v opačném případě… No… Pak nezní příjemně: jsou disonantní.
Abych to zdůraznil, dovolte mi zdůraznit, že když drnkáme na strunu, vydáváme zvuk složený z mnoha frekvencí, a to najednou. Lze to vidět v praxi: pokud na klavíru udeříte na spodní strunu A – řekněme na strunu A2 o frekvenci 110 Hz – pak její druhá harmonická (220 Hz) rozkmitá i strunu A3, protože má stejnou frekvenci! A její čtvrtá harmonická pak rozkmitá i strunu A4, protože obě mají frekvenci 440 Hz. Síla těchto dalších vibrací (nebo bychom měli říci jejich amplituda) bude samozřejmě záviset na síle ostatních harmonických a měli bychom samozřejmě očekávat, že základní frekvence (tj. první harmonická) pohltí většinu energie. Taháme tedy za jednu strunu, a tak máme jeden zvuk, pouze jeden tón, ale zároveň mnoho tónů!“
V této souvislosti byste si také měli všimnout, že třetí harmonická naší struny A2 o frekvenci 110 Hz odpovídá základní frekvenci tónu E4: obě mají 330 Hz! A samozřejmě harmonické tónu E, jako je jeho druhá harmonická (2-330 Hz = 660 Hz), odpovídají i vyšším harmonickým tónu A! Abychom byli konkrétní, druhá harmonická naší struny E odpovídá šesté harmonické naší struny A2. Pokud je vaše kytara dobrá a pokud jsou vaše struny také přiměřeně kvalitní, skutečně to uvidíte: (spodní) struny E a A spoluvibrují, pokud hrajete akord A dur, ale úderem pouze na horní čtyři struny. Energie – vlastně pohyb – se tedy přenáší ze čtyř strun, na které udeříte, na dvě struny, na které neudeříte! Řeknete si: No a co? No… Jestli máte nějaký lepší důkaz o aktuálnosti (nebo reálnosti) současného výskytu různých frekvencí, řekněte mi ho, prosím! 🙂
Takže proto zní A a E velmi dobře dohromady (A, E a C#, zahrané společně, tvoří takzvaný akord A dur): naše ucho má rádo shodné harmonické. A tedy to, proč se nám líbí hudební tóny – nebo proč tyto tóny definujeme jako hudební! 🙂 Ještě jednou to shrnu: hudební tóny jsou složené zvukové vlny, které se skládají ze základní frekvence a tzv. harmonických (takže v jednom hudebním tónu máme dohromady mnoho tónů nebo čistých tónů). Když mají jiné hudební tóny společné harmonické a my tyto tóny rozezníme také, získáme pocit harmonie, tj. kombinace zní souzvučně.
Není těžké pochopit, že takové společné harmonické budeme mít vždy, když budeme mít podobné struny se stejným napětím, ale různou délkou, které rozezníme společně. Stručně řečeno, to, co Pythagoras vypozoroval, nemá mnoho společného s notami, ale s tóny. Pojďme nyní v analýze trochu dál tím, že zavedeme další matematiku. A ano, velmi se omlouvám: je to skutečně obávaná Fourierova analýza! 🙂
Fourierova analýza
Víte, že jakoukoli periodickou funkci můžeme rozložit na součet (potenciálně nekonečné) řady jednoduchých sinusových funkcí, jak je znázorněno níže. Obrázek jsem převzal z Wikipedie: červená funkce s6(x) je součtem šesti sinusových funkcí různých amplitud a (harmonicky souvisejících) frekvencí. Takzvaná Fourierova transformace S(f) (modře) spojuje šest frekvencí s příslušnými amplitudami.
Ve světle výše uvedené diskuse je snadné pochopit, co to znamená pro zvuk vycházející z drnkací struny. Použijeme-li zápis úhlové frekvence (vše tedy zapisujeme pomocí ω místo f), víme, že normální nebo vlastní módy kmitání mají frekvence ω = 2π/T = 2πf (to je tedy základní frekvence neboli první harmonická), 2ω (druhá harmonická), 3ω (třetí harmonická) a tak dále a tak dále.
Není důvod předpokládat, že všechny sinusové funkce, které tvoří náš tón, by měly mít stejnou fázi: může zde být určitý fázový posun Φ, a proto bychom měli naši sinusovou funkci zapsat nikoli jako cos(ωt), ale jako cos(ωt + Φ), abychom zajistili dostatečnou obecnost naší analýzy. Z hodin geometrie nyní víme, že cos(ωt + Φ) můžeme přepsat jako
cos(ωt + Φ) =
Těchto funkcí máme samozřejmě hodně – vlastně pro každou harmonickou jednu – a proto bychom měli používat indexy, což děláme v následujícím vzorci, který říká, že každou funkci f(t), která je periodická s periodou T, můžeme matematicky zapsat jako:
Možná vás napadne: co je to ta perioda T? Je to perioda základního módu, tj. první harmonické. Ve skutečnosti bude perioda druhé, třetí atd. harmonické pouze poloviční, třetinová atd. periody první harmonické. T2 = (2π)/(2ω) = (1/2)-(2π)/ω = (1/2)-T1 a T3 = (2π)/(3ω) = (1/3)-(2π)/ω = (1/3)-T1 a tak dále. Snadno však zjistíme, že tyto funkce se opakují i po dvou, třech, resp. dalších periodách. Vše je tedy v pořádku a obecná myšlenka Fourierovy analýzy je dále ilustrována níže.
Řeknete si: Co to sakra je! K čemu je nám tady ta matematická gymnastika? Jen proto, abychom pochopili tu další vlastnost hudebního tónu: jeho kvalitu (na rozdíl od jeho výšky). Takzvaný bohatý tón bude mít silné harmonické, zatímco čistý tón bude mít pouze první harmonickou. Všechny ostatní charakteristiky – rozdíl mezi tónem vydávaným houslemi na rozdíl od klavíru – pak souvisejí s „mixem“ všech těchto harmonických.
Takže teď už to máme všechno, kromě hlasitosti, která samozřejmě souvisí s velikostí změn tlaku vzduchu při pohybu našeho vlnění vzduchem: výšku, hlasitost a kvalitu. to je to, co dělá hudební tón hudbou. 🙂
Disonance
Jak už bylo řečeno výše, pokud zvuky nejsou souzvučné, jsou disonantní. Ale co je to vlastně disonance? Co se děje? Odpověď je následující: Když se dvě frekvence blíží jednoduchému zlomku, ale nejsou přesné, vznikají takzvané údery, které se našemu uchu nelíbí.
Huh? Uvolněte se. Následující obrázek, který jsem zkopíroval z článku o ladění klavíru na Wikipedii, tento jev ilustruje. Modrá vlna je součtem červené a zelené vlny, které jsou původně totožné. Pak se ale zvýší frekvence zelené vlny, takže obě vlny už nejsou ve fázi a výsledkem interference je tepající vzor. Náš hudební tón samozřejmě zahrnuje různé frekvence, a tedy i různé periody T1,T2, T3 atd. ale chápete: vyšší harmonické také kmitají s periodou T1, a pokud frekvence nejsou v nějakém přesném poměru, budeme mít podobný problém: bití, a našemu uchu se zvuk nebude líbit.
Jistě vás napadne: proč se nám nelíbí bití v tónech? Na to se přece můžeme zeptat, ne? Je to jako ptát se, proč se nám líbí hudba, že? No… Je to tak a není to tak. Je to jako ptát se, proč má naše ucho (nebo náš mozek) rádo harmonické tóny. To nevíme. Tak jsme prostě nastaveni. „Fyzikální“ vysvětlení toho, co je hudba a co ne, jde asi jen do určité míry. 😦
Pythagoras versus Bach
Z toho všeho, co jsem napsal výše, je zřejmé, že frekvence harmonických složek hudebního tónu spolu skutečně souvisejí pomocí jednoduchých poměrů malých celých čísel: Frekvence první a druhé harmonické jsou v jednoduchém poměru 2:1 (2:1); druhá a třetí harmonická mají poměr frekvencí 3:2; třetí a čtvrtá harmonická 4:3; pátá a čtvrtá harmonická 5:4, atd. To je vše. Nic víc, nic míň.
Jinými slovy, Pythagoras pozoroval hudební tóny: nemohl pozorovat čisté tóny za nimi, tj. skutečné noty. Estetika však vedla Pythagora a po něm všechny hudebníky – až do poloviny 18. století – také k názoru, že poměr frekvencí tónů v oktávě by měl být také jednoduchým poměrem. Z toho, co jsem vysvětlil výše, je zřejmé, že by to tak fungovat nemělo: poměr frekvencí dvou tónů vzdálených od sebe n půlkroků je 2n/12 a pro většinu hodnot n není 2n/12 nějaký jednoduchý poměr.
Takže – už jsem to řekl – Pythagoras se mýlil – nejen v tomto, ale i v jiných ohledech, například když zastával své názory na sluneční soustavu. Opět mě mrzí, že to musím říct, ale je to tak, jak to je: pythagorejci zřejmě skutečně dávali přednost matematickým představám před fyzikálním experimentem 🙂 Přitom hudebníci zřejmě o žádné alternativě k Pythagorovi nevěděli a o logaritmických vahách v té době jistě nikdy neslyšeli. Takže… No… Používali takzvaný pythagorejský systém ladění. Přesněji řečeno, ladili své nástroje tak, že poměr frekvencí mezi prvním a pátým tónem stupnice C (tedy C a G, protože při počítání nezapočítávali půltóny C#, D# a F#) srovnali s poměrem 3/2 a pro tóny mezi nimi pak používali další tzv. harmonické poměry.
Teď je poměr 3/2 vlastně téměř správný, protože skutečný poměr frekvencí je 27/12 (máme sedm tónů včetně půltónů – ne pět!), a to je tedy přibližně 1,4983. To už je docela blízko k 3/2 = 1,5, řekl bych. 🙂 Při použití této aproximace (která je, uznávám, opravdu docela přesná) by se pak ladění ostatních strun provádělo také za předpokladu, že by se měly dodržet určité poměry, jako jsou ty níže uvedené.
Takže to bylo všechno docela dobré. Jak již bylo řečeno, dobří hudebníci a někteří skvělí matematici cítili, že něco není v pořádku – už jen proto, že existovalo několik takzvaných systémů spravedlivé intonace (přehled najdete v článku o spravedlivé intonaci na Wikipedii). A co je důležitější, měli pocit, že je poměrně obtížné transponovat hudbu pomocí pythagorejského systému ladění. Transponování hudby se rovná změně tzv. tóniny hudební skladby: v podstatě jde o to, že se celá skladba posune o určitý konstantní interval, který se nerovná oktávě. Dnes je transponování hudby hračkou – alespoň v západní hudbě. Ale to jen proto, že veškerá západní hudba se hraje na nástroje, které jsou laděny pomocí této logaritmické stupnice (odborně se označuje jako dvanáctitónový temperovaný systém (12-TET)). Pokud byste pro ladění použili některý z pythagorejských systémů, transponovaná skladba nezní zcela správně.
Prvním matematikem, který zřejmě skutečně věděl, co je špatně (a tedy také věděl, co dělat), byl Simon Stevin, který kolem roku 1600 napsal rukopis založený na „principu 12. odmocniny ze 2“. Nemělo by nás to překvapit: myšlení tohoto matematika z Brugg mělo inspirovat práci Johna Napiera o logaritmech. Bohužel, ačkoli tento rukopis popisuje základní principy systému 12. odmocniny, nebyl publikován (Stevin musel z Brugg utéct do Holandska, protože byl protestant a to se tehdejším španělským vládcům nelíbilo). Proto hudebníci, ačkoli matematice (nebo spíše fyzice), která stála za jejich hudbou, tak docela nerozuměli, zkoušeli i jiné systémy ladění, protože měli pocit, že jejich hudba zní vskutku lépe.
Jedním z těchto „jiných systémů“ je takzvaná „dobrá“ temperace, o které jste jistě slyšeli, protože se o ní mluví v Bachově slavné skladbě Das Wohltemperierte Klavier, kterou dokončil v první polovině 18. století. Co je to vlastně ten „dobrý“ temperament? No… Je to to, co to je: je to jeden z těch systémů ladění, díky němuž se hudebníci cítili ve své hudbě lépe, a to z řady důvodů, z nichž všechny jsou dobře popsány v článku o něm na Wikipedii. Hlavním důvodem však je, že systém ladění, který Bach doporučoval, byl mnohem lepší, pokud šlo o hraní stejné skladby v jiné tónině. Stále to však nebylo úplně správné, protože to nebyl systém rovné temperace (tj. systém 12-TET), který je zaveden nyní (alespoň na Západě – například indická hudební stupnice je stále založena na jednoduchých poměrech).
Proč se o tomto Bachově díle zmiňuji? Důvod je prostý: pravděpodobně jste o něm slyšeli, protože je jedním z hlavních referenčních bodů v jedné poměrně slavné knize: Gödel, Escher a Bach – věčný zlatý cop. Pokud ne, pak na ni rovnou zapomeňte. Zmiňuji se o ní proto, že ji miluje jeden z mých bratrů. Je to o umělé inteligenci. Nečetl jsem ji, ale musím předpokládat, že Bachova mistrovská skladba je tam analyzována kvůli své struktuře, nikoli kvůli systému ladění, který má člověk při hraní používat. Takže… no… řekl bych: nedělejte z té skladby ještě větší mystiku, než už je. 🙂 Ta „magie“ za tím souvisí s tím, co jsem říkal o A4 jako „referenčním bodu“ v hudbě: protože teď používáme univerzální logaritmickou stupnici, nic takového jako absolutní referenční bod už neexistuje: jakmile si definujeme hudební „jednotku“ (takže v západní hudbě je to takzvaná oktáva) a také definujeme, kolik stupňů chceme mít mezi nimi (takže je to 12 – tedy v západní hudbě), dostaneme vše ostatní. Tak prostě fungují logaritmy.
Takže, stručně řečeno, hudba je celá o struktuře, tj. je celá o matematických vztazích, a pouze o matematických vztazích. Opět platí, že Pythagorovy závěry byly chybné, ale jeho intuice byla správná. A samozřejmě právě jeho intuice stála u zrodu vědy: jednoduché „modely“, které vytvořil – o tom, jak spolu mají souviset noty, nebo o naší sluneční soustavě – byly zřejmě jen začátkem všeho. A jak skvělý to byl začátek! Když se ještě jednou ohlédneme zpět, je docela smutné, že konzervativní síly (například církev) často stály pokroku v cestě. Vlastně se najednou divím: kdyby vědcům tyto konzervativní síly nevadily, mohlo lidstvo posílat lidi už v době, kdy se narodil Karel V., tj. kolem roku 1500 n. l.? 🙂
Post scriptum: Můj příklad o souhře (spodních) strun E a A na kytaře při hraní akordu A dur úderem pouze na horní čtyři struny je poněkud ošemetný. (Spodní) struny E a A jsou spojeny s nižšími tóny a řekli jsme, že overtony (tj. druhá, třetí, čtvrtá atd. harmonická) jsou násobky základní frekvence. Proč tedy spodní struny spoluvibrují? Odpověď je snadná: kmitají pouze na vyšších frekvencích. Pokud máte kytaru: jen si to vyzkoušejte. Dvě struny, na které nebrnkáte, sice kmitají – a to velmi viditelně, ale nízké základní frekvence, které z nich vycházejí, když byste do nich udeřili, nejsou slyšet. Stručně řečeno, rezonují pouze na vyšších frekvencích. 🙂
Příklad, který uvádí Feynman, je mnohem přímočařejší: jeho příklad zmiňuje nižší tóny C (respektive A, B atd.) na klavíru, které způsobují vibrace vyšších strun C (respektive vyšších strun A, B atd.). Například úder na klávesu C2 (a tedy na strunu C2 uvnitř klavíru) rozkmitá i (vyšší) strunu C3. Ale málokdo z nás má doma klavír, řekl bych. Proto dávám přednost svému příkladu s kytarou. 🙂