(nar. 24. září 1625 v Dordrechtu, Nizozemsko; zemř. 20. srpna 1672 v Haagu, Nizozemsko)
matematik.
De Witt byl synem Jacoba de Witta, dordrechtského purkmistra, a Anny van de Corput. Obě rodiny byly významnými příslušníky regentské třídy, která vládla nizozemským městům a provinciím. V roce 1636 nastoupil do dordrechtské latinské školy a v roce 1641 odešel na univerzitu v Leidenu. Tam studoval práva a v roce 1645 odjel do Francie, aby v Angers získal titul. V Leidenu studoval soukromě matematiku u Franse van Schootena mladšího a získal od něj vynikající vzdělání v karteziánské matematice. De Witt byl nadaný matematik, který měl málo času věnovat se matematice. V roce 1650 se stal důchodním v Dordrechtu a v roce 1653 velkým důchodním v Holandsku, čímž se stal vůdcem Strany stavů a v podstatě předsedou nizozemské vlády. Byl to státník s neobyčejnými schopnostmi a silným charakterem, který řídil záležitosti Spojených provincií během dvacetiletého mezidobí ve Stadtholdu za nezletilosti Viléma Oranžského. Bylo to jedno z nejkritičtějších období nizozemských dějin, kdy probíhaly tři anglo-nizozemské války; nepřátelství oranžské frakce vyvrcholilo zavražděním de Witta a jeho bratra Cornelise davem v roce 1672.
De Wittova nejvýznamnější matematická práce byla jeho Elementa curvarum linearum, napsaná před rokem 1650 a otištěná ve Van Schootenově druhém latinském vydání Descartesovy Géométrie (1659-1661). Jedná se o dvě knihy: první z nich je syntetickým zpracováním geometrické teorie obsažené v prvních knihách Apolloniových koniklů ; druhá je jedním z prvních systematických rozpracování analytické geometrie přímky a kuželosečky. V první knize jsou symptomy (vyjádřené jako proporce) paraboly, elipsy a hyperboly odvozeny spíše jako rovinné loci než jako úseky kuželosečky. Jeho lokusové definice elipsy jsou nám dnes známé: konstrukce excentrického úhlu (bod pevný vzhledem k rotující úsečce); tramelová konstrukce (pevný bod na dané úsečce pohybující se po dvou protínajících se přímkách); a „strunová“ konstrukce vycházející z definice dvou ohnisek. Pro hyperbolu a parabolu se lokus konstruuje jako průsečík odpovídajících členů dvou tužek přímek, jedné rovnoběžné a jedné souběžné. Z moderního hlediska jsou to zajímavé neúmyslné příklady Steinerovy-Chaslesovy projektivní definice kuželoseček, kde vrchol jedné tužky je v nekonečnu.
De Wittovi se připisuje zavedení termínu „direkce“ pro parabolu, ale z jeho odvození je zřejmé, že tento termín nepoužívá pro pevnou přímku naší definice ohniska-direkce. Jsou dány pevné přímky DB a EF protínající se v bodě D, přičemž B je pól a EF direkce: pro libovolný bod H na EF, je-li ∠HBL sestrojeno rovné ∠FDB, protíná přímka procházející H rovnoběžně s BD bod BL v G, tedy bod na lokusu. AC je vedena skrz B s ∠DBC = ∠BDF, protíná HG v I a GK je vedena rovnoběžně s AC. Protože trojúhelníky BDH a GKB jsou podobné, vznikne (BI)2 =(BD) (BK) neboli y2 = px, parabola s vrcholem v B, abscisou BK = x a ordinátou KG = y. Je-li EF kolmá na DB, vznikne pravoúhlá soustava souřadnic, ale EF není naše direkce.
V první knize Elementa de Witt svými kinematickými konstrukcemi nejen osvobodil kuželosečky od kužele, ale splnil i kartézská kritéria konstruovatelnosti. Tato kniha byla napsána, jak sdělil van Schootenovi, aby poskytla podklady pro nový analytický vývoj druhé knihy. Analytické zpracování zahájil tím, že ukázal, že rovnice prvního stupně představují přímky. Jak bylo v té době obvyklé, nepoužil záporné souřadnice a graficky znázornil pouze úsečky nebo paprsky v prvním kvadrantu. Vlastní konstrukci přímek pečlivě vysvětlil pro libovolné koeficienty
, protože budou potřebné při jeho transformacích redukujících obecné kvadratické rovnice na kuželosečky typu. Pro každou kuželosečku de Witt začínal zjednodušenými rovnicemi odpovídajícími jeho standardním formám v knize I a poté pomocí translací a rotací redukoval komplikovanější rovnice na kanonické formy. Například u hyperboly
nechal
a pak
v = x + h
kde h je koeficient lineárního členu v x po první substituci, čímž vznikla
standardní hyperbola, která protíná nové osy v nebo z podle toho, jak je hh větší nebo menší než. Ačkoli si je de Witt při výběru svých příkladů zřejmě vědom vlastnosti obecné kvadratické rovnice, výslovně se o jejím použití k určení typu kuželosečky nezmiňuje, s výjimkou případu paraboly. Tam uvádí, že pokud jsou členy druhého stupně dokonalým čtvercem, rovnice představuje parabolu.
Poslední kapitola je shrnutím různých transfomací, které ukazují, jak sestrojit grafy všech rovnic druhého stupně. Každý případ kladných a záporných koeficientů musí být v nákresu zpracován zvlášť, ale diskuse pro každou křivku je zcela obecná a jsou nakresleny jak původní, tak transformované osy.
Kromě algebraických zjednodušení křivek do normálního tvaru obsahuje kniha II obvyklou vlastnost ohniska a přímky paraboly a analytické odvození elipse a hyperboly jako místa bodů, jejichž součet nebo rozdíl vzdáleností od dvou pevných bodů je konstantní. Ty jsou provedeny moderním způsobem, dvojím odmocněním, s explicitním použitím Pythagorovy věty místo novějšího vzorce pro vzdálenosti.
De Wittova Elementa a Tractatus de sectionibus conicis (1655) Johna Wallise jsou považovány za první učebnice analytické geometrie. Ačkoli Wallis nastolil otázku priority, jejich přístupy byly odlišné a zcela nezávislé. Wallis nejprve definoval kuželosečky jako rovnice druhého stupně a z rovnic odvodil vlastnosti křivek, zatímco de Witt je geometricky odvodil v rovině a poté ukázal, že kvadratické rovnice lze redukovat na jeho normální formy.
Christiaan Huygens jednou napsal Johnu Wallisovi o de Wittovi: „Kdyby mohl ušetřit všechny své síly na matematická díla, všechny by nás předčil.“ De Wittovi se to podařilo. Jeho geometrie byla jeho jediným příspěvkem k čisté matematice, ale své matematické zájmy po celou dobu svého dlouhého působení ve funkci velkého důchodního kroutil do finančních problémů nizozemské provincie. Hlavním způsobem získávání peněz pro Statres byly doživotní nebo pevné renty. V roce 1665 se de Wittovi podařilo snížit úrokovou sazbu z 5 na 4 procenta a zřídit umořovací fond s úroky ušetřenými přepočtem nahromaděnými na složený úrok, které měly být použity na dluh Holandska, který tak mohl být splacen za čtyřicet jedna let. Druhá anglo-holandská válka (1665-1667) však tento plán zhatila. Anglické války představovaly neustálé finanční vyčerpání a více než polovinu výdajů (téměř jen náklady na válku) spolkly splátky úroků.
V dubnu 1671 bylo rozhodnuto sjednat finanční prostředky formou doživotní renty, čímž by se dluh omezil na jednu generaci. De Witt připravil pro holandské státy pojednání, v němž matematicky prokázal, že doživotní anuity jsou nabízeny s příliš vysokým úrokem ve srovnání s pevnými anuitami. Po mnoho let byla pravidlem u doživotních anuit dvojnásobek standardní úrokové sazby. holandsko nedávno snížilo úrokovou sazbu na dvacet pět let pořízení (4 %) a prodávalo doživotní anuity za čtrnáct let pořízení (7 %). De Witt chtěl zvýšit cenu na šestnáct let (6¼ procenta). Jeho Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Losrenten (červenec 1671) patří jistě k prvním pokusům o aplikaci teorie pravděpodobnosti na ekonomické problémy. Byl napsán jako politický dokument a zůstal téměř dvě stě let pohřben v archivech. Od jejího objevení a zveřejnění Frederickem Hendriksem v roce 1852 se objevilo mnoho článků (některé z nich jsou uvedeny v bibliorgafii), které ji vysvětlovaly nebo kritizovaly na základě moderní pojistné matematiky. Ve skutečnosti se jedná o velmi jednoduchou a důmyslnou disertační práci založenou pouze na využití principu matematického očekávání pro tvorbu rovných smluv.
De Witt uvedl současné hodnoty při 4 procentech anuitních plateb ve výši 10 000 000 stuyverů (abychom se vyhnuli desetinným číslům) za půl roku a sečetl matematická očekávání pomocí hypotetických úmrtnostních sazeb pro různé věkové kategorie. Nejprve předpokládal, že člověk se stejnou pravděpodobností zemře v první nebo poslední polovině kteréhokoli roku, a poté, protože se renty obvykle kupovaly na mladé životy, rozšířil tento předpoklad na kterýkoli půlrok „let plné síly“ od tří do třiapadesáti let. Pro zjednodušení považoval prvních sto půlroků za stejně ničivé nebo smrtelné, i když uvedl, že pravděpodobnost úmrtí je ve skutečnosti v prvních letech menší. Stejně tak se zastavil u osmdesáti let, ačkoli mnozí se dožívají vyššího věku. V dalších deseti letech, od padesáti tří do šedesáti tří let, nepřesahuje pravděpodobnost úmrtí více než v poměru 3:2 pravděpodobnost úmrtí v prvním období; od šedesáti tří do sedmdesáti tří let není pravděpodobnost úmrtí větší než 2:1 a od sedmdesáti tří do osmdesáti let není větší než 3:1.
De Witt uvádí mnoho příkladů, aby vysvětlil použití konceptu matematického očekávání. Následující z nich je pro jeho pozdější výpočty základní a mnozí komentátoři jej přehlédli. Uvažujme čtyřicetiletého muže a osmapadesátiletého muže. Podle jeho předpokladů je pravděpodobnost, že starší muž zemře, ve srovnání s mladším mužem v poměru 3:2. Lze vymyslet rovnocennou smlouvu:zemře-li osmapadesátiletý muž za šest měsíců, zdědí mladší muž 2 000 zlatých, ale zemře-li čtyřicetiletý muž za šest měsíců, zdědí starší muž 3 000 zlatých. To znamená, že šance, že osmapadesátiletý muž získá 3 000 florénů. je jako 2 ku 3, neboli, ve smyslu de Wittových výpočtů renty, šance na získání konkrétní renty ve druhém období je dvoutřetinová oproti prvnímu období.
Z této úvahy vyplývá, že de Wittovy výpočty jsou jednoduché: sečte současné hodnoty za prvních sto pololetí, za dalších dvacet pololetí ruční třetiny současných hodnot, za dalších dvacet let polovinu současných hodnot a za posledních čtrnáct let jednu třetinu. Všechny tyto hodnoty se sečtou a zprůměrují, což dává o něco více než šestnáct florénů jako současnou hodnotu jednoho florénu renty za mladý a zdravý život. Kdyby se tato metoda použila na skutečné úmrtnostní tabulky, bylo by to nesmírně pracné. Později v roce 1671 si de Witt a Jan Hudde dopisovali o problému pozůstalostních rent na více než jeden život a oba zde použili skutečné údaje o úmrtnosti převzaté z holandských záznamů o rentách. Při práci s několika skupinami nejméně sta osob daného věku de Witt vypracoval příslušné sazby pro renty na dva životy. Ty byly a posteriori rozšířeny na libovolný počet životů pomocí Pascalova trojúhelníku s příslibem, že Hudde stanoví výsledky a priori. Tím vyvrcholila de Wittova práce s anuitami, ale z politických důvodů navrhl Huddemu, aby veřejnost nebyla o výsledcích jejich studie informována, protože byla ochotna kupovat anuity na více životů za stávající sazby, které byly pro vládu výhodné.
BIBLIOGRAFIE
I. Původní práce. Elementa curvarum linearum, in Frans van Schooten‘ Latinské vydání Descartesovy Géométrie, Geometria a Renato Descartes (Amsterdam, 1659-1661). Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Los-renten (Haag, 1671; facs. ed. Haarlem, 1879). Šest svazků dopisů in Werken van het Historish Genootschap te Utrecht, 3d ser., XVIII, XXV, XXXI, XXXIII, XLII, XLIV (1906-1922). Svazek XXXIII obsahuje dopisy matematikům a od matematiků včetně dopisů Janu Huddemu o rentách na více než jeden život
II. Sekundární literatura. Z mnoha de Wittových životopisů je nepostradatelný Nicolaas Japikse, Johan de Witt (Amsterdam, 1915). Ještě cennější je G. A. Lefévre-Pontalis, Jean de Witt, Grand Pensionnaire de Hollande, 2 svazky. (Paříž 1884); anglický překlad S. F. Stephenson a A. Stephenson (Londýn 1885). Spolehlivé pojednání o tomto období a o vztazích mezi de Wittem a a Vilémem III , viz Pieter Ceyl, The Netherlands in the Seventeenth Century, Part Two 1648-1715 (London, 1964), a jeho Oranje en Stuart (Utrecht, 1939), anglický překlad Arnold Pomerans (London. 1969). Ke geometrii viz P. van Geer, „Johan de Witt als Wiskundige“, in: Nieuw Archief voor Wiskundige, 2. serie, 11 (1915), 98-126; a C. B. Boyer, History of Analytic Geometry (New York, 1956).
Anglický překlad díla o životních rentách lze nalézt v Frederick Hendricks, „Contributions to the History of Insurance… a Restoration of the Grand Pensionary De Witt‘ Treatise on Life Annuities,“ in The Assurance Magazine (nyní Journal of the Institute of Actuaries), 2 (1852), 230-258. Vols. 3 (1901), 10 (1908) a 11 (1909) časopisu Archief voor Verzekeringe Wetenschap obsahují články nabízející různou kritiku a vysvětlení de Wittova spisu o anuitách.
Joy B. Easton
.