18. århundrede MATEMATIK

Variationskalkule

Det meste af det sene 17. århundrede og en stor del af det tidlige 18. århundrede var optaget af arbejdet af disciple af Newton og Leibniz, som anvendte deres idéer om regning til at løse en række problemer inden for fysik, astronomi og ingeniørvidenskab.

Perioden blev dog domineret af en familie, Bernoulli-familien fra Basel i Schweiz, som havde to eller tre generationer af exceptionelle matematikere, især brødrene Jacob og Johann. De var i høj grad ansvarlige for videreudviklingen af Leibniz’ infinitesimale regning – især gennem den generalisering og udvidelse af regningen, der er kendt som “variationsregning” – samt Pascal og Fermats sandsynligheds- og talteori.

Basel var også hjembyen for den største af det 18. århundredes matematikere, Leonhard Euler, selv om Euler, til dels på grund af vanskelighederne med at komme videre i en by domineret af Bernoulli-familien, tilbragte det meste af sin tid i udlandet, i Tyskland og Sankt Petersborg i Rusland. Han udmærkede sig inden for alle aspekter af matematikken, fra geometri til beregning til trigonometri til algebra og talteori, og han var i stand til at finde uventede forbindelser mellem de forskellige områder. Han beviste talrige sætninger, var pioner inden for nye metoder, standardiserede matematisk notation og skrev mange indflydelsesrige lærebøger i løbet af sit lange akademiske liv.

I et brev til Euler i 1742 foreslog den tyske matematiker Christian Goldbach den såkaldte Goldbach-konjektur, som fastslår, at ethvert lige heltal større end 2 kan udtrykkes som summen af to primtal (e.f.eks. 4 = 2 + 2; 8 = 3 + 5; 14 = 3 + 11 = 7 + 7; osv.) eller, i en anden tilsvarende version, at ethvert heltal større end 5 kan udtrykkes som summen af tre primtal. Endnu en anden version er den såkaldte “svage” Goldbach-konjektur, som går ud på, at alle ulige tal større end 7 er summen af tre ulige primtal. De er fortsat blandt de ældste uløste problemer i talteori (og i hele matematikken), selv om den svage form af formodningen synes at være tættere på at blive løst end den stærke formodning. Goldbach beviste også andre sætninger inden for talteori, såsom Goldbach-Eulers sætning om perfekte potenser.

Trods Eulers og Bernoullis’ dominans i det 18. århundredes matematik var mange af de andre vigtige matematikere fra Frankrig. I den tidlige del af århundredet er Abraham de Moivre måske bedst kendt for de Moivre’s formel, (cosx + isinx)n = cos(nx) + isin(nx), som forbinder komplekse tal og trigonometri. Men han generaliserede også Newtons berømte binomialsætning til multinomialsætningen, var banebrydende for udviklingen af analytisk geometri, og hans arbejde med normalfordelingen (han gav den første angivelse af formlen for normalfordelingskurven) og sandsynlighedsteori var af stor betydning.

Frankrig blev endnu mere fremtrædende mod slutningen af århundredet, og en håndfuld franske matematikere fra slutningen af det 18. århundrede fortjener især at blive nævnt her, begyndende med “de tre L’er”.

Joseph Louis Lagrange samarbejdede med Euler i et vigtigt fælles arbejde om variationsberegning, men han bidrog også til differentialligninger og talteori, og han tilskrives normalt æren for at være ophavsmand til teorien om grupper, som skulle blive så vigtig i matematikken i det 19. og 20. århundrede. Hans navn er givet til en tidlig sætning i gruppeteorien, som fastslår, at antallet af elementer i hver undergruppe af en endelig gruppe deler sig lige meget med antallet af elementer i den oprindelige endelige gruppe.

Lagranges middelværdisætning

Lagranges middelværdisætning

Lagrange er også krediteret for firekvadrat-sætningen, at ethvert naturligt tal kan repræsenteres som summen af fire kvadrater (e.f.eks. 3 = 12 + 12 + 12 + 12 + 02; 31 = 52 + 22 + 12 + 12 + 12; 310 = 172 + 42 + 22 + 12; osv.), samt en anden sætning, til forveksling også kendt som Lagranges sætning eller Lagranges middelværdisætning, som fastslår, at der, givet et afsnit af en glat kontinuerlig (differentiabel) kurve, er mindst ét punkt på dette afsnit, hvor kurvens afledning (eller hældning) er lig med (eller parallel med) den gennemsnitlige (eller middelværdisætning) af afledningen af afsnittet. Lagranges afhandling om analytisk mekanik fra 1788 var den mest omfattende behandling af den klassiske mekanik siden Newton og dannede grundlag for udviklingen af matematisk fysik i det 19. århundrede.

Pierre-Simon Laplace, undertiden omtalt som “den franske Newton”, var en vigtig matematiker og astronom, hvis monumentale værk “Celestial Mechanics” oversatte den geometriske undersøgelse af den klassiske mekanik til en undersøgelse baseret på kalkulation, hvilket åbnede op for en meget bredere vifte af problemer. Selv om hans tidlige arbejde hovedsagelig drejede sig om differentialligninger og finitte forskelle, begyndte han allerede i 1770’erne at tænke over de matematiske og filosofiske begreber sandsynlighed og statistik, og han udviklede sin egen version af den såkaldte bayesianske fortolkning af sandsynlighed uafhængigt af Thomas Bayes. Laplace er kendt for sin tro på fuldstændig videnskabelig determinisme, og han hævdede, at der burde være et sæt videnskabelige love, som ville gøre det muligt – i det mindste i princippet – at forudsige alt om universet, og hvordan det fungerer.

De første seks Legendre-polynomier

De første seks Legendre-polynomier (løsninger til Legendre’s differentialligning)

Adrien-Marie Legendre ydede også vigtige bidrag til statistik, talteori, abstrakt algebra og matematisk analyse i slutningen af det 18. og begyndelsen af det 19. århundrede, selv om meget af hans arbejde (f.eks. mindste kvadraters metode til kurvetilpasning og lineær regression, den kvadratiske reciprocitetslov, primtalssætningen og hans arbejde med elliptiske funktioner) først blev fuldendt – eller i det mindste almindeligt kendt – af andre, især Gauss. Hans “Elements of Geometry”, en omarbejdning af Euklids bog, blev den førende lærebog i geometri i næsten 100 år, og hans ekstremt nøjagtige måling af den jordiske meridian inspirerede til skabelsen og den næsten universelle vedtagelse af det metriske system af mål og vægte.

En anden franskmand, Gaspard Monge, var opfinderen af den beskrivende geometri, en smart metode til at repræsentere tredimensionelle objekter ved hjælp af projektioner på det todimensionelle plan ved hjælp af et bestemt sæt procedurer, en teknik, som senere skulle blive vigtig inden for ingeniørvidenskab, arkitektur og design. Hans ortografiske projektion blev den grafiske metode, der anvendes i næsten al moderne mekanisk tegning.

Efter mange århundreder med stadig mere præcise tilnærmelser leverede Johann Lambert, en schweizisk matematiker og fremtrædende astronom, endelig i 1761 et stringent bevis for, at π er irrationelt, dvs. at det ikke kan udtrykkes som en simpel brøk, der kun anvender hele tal, eller som en afsluttende eller gentagende decimal. Dette beviste endegyldigt, at det aldrig vil være muligt at beregne det nøjagtigt, selv om besættelsen af at opnå mere og mere nøjagtige tilnærmelser fortsætter den dag i dag. (Mere end hundrede år senere, i 1882, beviste Ferdinand von Lindemann, at π også er transcendentalt, dvs. at det ikke kan være rod i en polynomiel ligning med rationelle koefficienter). Lambert var også den første til at indføre hyperbolske funktioner i trigonometri og fremsatte nogle forudseende formodninger om det ikke-euklidiske rum og egenskaberne ved hyperbolske trekanter.