En ARMAX-model (dvs. en ARIMA-model med en eksogen variabel) uden konstant har formen
Dette er simpelthen en ARMA-model med en ekstra uafhængig variabel (kovariant) på højre side af ligningen. Ved hjælp af lag-operatoren svarer dette til
eller
En måde at håndtere en sådan model på er at omfortolke den som en lineær regression plus ARMA-fejl:
hvor
Denne model svarer til
Eksempel 1: Opret en ARIMAX-model for dataene i venstre side af figur 1, hvor X1 og X2 er eksogene variabler, og Y er en tidsserie. Opret en prognose for de næste 3 elementer baseret på denne model.
Figur 1 – Initialisering af ARIMAX-modellen
Værktøj til analyse af data fra Real Statistics: Du kan bruge ARIMAX-dataanalyseværktøjet til at gøre dette. Tryk på Ctrl-m, vælg ARIMAX under fanen Time S og udfyld den dialogboks, der vises som vist i figur 2.
Figur 2 – ARIMAX-dialogboks
Resultaterne vises i højre side af figur 1 samt i figur 3 og 4.
I figur 1 indeholder området G4:G22 arrayformlen =ADIFF(B4:B23,1), området H5:H22 indeholder =ADIFF(C4:C23,1), og I5:I22 indeholder =ADIFF(D:D23,1).
Linkersiden af figur 3 indeholder den sædvanlige regressionsanalyse af X1 og X2 på Y, hvilket resulterer i regressionsmodellen
Residualerne beregnes ved
hvor vi forventer, at residualerne følger en ARIMA(0,0,1)-model. Disse residualer er vist i området J5:J22 i figur 1, som beregnet ved arrayformlen
=I4:I22-TREND(I4:I22,G4:H22,,TRUE)
Figur 3 – OLS regressionsmodel
Residualerne fra OLS regressionsmodellen bliver nu til dataelementer for ARIMA-modellen, som vist i figur 4. Bemærk, at den konstante term indgår i regressionsmodellen og således ikke er med i ARIMA-modellen. På samme måde er der allerede taget højde for differentieringen, og den indgår derfor ikke i ARIMA-modellen. Vi antager således, at residualerne følger en MA(1)-model.
Figur 4 – ARIMA(0,0,1)-model for residualerne
Prognosen for den model, der er vist i figur 4, er vist i figur 5. Bemærk, at de nulprognoseværdier, der er vist i cellerne AV24 og AV25, ikke nødvendigvis ville være nul, hvis vi havde brugt en anden ARIMA-model for residualerne.
Figur 5 – Prognose for residualer
Prognosen i figur 5 er kun for tidsserien for residualer. Vi skal nu oprette en prognose for den oprindelige tidsserie på tidspunkterne t = 21, 22 og 23, baseret på de værdier, vi forventer for de eksogene variabler X1 og X2 på disse tidspunkter.
Sæt, at disse eksogene variabler antager de værdier, der er vist i intervallet B24:C26 i figur 6. Bemærk, at denne figur viser den nederste del af de tilsvarende kolonner fra figur 1, hvor de tilføjede rækker svarer til de tre prognoseværdier.
De tilføjede poster i intervallet D24:D26 viser de forventede værdier for den oprindelige tidsserie på tidspunkterne t = 21, 22 og 24 svarende til de X1- og X2-værdier, der er vist i B24:C26. Disse forventede værdier er beregnet som vist i figur 6.
Figur 6 – Tidsserieprognose
Placér formlen =B24-B23 i celle G23, fremhæv området G23:H25, og tryk på Ctrl-R og Ctrl-D. Herved forskydes de nye X1- og X2-værdier. Placer derefter arrayformlen =TREND(I4:I22,G4:H22,G4:H22,G23:H25) i område I23:I25. Herved beregnes de differentierede Y-prognoseværdier.
Placer nu formlen =AV23 i celle J23, fremhæv området J23:J25, og tryk på Ctrl-D for at vise de forventede restværdier. Indsæt endelig formlen =D23+I23+J23 i celle D24, fremhæv intervallet D24:D26 og tryk på Ctrl-D for at få den ønskede prognose for Y.