|
Billede anvendt med tilladelse fra |
Hvis du aldrig troede, at sexappeal kunne beregnes matematisk, så tro om igen. Mandlige violinhudede krabber (Uca pugnax) har en forstørret stor klo til at kæmpe eller true andre hanner. Desuden tiltrækker hanner med større kløer flere hunner. Den seksuelle tiltrækningskraft (klostørrelse) hos en bestemt art af fiddlercrabbe bestemmes af følgende allometriske ligning: Mc = 0,036 – Mb 1,356, |
|
|
Hvad er allometri?
Allometri er studiet af den relative ændring i andelen af en egenskab sammenlignet med en anden egenskab i løbet af organismens vækst. Disse attributter kan være morfologiske, fysiologiske eller andre. Et velkendt eksempel på et allometrisk forhold er skeletmasse og kropsmasse. Mere specifikt vil skelettet hos en større organisme være relativt tungere end skelettet hos en mindre organisme. Det synes naturligvis indlysende, at tungere organismer kræver tungere skeletter. Men er det lige så klart, at tungere organismer kræver uforholdsmæssigt tungere skeletter? Hvordan fungerer dette forhold så? Overvej følgende data:
- En organisme på 10 kg kan have brug for et skelet på 0,75 kg,
- En organisme på 60 kg kan have brug for et skelet på 5,3 kg, og alligevel
- En organisme på 110 kg kan have brug for et skelet på 10,2 kg.
Som du kan se ved at inspicere disse tal, har tungere organismer brug for relativt kraftigere skeletter til at bære dem. Der er ikke en konstant stigning i skeletmassen for hver 50 kg stigning i kropsmassen; skeletmassen stiger ud af proportion med kropsmassen .
Allometriske skaleringslove er afledt af empiriske data. Forskere, der er interesseret i at afdække disse love, måler en fælles egenskab, f.eks. kropsmasse og hjernestørrelse hos voksne pattedyr, på tværs af mange taxa . Dataene udforskes derefter for at finde relationer, ud fra hvilke der skrives ligninger.
Allometrisk vækst
Allometriske skaleringsforhold kan beskrives ved hjælp af en allometrisk ligning af formen, f (s) = c s d,
(1) hvor c og d er konstante størrelser. Variablerne s og f (s) repræsenterer de to forskellige attributter, som vi sammenligner (f.eks. kropsmasse og skeletmasse). Denne ligning kan bruges til at forstå forholdet mellem to attributter. Konkret bestemmer konstanten d i denne model de relative vækstrater for de to attributter, der er repræsenteret ved s og f (s). Lad os for enkelhedens skyld kun betragte tilfældet d > 0.
- Hvis d > 1, vokser den egenskab, der er givet ved f (s), ude af proportion med den egenskab, der er givet ved s. Hvis s f.eks. repræsenterer kropsstørrelse, er f (s) relativt større for større kroppe end for mindre kroppe.
- Hvis 0 < d < 1, stiger attributten f (s) med attributten s, men gør det med en langsommere hastighed end proportionalitetens hastighed.
- Hvis d = 1, så ændrer attribut f (s) sig som en konstant andel af attribut s. Dette specialtilfælde kaldes isometri, snarere end allometri.
Anvendelse af allometriske ligninger
Bemærk, at (1) er en potensfunktion og ikke en eksponentiel ligning (konstanten d er i eksponentpositionen i stedet for variablen s). I modsætning til andre anvendelser, hvor vi har brug for logaritmer til at hjælpe os med at løse ligningen, bruger vi her logaritmer til at forenkle den allometriske ligning til en lineær ligning.
Sådan fungerer det
Vi omskriver (1) som en logaritmisk ligning af formen,
log (f (s))) = log (c s d). (2) Så kan vi ved hjælp af logaritmeegenskaberne omarrangere (2) på følgende måde, = log c + log (s d), = log c + d log s. (3) Når vi ændrer variabler ved at lade,
= log f, = log c, = d, = log s. kan man se, at (3) i virkeligheden er den lineære ligning = mx + b. (4) Da en allometrisk ligning omdannes til sin logaritmiske ækvivalent, fås en lineær ligning.
Hvorfor besværet?
Gennem at omskrive den allometriske ligning til en logaritmisk ligning kan vi let beregne værdierne af konstanterne c og d ud fra et sæt eksperimentelle data. Hvis vi plotter log s på x-aksen og log f på y-aksen, bør vi se en linje med hældning lig med d og y-intercept lig med log c. Husk, at variablerne x og y reelt er på en logaritmisk skala (da x = log s og y = log f). Vi kalder et sådant plot for et log-log-plot.
Da allometriske ligninger er afledt af empiriske data, bør man være forsigtig med data, der er spredt omkring en linje med bedste tilpasning i xy-planet i et log-log-plot. Små afvigelser fra en linje med bedste tilpasning er faktisk større, end de måske ser ud til at være. Husk, at da x- og y-variablerne er på den logaritmiske skala, svarer lineære ændringer i udgangsvariablerne (x og y) til eksponentielle ændringer i indgangsvariablerne (f (s) og s). Da vi i sidste ende er interesseret i en sammenhæng mellem f og s, skal vi være bekymrede for selv små afvigelser fra en linje med bedste tilpasning.
Nu skal vi vende tilbage til vores fiddlerkrabbe som et konkret eksempel.