Du er sikkert stødt på ensidige genstande hundredvis af gange i din hverdag – som det universelle symbol for genbrug, der står på bagsiden af aluminiumsdåser og plastikflasker.
Dette matematiske objekt kaldes en Mobiusstrimmel. Det har fascineret miljøforkæmpere, kunstnere, ingeniører, matematikere og mange andre lige siden dets opdagelse i 1858 af August Möbius, en tysk matematiker, som døde for 150 år siden, den 26. september 1868.
Möbius opdagede den ensidige strimmel i 1858, mens han var professor i astronomi og højere mekanik ved universitetet i Leipzig. (En anden matematiker ved navn Listing beskrev den faktisk et par måneder tidligere, men offentliggjorde først sit arbejde i 1861). Möbius synes at være stødt på Möbiusstriben, mens han arbejdede på den geometriske teori om polyedre, faste figurer bestående af hjørner, kanter og flade flader.
En Möbiusstribe kan skabes ved at tage en papirstrimmel, give den et ulige antal halve drejninger og derefter tape enderne sammen igen for at danne en løkke. Hvis man tager en blyant og tegner en linje langs midten af strimlen, vil man se, at linjen tilsyneladende løber langs begge sider af løkken.
Konceptet med et ensidigt objekt inspirerede kunstnere som den hollandske grafiker M.C. Escher, hvis træsnit “Möbius Strip II” viser røde myrer, der kravler den ene efter den anden langs et Möbius-bånd.
Möbiusstriben har mere end blot én overraskende egenskab. Prøv for eksempel at tage en saks og klippe strimlen over på midten langs den linje, du lige har tegnet. Du vil måske blive forbavset over at opdage, at du ikke står tilbage med to mindre ensidige Möbiusstrimler, men i stedet med en lang tosidet løkke. Hvis du ikke har et stykke papir ved hånden, viser Eschers træsnit “Möbius Strip I”, hvad der sker, når en Möbiusstrimmel skæres langs dens midterlinje.
Selv om strimlen bestemt har visuel appel, har dens største betydning været inden for matematikken, hvor den har været med til at anspore udviklingen af et helt område kaldet topologi.
En topolog studerer egenskaber ved objekter, der bevares, når de flyttes, bøjes, strækkes eller vrides, uden at dele skæres eller limes sammen. F.eks. er et par sammenfiltrede øretelefoner i topologisk forstand det samme som et par ikke sammenfiltrede øretelefoner, fordi det kun kræver flytning, bøjning og vridning at ændre det ene til det andet. Der kræves ingen klipning eller limning for at omdanne dem fra den ene til den anden.
Et andet par genstande, der topologisk set er det samme, er en kaffekop og en doughnut. Fordi begge objekter kun har ét hul, kan det ene objekt deformeres til det andet ved blot at strække og bøje sig.
Antallet af huller i et objekt er en egenskab, som kun kan ændres ved at skære eller lime. Denne egenskab – kaldet et objekts “genus” – gør det muligt at sige, at et par øretelefoner og en doughnut er topologisk forskellige, da en doughnut har ét hul, mens et par øretelefoner ikke har nogen huller.
Det lader desværre til, at et Möbius-bånd og en tosidet sløjfe, som et typisk silikone-armbånd til bevidsthed, begge har ét hul, så denne egenskab er ikke tilstrækkelig til at adskille dem fra hinanden – i hvert fald ikke fra en topologs synspunkt.
I stedet kaldes den egenskab, der adskiller et Möbius-bånd fra en tosidet løkke, orienterbarhed. Ligesom antallet af huller kan et objekts orienterbarhed kun ændres ved at skære eller klæbe det sammen.
Forestil dig, at du skriver dig selv en seddel på en gennemsigtig overflade og derefter går en tur rundt på denne overflade. Overfladen er orienterbar, hvis du, når du kommer tilbage fra din gåtur, altid kan læse sedlen. På en ikke-orienterbar overflade kan du komme tilbage fra din gåtur og kun finde ud af, at de ord, du har skrevet, tilsyneladende er blevet til deres spejlbillede og kun kan læses fra højre mod venstre. På den dobbeltsidede løkke vil sedlen altid kunne læses fra venstre mod højre, uanset hvor din rejse har ført dig hen.
Da Möbiusbåndet er ikke-orienterbart, mens den dobbeltsidede løkke er orienterbar, betyder det, at Möbiusbåndet og den dobbeltsidede løkke er topologisk set forskellige.
Begrebet orienterbarhed har vigtige implikationer. Tag enantiomerer. Disse kemiske forbindelser har de samme kemiske strukturer med undtagelse af en vigtig forskel: De er spejlbilleder af hinanden. For eksempel er det kemiske L-methamfetamin en ingrediens i Vicks Vapor Inhalatorer. Dens spejlbillede, D-methamfetamin, er et ulovligt stof i klasse A. Hvis vi levede i en ikke-orienterbar verden, ville disse kemikalier ikke kunne skelnes fra hinanden.
August Möbius’ opdagelse åbnede op for nye måder at studere den naturlige verden på. Studiet af topologi giver fortsat forbløffende resultater. Sidste år førte topologien f.eks. til, at forskerne opdagede mærkelige nye materietilstande. Dette års Fields Medalje, den højeste hæder i matematik, blev tildelt Akshay Venkatesh, en matematiker, der har hjulpet med at integrere topologi med andre områder som f.eks. talteori.