Hver gang vi skaber noget nyt, går vi fra 0 til 1. Skabelseshandlingen er unik, ligesom skabelsesøjeblikket er det, og resultatet er noget nyt og mærkeligt.
Peter Thiel, Zero to One
I en undersøgelse fra 1992, der blev offentliggjort i Nature, arbejdede man med fem måneder gamle spædbørn for at bestemme deres evne til at forstå addition og subtraktion. Eksperimentatorerne viste spædbørn en genstand, skjulte den bag en skærm og lod derefter spædbørnene se på, mens de tilføjede en ekstra genstand bag skærmen. I løbet af nogle forsøg fjernede eksperimentatorerne i smug den ekstra genstand. Selv i den alder vidste spædbørnene, at der var noget galt, når de så, at der blev tilføjet “nul genstande mere” til gruppen i stedet for “en genstand mere”.
For det meste er dette den medfødte intuition, som har båret os gennem vores tidlige matematiktimer. Hvis vi var heldige (eller uheldige, alt efter hvem man spørger), fik vi vores første smagsprøve på formalisering af denne intuition i geometri på mellem- eller gymnasiet. Med udgangspunkt i sætninger kaldet “aksiomer” – ting, som vi tog for givet som sande – blev vi tvunget til at overveje, hvordan vores intuition stammede fra disse aksiomer, og vi konstruerede formelle, om end grundlæggende, matematiske “beviser” for resultater som f.eks. cosinusloven eller kongruensen af to trekanter.
Hvis du har glemt det, siger kosinusloven, at c2=a2+b2+b2-2abcos(C)c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(C)c2=a2+b2-2abcos(C), hvor aaa, bbb og ccc er sidelængder i en trekant, og CCC er den vinkel, der er modsat side ccc. Hvis man indsætter 90 grader for CCC, får man Pythagoras’ sætning.
I den første geometritime fik vi at vide, hvad vi kunne gå ud fra, at det var sandt – men stoppede vi nogensinde op og spurgte hvorfor?
Hvem bestemte, hvad vi præcist kunne tage for givet? Hvorfor disse specifikke aksiomer? Hvorfor kunne vi ikke antage, at cosinusloven var sand, og hvorfor skulle vi bevise den?
Matematikere har tænkt længe og grundigt over disse spørgsmål, og der er ikke nødvendigvis enighed i samfundet om specifikke aksiomer, som vi tager for givet som sande, men om et princip: at holde antallet af antagelser til et minimum. Dette svarer til en berømt teknik til problemløsning, der er kendt som Occams barberkniv: “Når man præsenteres for konkurrerende hypoteser til løsning af et problem, bør man vælge den løsning med færrest antagelser.”
Fastlæggelse af aksiomer
Problemet med at finde frem til et minimumsæt af aksiomer, som al matematik følger af, er sværere, end det ser ud. Matematikere har i årevis arbejdet på at gøre det, og det mest berømte forsøg var Principia Mathematica, der blev udgivet i 1913 af matematikerne Alfred North Whitehead og Bertrand Russell. I 1931 beviste logikeren Kurt Gödel imidlertid, at et sådant system var umuligt – kort sagt ville ethvert valg af aksiomer enten være ufuldstændigt og ude af stand til at bevise hele matematikken, eller inkonsekvent og kunne bruges til at bevise modsigelser.
Matematikken må ikke desto mindre starte et sted, og derfor har matematikere defineret specifikke aksiomer for de specialiseringer, de arbejder med, som f.eks. geometri (tænk på Euklids aksiomer). Disse specialiserede aksiomer er det, som geometrikere, algebraikere osv. har besluttet er det minimale sæt af antagelser, som de har brug for for at kunne udføre et produktivt arbejde og drage gyldige konklusioner.
Det er gennem disse aksiomer, at vi på en stringent måde kan vise, at 1 faktisk er større end 0 – ikke ud fra tågelige begreber som “intuition”, men ud fra et solidt matematisk grundlag, der bygger på den axiomatiske konsensus i det matematiske samfund.
Det er måske netop det, der adskiller vores mentale kapacitet fra fem måneder gamle børns.
Som sidebemærkning har det at gå imod konventionerne og udforske konsekvenserne af alternative aksiomer ført til skabelsen af helt nye grene af matematikken. Et eksempel er sfærisk geometri, som kaster det traditionelle euklidiske grundlag ud af vinduet. På en kugle kan f.eks. vinklerne i en trekant blive mere end 180 grader.
De aksiomer, vi har brug for
“Gud har skabt de naturlige tal; alt andet er menneskets værk.”
Leopold Kronecker, tysk matematiker
Når jeg siger “minimalt sæt af forudsætninger”, er der mange forskellige niveauer af “minimalt”, som vi kan starte på. Vores grundlæggende abstraktionsniveau kunne potentielt være, at alt, hvad vi har at arbejde med, er de naturlige tal – 1,2,3, …1, 2, 3, …1,2,3, …1,2,3,… – som Kronecker synes at være fortaler for. Alternativt kan vi simpelthen tage 1>01 > 01>0 som et aksiom.
Vi kunne gå i et par retninger med den første tilgang. Der er Peano-aksiomerne, som er et sæt aksiomer om de naturlige tal, der har til formål at beskrive deres adfærd fuldt ud. Disse aksiomer er næsten som Newtons love – ikke konstrueret, men snarere en beskrivelse af de “naturlige” egenskaber ved de naturlige tal. I denne tilgang definerer vi simpelthen rækkefølgen af de naturlige tal, så vi konkluderer 1>01 > 01>0 ved konstruktion.
Vi definerer rækkefølgen af de naturlige tal som: for naturlige tal aaa og bbb, a≤ba \leq ba≤b hvis og kun hvis a+c=ba + c = ba+c=b for et eller andet naturligt tal ccc.
Det er gyldigt, men til en vis grad virker det som lidt af et billigt skud – vi definerer i bund og grund vores resultat til eksistens.
På den anden side kunne vi forsøge at bevise 1>01 > 01>0 i de reelle tal. Men at starte fra det grundlæggende i denne retning er næsten “for tæt på hardwaren”, og for at gå fra de naturlige tal (1,2,31, 2, 31,2,3 osv.) til de reelle tal (f.eks. 2,π,3\sqrt{2}, \pi, 32,π,3) er det nødvendigt at bruge begreber som Cauchy-sekvenser, ækvivalensklasser med mere – værktøjer, der kræver en grundig baggrund i moderne algebra (som jeg desværre mangler).
At tage den sidste tilgang, at axiomatisere vores konklusion, at 1>01 > 01>0 til sandhed, ville svare til at spise dessert før middagen.
Den tilgang, som jeg fandt mest oplysende – tilgængelig og alligevel tilfredsstillende stringent – blev præsenteret i min introduktionsklasse i analyse på University of Michigan af professor Stephen DeBacker. Vi starter på et abstraktionsniveau, der er let forståeligt – men alligevel tilstrækkeligt logisk adskilt fra vores resultat – så vi stadig vil være i stand til at se på første hånd, hvordan vores grundlæggende antagelser kan bruges til at formalisere den tilsyneladende enkle konklusion, som vi går efter. Desuden vil vores grundantagelser være de samme antagelser, som anvendes af specialister inden for moderne algebra og realanalyse – så jeg vil sige, at vi er berettiget til at vælge dette sted som udgangspunkt.
Vores “minimale antagelse” er, at de reelle tal opfylder nedenstående egenskaber, hvor aaa, bbb, og ccc er vilkårlige reelle tal. Den betegnelse, der almindeligvis anvendes af det matematiske samfund til at henvise til hver egenskab, er anført i parentes ved siden af hver egenskab.
- a+ba + ba+b er et reelt tal (dvs. addition af to reelle tal resulterer i et andet reelt tal, også kendt som “lukning under addition”)
- a×ba \times ba×b er et reelt tal (“lukning under multiplikation”)
- a+b=b+aa + b = b + aa+b=b+a (dvs.dvs. vi kan bytte om på rækkefølgen af addenderne, kendt som “kommutativitet af addition”)
- (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)(a+b)+c=a+(b+c) (dvs. vi kan addere i vilkårlig rækkefølge, kendt som “associativitet af addition”)
- Der findes et reelt tal 000 således, at a+0=aa + 0 = aa+0=a (000 er et “additivt identitetselement”)
- Der findes et reelt tal xxx, således at a+x=0a + x = 0a+x=0 (xxx er et “additivt omvendt element”)
- a×b=b×aa \times b = b \times aa×b=b×a (“kommutativitet af multiplikation”)
- (a×b)×c=a×(b×c)(a \times b) \times c = a \times (b \times c)(a×b)×c=a×(b×c) (“associativitet af multiplikation”)
- Der findes et reelt tal 111, således at a×1=aa \times 1 = aa×1=a (1 er en “multiplikativ identitet”)
- Der findes et reelt tal yyy, således at a×y=1a \times y = 1a×y=1, når aaa ikke er nul (yyy er en “multiplikativ invers”)
- a×(b+c)=a×b+a×ca \times (b + c) = a \times b + a \times ca×(b+c)=a×b+a×c (“distributivitet”)
- 1≠01 \neq 01=0
- De reelle tal er opdelt i positive og negative delmængder
- Addering og multiplikation af positive tal (i.e. tal større end 000) sammen resulterer i et positivt tal
- Alle reelle tal aaa er enten positive (a>0a > 0a>0), negative (a<0a < 0a< 0a<0), eller nul i sig selv (a=0a = 0a=0=0)
For nu kan vi indsætte nogle få værdier for aaa, bbb og ccc for at få en intuition af, hvorfor hver af disse egenskaber gælder. Igen, der er måder at bevise, at de reelle tal opfylder alle ovenstående egenskaber ved hjælp af værktøjer fra moderne algebra, men uden denne baggrund er det, vi har ovenfor, et meget tilgængeligt udgangspunkt.
Også vil vi ikke få brug for at bruge alle de givne egenskaber ovenfor i vores bevis, men jeg har listet dem alle her, fordi en (potentielt uendelig) samling af tal, der opfylder de første tolv egenskaber, har et særligt navn blandt matematikere – et “felt”. Hvis denne samling af tal også opfylder de tre sidste egenskaber, kaldes den et “ordnet felt”. I bund og grund er vores antagelse, at de reelle tal danner et ordnet felt.
Beviset
For at begynde vores bevis antager vi vores aksiom – at de reelle tal danner et ordnet felt og følgelig opfylder de femten egenskaber ovenfor.
For at starte ved vi ved egenskaberne (5) og (9) ovenfor, at de reelle tal 000 og 111 findes. Ved egenskab (15) ved vi, at 111 er enten positiv, negativ eller nul. Ved egenskab (12) ved vi, at 1≠01 \neq 01=0. Det efterlader to muligheder: enten er 111 positivt, og 1>01 > 01>0; eller 111 er negativt, og 1<01 < 01<0.
Vi fortsætter nu ved hjælp af en teknik, der er kendt som “bevis ved modsigelse”. I bund og grund antager vi, at noget, som vi ønsker at vise er usandt, er sandt, og bruger den formodede sandhed til at bevise noget, som vi ved med sikkerhed er usandt. Den logiske konsekvens af denne form for manøvre er, at det må være umuligt for det, vi antog at være sandt, at det, vi antog at være sandt, faktisk er sandt, fordi det førte til en umulighed. Derfor må det være falsk.
Hvis vi har et par muligheder at vælge imellem, hvoraf den ene må være sand, er denne taktik en god måde at eliminere de umulige valgmuligheder og indsnævre omfanget af, hvad den reelle mulighed er.
Hvis bevis ved modsigelse lyder kompliceret, er det det også – men det er også et vigtigt matematisk værktøj. Nogle gange gør kompleksiteten i at bevise noget direkte – uden modsigelse – problemet svært nok til, at det faktisk kan være nemmere at vise, at de alternative muligheder simpelthen ikke kan være sande.
Lad os antage, at 1<01 < 01<0 – at 111 er negativ – og vise, at det fører til en umulighed. En potentiel umulighed, som vi kunne påvise, er, at denne antagelse indebærer, at 1≥01 \geq 01≥0, fordi 111 ifølge egenskab (15) ikke kan være både mindre end nul og større end eller lig med nul på samme tid.
I henhold til egenskab (6) findes der et reelt tal xxx, således at 1+x=01 + x = 01+x=0.
Vi kan addere xxx til begge sider for at få 1+x<0+x1 + x < 0 + x1+x<0+x.
Da egenskaben (5) fortæller os, at 0+x=x0 + x = x0+x=x, kan vi forenkle uligheden til 0<x0 < x0< x0<x.
Vi kan dog ikke lige nu sige, at xxx må være -1-1-1-1 – egenskab (6) siger kun, at der findes et reelt tal xxx. Vi er nødt til at bevise det.
Et lemma er en mellemliggende sandhed, som vi kan bruge til at vise et bevis for et større resultat. Om noget kaldes en sætning eller et lemma er ikke nødvendigvis veldefineret, men generelt “hjælper” lemmaer os med at bevise det, vi egentlig ønsker.
Lemma: Additive inverselementer er unikke
I vores tilfælde kan vi for at bevise, at xxx i egenskab (6) er unik – nærmere bestemt, at der kun findes ét reelt tal xxx, således at 1+x=01 + x = 01+x=0 (og følgelig at det reelle tal xxx må være -1-1-1), igen gå frem ved modsigelse.
Sæt, at der findes et andet reelt tal zzz, hvor z≠xz \neq xz=x, således at 1+z=01 + z = 01+z=0. Betragt nu udtrykket x+1+zx+zx + 1 + zx+1+z. Da lighed er refleksiv – dvs. a=aa = aa=a for alle aaa – ved vi, at x+1+z=x+1+zx + 1 + z = x + 1 + zx+1+z=x+1+z=x+1+z.
Ved egenskab (4), additionens associativitet, kan vi gruppere udtrykkene som (x+1)+z=x+(1+z)(x + 1) + z = x + (1 + z)(x+1)+z=x+(1+z).
Med egenskab (3), kommutativitet af addition, kan vi omarrangere den første mængde til at få (1+x)+z=x+(1+z)(1 + x) + z = x + (1 + z)(1+x)+z=x+(1+z).
Da 1+x1 + x1+x og 1+z1 + z1+z begge er lig nul, har vi 0+z=x+00 + z = x + 00+z=x+0, og ved egenskab (5), det additive identitetselement, er z=xz = xz=x. Vi har imidlertid antaget, at z≠xz \neq xz=x, så vi har en modsigelse!
Der kan således kun eksistere ét reelt tal xxx, således at 1+x=01 + x = 01+x=0. Hvis vi erstatter alle tilfælde af 111 i ovenstående linjer med et vilkårligt reelt tal aaa, viser dette lemma, at der for ethvert reelt tal aaa eksisterer et unikt xxx, således at a+x=0a + x = 0a+x=0. Da dette xxx er unikt, kan vi roligt give dette xxx et unikt navn, -a-a-a-a, hvilket resulterer i det velkendte begreb om negativer, hvor a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0. I vores specifikke tilfælde viser dette, at xxx må være lig med -1-1-1.
Lemma: Negative tegn “annullerer”
Anvender man resultaterne af ovenstående lemma, bliver vores ulighed fra før, 0<x0 < x0<x, til 0<-10 < -10<-1.
I henhold til egenskab (14) er produktet af positive tal positivt, så 0<(-1)(-1)0 <(-1)(-1)0 <(-1)(-1)0<(-1)(-1)(-1). Vi kan dog endnu ikke sige, at “to negativer ophæver hinanden” – det er der ingen af aksiomerne, der indebærer! Vi skal bevise, at (-1)(-1)=(1)(1)(1)(-1)(-1)(-1) = (1)(1)(1)(-1)(-1)=(1)(1)(1). Vi skal bruge endnu et lemma.
I det generelle tilfælde skal vi for ethvert reelt tal aaa vise, at (-a)(-a)=(a)(a)=a2(-a)(-a)(-a) = (a)(a)(a) = a^2(-a)(-a)(-a)=(a)(a)=a2. Egenskab (6) – antagelsen om, at hvert element har en additiv omvendt – omhandler negative tegn og kunne være en interessant mulighed for at vise dette.
Hvis du føler, at du er ved at få styr på tingene, er du velkommen til at stoppe her og prøve at bruge aksiomerne til at bevise nogle af de mellemliggende resultater på egen hånd. Hvis du går i stå, kan du altid scrolle nedad!
Da additive inverser er unikke, ved vi, at der findes et unikt reelt tal -a2-a^2-a2, således at a2+(-a2)=0a^2 + (-a^2) = 0a2+(-a^2)=0a2+(-a2)=0.
Med egenskab (3), kommutativitet af addition, har vi -a2+a2=0-a^2 + a^2 = 0-a2+a2=0.
Det forrige lemma fortalte os, at hvis -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0, så er xxx unik, så hvis vi har et udtryk af formen -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0, så må vi have x=a2x = a^2x=a2. Hvis vi altså kan vise, at -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0, så ved vi med sikkerhed, at (-a)(-a)=a2(-a)(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
Lad os arbejde med udtrykket -a2+(-a)(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a)(-a)-a2+(-a)(-a)(-a). Vi er nødt til på en eller anden måde at splitte -a2-a^2-a2 op i sine konstituerende termer for at faktorisere det, så vi har brug for endnu et lemma – for at bevise, at -a2=-a(a)-a^2 = -a(a)-a2=-a(a).
Lemma: Produkt af negativt og positivt er negativt
For dette lemma tager vi en lignende fremgangsmåde som den vi startede ovenfor, idet vi bruger entydigheden af additive inverser til at vise, at et produkt må være lig med et andet produkt. Da -a2-a^2-a2 er den unikke additive inverse af a2a^2a2, hvis vi viser, at a2+(-a)(a)=0a^2 + (-a)(a) = 0a2+(-a)(a)=0, så er (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Bemærk, at a2=a(a)a^2 = a(a)a2=a(a), så ved egenskab (7), multiplikationens kommutativitet, har vi a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a)a^2 + (-a)(a) = a(a) + a(-a)a2+(-a)(a)=a(a(a)+a(-a).
Med egenskab (11) kan vi faktorisere a(a)+a(-a)a(a) + a(-a)a(a)+a(-a) til a(a+(-a))a(a+(-a))a(a + (-a))a(a+(-a)).
I henhold til egenskab (6) er a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0, så vi har a2+(-a)(a)=a0a^2 + (-a)(a) = a0a2+(-a)(a)=a0.
Vi ville være færdige, hvis a0=0a0 = 0a0=0=0, men det har vi ikke bevist endnu!
Lemma: Produkt med 0 er 0
Ved egenskab (5) er 0+0=00 + 0 = 00+0=0=0. Vi kan således skrive a0=a(0+0)a0 = a(0+0)a0=a(0+0).
Med egenskab (11) fordeler dette sig til a0=a0+a0a0a0 = a0 + a0a0a0=a0+a0+a0.
Med egenskab (6) findes der en unik additiv invers -a0-a0-a0-a0 til a0a0a0a0, så vi kan lægge den til begge sider af vores ligning for at få a0+(-a0)=a0+a0+a0+(-a0)a0 + (-a0) = a0 + a0 + a0 + (-a0)a0+(-a0)=a0+a0+a0+(-a0).
Ved forenkling får vi 0=a00 = a00 = a00=a0.
Sammenfattende
Dermed kan vi konkludere, at a2+(-a)(a)=a0=0a^2 + (-a)(a) = a0 = 0a2+(-a)(a)=a0=0, så (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Hvis vi bringer det ind i det foregående lemma, har vi -a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a) = -a(a) + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a).
Ved egenskab (11) kan vi så faktorisere dette udtryk til -a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a))-a^2 + (-a)(-a) = -a(a + (-a))-a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a)).
I henhold til egenskab (6) har vi ved at lægge de additive inverser sammen -a2+(-a)(-a)=-a0-a^2 + (-a)(-a)(-a) = -a0-a2+(-a)(-a)(-a)=-a0, så -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0.
Dermed er (-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a) den unikke additive inverse af -a2-a^2-a2, og dermed er (-a)(-a)=a2(-a)(-a)(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)(-a)=a2.
Ved at pakke hele vejen op til toppen slap vi ved 0<(-1)(-1)0 < (-1)(-1)0<(-1)(-1)(-1). Dette sidste lemma fortæller os, at (-1)(-1)=(1)(1)(1)(-1)(-1)(-1) = (1)(1)(1)(-1)(-1)=(1)(1)(1). Ved egenskab (9), det multiplikative identitetselement, (1)(1)(1)=1(1)(1)(1) = 1(1)(1)(1)=1. Vi har således 0<10 < 10<1, så 1>01 > 01>0.
Det er en modsigelse, fordi vi antog, at 1<01 < 01<0! Ifølge egenskab (15) er ethvert reelt tal enten positivt, negativt eller nul – intet tal kan være både positivt og negativt på samme tid! Vi har således en umulighed, og vores oprindelige antagelse – 1<01 < 01< 01<0 – kan ikke holde. Vi kan udelukke denne mulighed, så der kun er et tilfælde tilbage: 1>01 > 01>0. Da vi ved, at ethvert reelt tal må falde ind under et af de tre tilfælde, og vi har elimineret to af dem, må vi have 1>01 > 01>0.
Som Peter Thiel så fint udtrykte det, hvor friskt og mærkeligt.