Hovedakser

Hovedtræghedsmomenter

Som vist i Inertitetensor udtrykkes et stift legemes vinkelmoment i forhold til den lokale referencerammes oprindelse som

Hvis, tilfældigvis, alle de off-diagonale termer i inertiteten, der er vist i, bliver nul, kan det yderligere forenkles til

Dette kan ske, når man justerer den lokale referencerammes akser på en sådan måde, at kroppens masse fordeler sig jævnt omkring akserne, således at inertiaprodukt-termerne alle forsvinder. De diagonale termer, der ikke er nul i inertitetensoren vist i , kaldes genstandens hovedtræghedsmomenter.

Top

Hovedakser

Som vist i , er der ingen garanti for, at vinkelimpulsvektoren har samme retning som vinkelhastighedsvektoren. Dette skaber et problem: Hvis retningen af vinkelimpulsvektoren bliver ved med at ændre sig, udvikler den et moment, som til sidst tvinger rotationsaksen til at bevæge sig. Dette er hovedårsagen til slitage og vibrationer i maskiner med roterende dele.

Men i nogle særlige tilfælde kan følgende betingelse være gældende, således at vinkelimpuls- og hastighedsvektorerne viser samme retning:

hvor I = legemets ækvivalente skalære træghedsmoment omkring rotationsaksen. Enhver rotationsakse for legemet, der er tilstrækkelig, kaldes en hovedakse. Der findes en gruppe hovedakser (teoretisk set 3) i et tredimensionalt legeme. F.eks. er der tre vinkelrette hovedakser for det system, der er vist i figur 1.

Figur 1

siger grundlæggende, at inertietenderen kan erstattes med et enkelt skalarisk inertimoment, når rotationsaksen er en hovedakse.

Overst

Diagonalisering af inertietensoren

Fra :

Og kan forenkles til

hvor 1 = identitetsmatrixen. I vist i kaldes en egenværdi, mens w er egenvektoren. er egenværdiligningen.

For at have en ikke-triviel løsning skal koefficienternes determinant forsvinde:

fører til den sekulære ligning, der grundlæggende er kubisk, og dermed giver tre rødder (egenværdier): I1, I2 & I3. Hver rod svarer til et træghedsmoment omkring en hovedakse. Faktisk er de tre rødder hovedtræghedsmomenterne for det stive legeme, der blev introduceret i :

Når egenværdierne er kendt, kan hovedakserne beregnes. Lad

hvor n = enhedsvektor for hovedaksen, således,

Fra & :

For hver egenværdi kan man beregne den tilsvarende nx, ny & nz fra & . Man skal være opmærksom på egenvektorens retning i denne proces.

I bevægelsesanalyse kan de vigtigste inertimomenter fås ud fra kropssegmenternes inertiegenskaber. I1, I2 & I3 for hvert segment er generelt kendt. Dataene er tilgængelige i form af radius-of-gyration-forholdet (forholdet mellem gyrationsradius og segmentlængde), regressionsligninger og skaleringskoefficienter. Man kan også beregne de vigtigste inertimomenter for kropssegmenterne ved hjælp af modellering ved hjælp af nogle geometriske figurer. Se Individualiseret BSP-estimation for nærmere oplysninger.

Top

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.