En percentil er et sted i en fordeling, som har en bestemt mængde (eller procentdel) af fordelingen “under sig” (til venstre for sig). Med andre ord, hvis den #n^”th “# percentil er #x#, og vi trækker et tilfældigt tal #X# fra fordelingen, så er chancen for at #X# er mindre end #x# #n %#:
#n^”th” ” percentil” = x” “#måling#” ” ” P(X x)=n%.#
For eksempel i en standardnormal kurve (med #mu = 0# og #sigma = 1#) er det punkt, hvor #x=0# (dvs. #y#-aksen) er den 50. percentil, fordi 50 % af kurvens areal falder til venstre for #x=0#:
Standardnormalfordelingen #Z# er så god en basislinje, at vi faktisk har en tabel med værdier, der er designet specielt til at slå percentiler op for denne kurve. Det kaldes en #z#-tabel, og den ser nogenlunde sådan her ud:
Hvordan bruger vi den? Lad os sige, at vi vil have den 25. percentil for standardnormalfordelingen. Vi finder den værdi, der ligger tættest på 0,25 i tabellen (som tilfældigvis er 0,2514), og ser, at den ligger i række #”-“0,6# og kolonne #0,07#. For denne tabel betyder det, at den 25. percentil er (omtrent) #”-“0,67#.
Men vent – hvordan hjælper det, når vi ønsker en percentil for en hvilken som helst normalfordeling #X#? Vi er nødt til at finde en forbindelse mellem en hvilken som helst kurve og standardnormalkurven. Denne forbindelse findes ved at forskyde #X#-fordelingen fra venstre mod højre, så den er centreret på #0#, og derefter strække/udjævne den, således at dens standardafvigelse er #1#. Formlen for dette er:
#Z=(X-mu)/sigma#
hvor #mu# er middelværdien af #X# og #sigma# er s.d. for #X#.
Hvis vi kender den percentil, vi ønsker fra #Z#-fordelingen, kan vi løse #X# ved at omarrangere ligningen til
#X=sigma Z + mu#.
Som eksempel kan vi bruge det første spørgsmål, du stillede, hvor #X# er normalfordelt med #mu = 81,2# og #sigma = 12,4#, og vi søger den 16. percentil.
Af ovenstående tabel fremgår det, at den 16. percentil fra #Z#-fordelingen er ca. #”-“0,99#. Det tilsvarende sted i vores #X#-fordeling er så:
#X=(12,4)(“-“0,99)+81,2#
#color(white)X=”-“12,276+81.2#
#farve(hvid)X=68.924#
Hvad dette siger er: hvis #X# er en normal kurve med #mu=81.2 ” fødder “# og #sigma = 12.4 ” fod “#, så er der 16% chance for, at en observation fra #X# er mindre end #68,924 ” fod “#.
Jeg vil lade resten være en øvelse for dig; med ovenstående formler burde det ikke være så svært.
Håber det hjælper!