TEKNISKE PAPER
Identifikation af flutterparametre for en vingemodel
Carlos De Marqui JuniorI; Daniela C. RebolhoII; Eduardo M. BeloIII; Flávio D. MarquesIV
Ingeniørskolen Sao Carlos; Universitetet i Sao Paulo; Laboratoriet for Aeroelasticity; Flight Dynamics and Control; Av. Trabalhador Sancarlense 400; 13566- 590 Sao Carlos, SP. Brazil; [email protected]
[email protected]
[email protected]
[email protected]
[email protected]
ABSTRACT
Der er udviklet et fleksibelt monteringssystem til flutterforsøg med stive vinger i vindtunnel. Den to-grads-frihedsflagring, der opnås med dette eksperimentelle system, kan beskrives som en kombination af strukturelle bøjnings- og torsionsvibrationsformer. Aktive kontrolordninger til undertrykkelse af flutter, der anvender en flap i bagkanten som aktuator, kan afprøves ved hjælp af denne forsøgsopstilling. Forud for udviklingen af kontrolordningen skal systemets dynamiske og aeroelastiske egenskaber undersøges. Der udføres en eksperimentel modalanalyse, og modalform og -frekvenser bestemmes. Derefter udføres vindtunnelforsøg for at karakterisere flutterfænomenet og bestemme den kritiske flutterhastighed og -frekvens. Der opnås også frekvensresponsfunktioner for området med hastigheder under den kritiske hastighed, som viser udviklingen af pitch- og plunge-moderne og koblingstendensen med stigende hastighed. De data om hældning og nedsænkning, der er opnået i tidsdomænet under disse forsøg, anvendes til at evaluere den udvidede egensystemrealiseringsalgoritmes evne til at identificere flutterparameteren med stigende hastighed. Resultaterne af identifikationsprocessen demonstreres i form af udviklingen af frekvens og dæmpning af de tilstande, der er involveret i flutter.
Nøgleord: Identifikation, flutter, EERA, aeroelasticitet
Indledning
Aeroelastiske fænomener er resultatet af samspillet mellem elastiske, inertielle og aerodynamiske belastninger på aeronautiske strukturer. Når elastiske legemer udsættes for luftstrømmen, inducerer strukturelle deformationer yderligere aerodynamiske kræfter, og disse kræfter producerer yderligere strukturelle deformationer, som igen vil inducere større aerodynamiske kræfter. Denne vekselvirkning kan føre til aeroelastiske ustabiliteter som f.eks. flutter, se f.eks. Försching (1979). Efter anden verdenskrig gjorde stigningen i flyvehastighed og strukturelle ændringer de aeroelastiske problemer mere betydningsfulde. Ændringerne og den historiske udvikling af aeroelasticitet gennem hele historien er beskrevet i Ashley (1970), Collar (1959), Garrick og Reed (1981) og Garrick (1976).
Flutter er et af de mest repræsentative emner inden for aeroelasticitet. Flutter er et komplekst fænomen, hvor strukturelle tilstande samtidig er koblet og ophidset af aerodynamiske belastninger. På en mere formel måde er flutter den tilstand, hvor en flykomponent udviser en selvbærende svingningsadfærd ved hastigheder, der er højere end den kritiske hastighed (Wright, 1991). Generelt forekommer flutter på løfteflader, der udsættes for store aerodynamiske belastninger, som f.eks. vinger og haler.
Flyveflutterprøvning (Kehoe, 1995) er en meget vigtig del af certificeringen af et fly. Under disse tidskrævende og omkostningstunge test skal flyveområdet udvides sikkert for at vise, at flyet er flutterfrit under de ønskede betingelser. Proceduren består af tre faser (Cooper og Crowther, 1999):
- Flyet ophidses på en eller anden måde, og reaktionerne måles ved en eller anden hastighed;
- Flutterparametre estimeres ved hjælp af systemidentifikationsmetoder;
- Der træffes en beslutning om at gå videre til det næste flyveprøvepunkt eller ej.
Den vigtigste opgave i disse flyveprøvninger er at forudsige stabiliteten ved den næste prøvningshastighed med sikkerhed, hvilket er muligt ved at estimere aeroelastiske parametre (fase to). Udviklingen af metoder til nøjagtig forudsigelse af den hastighed, der er relateret til flutterudbruddet ud fra de målte testdata, eller enhver anden aeroelastisk ustabilitet, er en vigtig måde at øge sikkerheden på og endda reducere omkostningerne ved disse test (Lind, 2003). Der er blevet udviklet flere metoder til at nå dette mål. Generelt er disse metoder udviklet og afprøvet ved hjælp af data fra simuleringer, men der skal foretages evalueringer, som omfatter data fra flyveprøvninger, før en metode pålideligt kan anvendes til en udvidelse af konvolutten.
Nogle metoder har vist sig at være teoretisk gyldige til at forudsige flutterhastigheder, f.eks. metoderne til ekstrapolering af dæmpningstendenser, som beskrevet af Kehoe (1995). En anden metode er den envelope-funktion, der er udviklet af Cooper; Emmett og Wright (1993). Denne funktion er baseret på den antagelse, at impulsresponsfunktionen indeholder oplysninger om systemets overordnede stabilitet. Tilsvarende anvender en diskret tids autoregressiv glidende gennemsnitsmodel (ARMA) Jury Stability-kriteriet og tager også hensyn til systemets overordnede stabilitet (Torii og Matsuzaki, 2001). En anden metode er Zimmerman-Weissenburger-fluttermargenmetoden, hvor Routh-stabilitetskriteriet skal anvendes i stedet for en dæmpningssporing (Zimmerman og Weissenburger, 1964). Flutterometeret er et online modelbaseret værktøj, der anvendes til at forudsige fluttermarginer, og som er udviklet af Lind og Brenner (2000). Dette værktøj anvender eksperimentelle data og teoretiske modeller til at forudsige flutterbegyndelsen.
Den evne, som de ovennævnte metoder har til at forudsige flutterparametre fra flyveprøvninger, er evalueret af Lind (2003). Flyveprøverne blev udført med en F-15 som værtsbærer for en aerostrukturtestvinge (ATW). Denne ATW er ikke et komplet fly, men det er en realistisk vinge, og konvolutten kunne udvides under flyveprøverne til et punkt, hvor dens flutterhastighed ville blive opnået. Da den virkelige flutterhastighed er kendt, kan den bruges til at evaluere de forudsagte flutterhastigheder. Resultaterne af disse evalueringer viser de enkelte metoders styrker og svagheder under forskellige forhold. F.eks. er de databaserede metoder ikke i stand til at forudsige flutterhastigheden nøjagtigt ved hjælp af data fra test ved lave hastigheder, men konvergerer til en god løsning, efterhånden som flyvehastigheden øges. Det modelbaserede flutterometer er imidlertid konservativt ved brug af data fra lavhastighedsprøvninger, men forudsigelserne forbliver konservative og konvergerer ikke til den sande flutterhastighed ved brug af data fra højhastighedsprøvninger. Disse kendsgerninger tyder på, at et mere effektivt flyveprøveprogram til udvidelse af konvolutten kunne formuleres med en kombination af forskellige identifikationsmetoder.
I denne artikel præsenteres en metode baseret på identifikation af flutterparametre, nemlig frekvens og dæmpning, ved hjælp af den udvidede Eigensystem Realization Algorithm (EERA). Identifikationen af disse flutterparametre sker ved at analysere data fra vindtunnelforsøg. Vindtunnelforsøgene er udført med et fleksibelt monteringssystem, der er konstrueret til at opnå to-grads-frihedssvingninger, når det er forbundet med en stiv vingemodel. Dette eksperimentelle systems vindafkastkarakteristika og aeroelastiske karakteristika er blevet fastlagt udførligt ved hjælp af finite-element-simuleringer, eksperimentel modalanalyse og vindtunnelforsøg (De Marqui Jr. et al., 2004). Dette velkendte eksperimentelle system kan således anvendes til at forudsige flutterhastigheden ved hjælp af EERA-metoden.
EERA-metoden er en modificeret form af en Eigensystem Realization Algorithm (ERA), som er en tidsdomænealgoritme, der kan identificere moduserne samtidigt (Juang, 1994). EERA’en beregner de modale parametre ved at manipulere blok Hankel-matricerne fra både input- og outputtidshistorikken (Tasker; Bosse og Fisher, 1998). Udviklingen af disse underrumsidentifikationsmetoder er motiveret af vanskelighederne med at estimere modalparametre for vibrationssystemer med flere indgange og flere udgange. I de sidste par år har underrumsmetoder tiltrukket sig opmærksomhed inden for systemidentifikation, fordi de i det væsentlige er ikke-iterative og hurtige (Favoreel et al., 1999). Der opstår derfor ingen konvergensproblemer, og da underrumsmetoderne kun er baseret på stabile teknikker inden for lineær algebra, er de også numerisk robuste. Disse metoder opnår en væsentlig filtrering af dataene ved hjælp af egenværdi- eller singulærværdi-dekomponering og er særligt effektive, når der er tale om tæt adskilte tilstande. I det væsentlige adskilles dataene i ortogonale signal- og nulunderrum, som begge kan anvendes til at estimere de modale parametre (Tasker; Bosse og Fisher, 1998).
Nomenklatur
m = antal output
n = frihedsgrad
r = antal eksterne excitationer
k = prøvetidspunkt
M = antal prøver i et tidsvindue
N = antal prøver i et tidsvindue
N = antal prøver i et tids vindue
u(k) = inputvektor
x(k) = tilstandsvektor
y(k) = responsvektor
Ad = systemmatrix
Bd = inputmatrix
Cd = outputmatrix
Dd = direkte transmissionsmatrix
G = Toeplitz-blok matrix
I = identitetsmatrix
R = matrix af de venstre singulære vektorer
S = matrix af de højre singulære vektorer
U = blok Hankel-matrixer af input
X = matrix af tilstandssekvensen
Y = blok Hankel-matrixer af udgange
0 = nulmatrix
Græske symboler
G = udvidet observabilitetsmatrix
å = matrix af singulære værdier
Subskripter
s forskudt
2n første 2n kolonner
Superskripter
-1 inverse
T transponering
^ ortogonal
pseudoinverse
Fysisk model
Den fysiske model er en stiv rektangulær vinge med en NACA 0012-flyveprofilsektion, der er forbundet med et fleksibelt monteringssystem. Det fleksible monteringssystem giver et veldefineret dynamisk system med to frihedsgrader, hvor den stive vinge vil blive udsat for flutter. Side- og perspektivbilleder af fluttermonteringssystemet er vist i fig. 1. Fluttermonteringssystemet består af en bevægelig plade, der understøttes af et system af fire cirkulære stænger og en centreret fladplade, svarende til det system, der er udviklet i Dansberry et al. (1993).
Stængerne og den flade plade udgør de elastiske begrænsninger, og den stive vingemodel, der er fastgjort i den bevægelige plade, vil svinge i en to-graders-frihedstilstand, dvs. pitch og neddykning, når der opstår flattering. Stængerne, den flade plade og den bevægelige plade er fremstillet af stål, og alle forbindelserne er fast-fast-fast-ende. Vingemodellen og den bevægelige plade er fremstillet af aluminium, og bagkantklappen er fremstillet af ABS-harpiks. Stængerne har en diameter på 0,0055 m, den bevægelige plade er 0,6 ´ 0,3 m, den flade plade er 0,7 ´ 0,1 ´ 0,002 m, og vingemodellen har en diameter på 0,8 ´ 0,45 m. Flyvefløjen har et flap på mellem 37,5 % og 62 % af bagkanten.5 % af vingens spændvidde, og dens chord er 35 % af den fulde vinges chord.
Flattermonteringssystemets afblæsningsegenskaber påvirkes i høj grad af dimensionerne af fladpladestøtten, stængerne og massen af den bevægelige plade og vingemodellen. Ændringer i længden og tværsnittet af den flade pladestøtte og stængerne ændrer frekvenserne og modeformerne for det fleksible monteringssystem. Der kan tilføjes vægte for at afkoble pitch- og dykkertilstandene ved at flytte tyngdepunktet for den fleksible monterings- og vingemodel til systemets elastiske akse. Systemets elastiske akse er placeret i den lodrette midterlinje af den flade pladestøtte og i midten af den bevægelige plade. De fire stænger sikrer også en parallel pitch- og plungeforskydning i forhold til vindtunnelvæggen.
For at designe det fleksible system blev der udviklet en finite elementmodel ved hjælp af programmet Ansysâ. Der blev anvendt to typer elementer: Der blev anvendt to typer elementer: Beam 4 og Shell 63 for henholdsvis stængerne og den flade pladestøtte. Grænsebetingelsen for det fleksible monteringssystem ved stængerne og den flade pladestøtte blev vedtaget for det fleksible monteringssystem. Dimensionerne og de dynamiske karakteristika for det eksperimentelle system, der er fremkommet ved hjælp af FEM, blev ændret, indtil systemets aeroelastiske opførsel kunne tilpasses til den tilgængelige vindtunnel. Systemets aeroelastiske opførsel blev simuleret med en matematisk model, der er beskrevet i De Marqui Jr, Belo og Marques (2005).
Efter udformningen og konstruktionen af forsøgsapparatet blev der udført en eksperimentel modalanalyse for at verificere de naturlige frekvenser og tilstande forud for enhver fluttertest i vindtunnelen. I denne test blev frekvenser under 25 Hz undersøgt, og vingens styreflade blev låst. Målepunkterne er placeret ved den flade pladestøtte, fordi den giver systemet de elastiske begrænsninger. ERA-algoritmen (Eigensystem Realization Algorithm), der er modificeret af Tsunaki (1999), anvendes til at identificere tilstandskonfigurationer og frekvenser ud fra de eksperimentelle data. De mest betydningsfulde naturlige frekvenser er anført i Tab. 1. Stænger og chordvis modes blev ikke undersøgt i denne modalanalyse.
Tabel 1 viser første bøjningsmode og første torsionsmode veldefineret, og den viser også den tredje mode, der er højere end disse. Teoretisk set sikrer denne betingelse et to-grads-frihedssystem under vindtunnelforsøgene, idet højere modes ikke vil blive væsentligt ophidset under vindtunnelforsøgene (Dansberry et al., 1993). Nærmere oplysninger om proceduren for udformning af det fleksible monteringssystem og flere resultater findes i De Marqui Jr. et al. (2004).
Den modale analyse tager kun hensyn til de strukturelle aspekter af flutterproblemet. Det er indlysende, at interaktionen mellem disse egenskaber og de aerodynamiske egenskaber skal tages i betragtning i flutteranalysen. Aerodynamiske kræfter og momenter, løfte- og pitchmoment i forbindelse med denne undersøgelse, vil være spændende for de modus, der er involveret i den klassiske bøjning-torsionsflutter. Som følge heraf vil strukturens elastiske karakteristika og de resulterende aerodynamiske genopretningsbelastninger, der er ansvarlige for den aerodynamiske dæmpning, når der ikke antages nogen mekanisk friktion, og som forårsages af den opvind, der induceres af hvirvelstrømmene i kølvandet, reagere og afgive energi til luftstrømmen. Når den kritiske hastighed er nået, forsvinder den aerodynamiske dæmpning, fordi de aerodynamiske genopretningskræfter mister deres dissipative egenskaber, og den selvbærende svingningsadfærd er verificeret.
Det eksperimentelle system, hvis vinge er forbundet med monteringssystemet, er instrumenteret med to strækmålere og tre accelerometre, som det kan ses i figur 1. Et accelerometer (Kistler KBeam 8303A10M4) er anbragt i centerlinjen af den flade pladestøtte, der måler nedfaldsaccelerationen. De to andre accelerometre (Kistler KBeam 8304B10) er monteret i den bevægelige plade. Signalerne, der måles med disse accelerometre, bruges til at beregne stigningsaccelerationen.
Dæktometerne er placeret i centerlinjen af den flade pladestøtte i en position med maksimal deformation, der er bestemt ud fra finite elementanalyser. Den ene strækmåler (Kiowa KFG-5120C123) er kalibreret til at måle neddybningsforskydninger, og den anden (Kiowa KFC-2D211) er kalibreret til at måle pitchvinkler.
En børsteløs elektrisk motor (Thompson BLD2315B10200), der er monteret i den bevægelige plades nedre overflade (jf. fig. 1), anvendes til at drive flappen i bagkanten. Klappen er forbundet med motoren ved hjælp af en aksel. Den elektriske motor er forsynet med en enkoder, der anvendes til at måle klappens aktuelle vinkelposition. Der blev indstillet en PID-regulator for at sikre en korrekt styring af motorens position af bagkantklappen.
Extended Eigensystem Realization Algorithm – EERA
Et hvilket som helst lineært tidsinvariant dynamisk system med n frihedsgrader kan modelleres ved hjælp af følgende diskrete tidstilstandsrumsligninger:
hvor x(k) er den 2n-dimensionelle tilstandsvektor på det k-te prøvetidspunkt, u(k) er den r-dimensionelle inputvektor, r er antallet af eksterne excitationer, y(k) er den m-dimensionelle responsvektor, m er antallet af systemets output eller respons, Ad er den 2n ´ 2n systemmatrix, Bd er den 2n ´ r inputmatrix, Cd er den m ´ 2n outputmatrix, og Dd er den m ´ r direkte transmissionsmatrix.
Identifikationsproceduren ved hjælp af EERA består i at bestemme systemmatricen Ad ud fra tidshistorikken for ind- og udgange. Egenskaber i forbindelse med flutter, nemlig frekvenser og dæmpning, kan estimeres ved hjælp af systemmatricen Ad. Identifikationen af systemmatricen Ad ved hjælp af EERA-metoden beskrives ved følgende procedure baseret på den teori, der er præsenteret af Tasker; Bosse og Fischer (1998)
Blok-Hankel-matricerne for input (U) og output (Y) kan fås direkte fra input- og outputtiden (Overschee og De Moor, 1996)
hvor M og N er antallet af prøver i et tidsvindue, der vil blive anvendt under identifikationsprocessen.
Man kan verificere, at blok Hankel-matrixen af output er repræsenteret som beskrevet i Verhaegen og Dewilde (1992)
hvor G er en udvidet observabilitetsmatrix, Xer en matrix af tilstandsforløbet, og G er en blok Toeplitz-matrix af Markov-parametre eller impulsrespons, dvs,
Den ortogonale matrix kan pr. definition skrives som (Van Overschee og De Moor, 1996),
På baggrund af multiplikation af Eq. (3) med de højre og venstre termer i Eq. (5) og ved hjælp af definitionen af ortogonalitet kan følgende udtryk opnås,
Ved anvendelse af singulærværdidekompositionen til:
hvor R (mM ´mM) er den venstre singulære vektormatrix, er den tilsvarende singulære værdimatrix og S (N ´ N) er den højre singulære vektormatrix. Kolonnerne i disse matricer er ortonormale.
Pseudoinversen af kan fås ud fra Eq.(7) givet:
men,
På dette tidspunkt kan der indføres en forskudt form af blok-Hankel-matrixen for output, eller respons, som:
Dimensionerne af denne nye matrix er forbundet med længden af outputtidshistorikvektoren (antallet af prøver i et tidsvindue), som vil blive anvendt under identifikationsprocessen. Dette vindue skal dog fremrykkes et eller flere trin i tiden.
På samme måde som i Eq. (3) følger:
hvor Gs og Gs er forskudte udgaver af henholdsvis udvidet observabilitetsmatrix og blok Toeplitz-matrix af Markov-parametre:
Ifølge den samme udledning, der er anvendt for Eq. (6) er det derefter muligt at opnå:
hvor udtrykket på højre side af denne ligning let kan opnås ved at sammenligne den oprindelige og den forskudte version af observabilitetsmatricerne, dvs. Gs = GAd.
Matrixen YsU^ fra ligning (13) kan bekvemt omskrives som,
Substituering af ligning (7) og ligning (8) i ligning (14) resulterer
På dette stadium kan der fastsættes et kriterium til bestemmelse af antallet af nødvendige singulære værdier. Dette antal kan ændres i forhold til de vanskeligheder, der er forbundet med identifikationsprocessen. Dette antal vil fastlægge dimensionen af den identificerede model, og det skal ændres under identifikationsproblemet. I betragtning af at antallet af singulære værdier er fastsat til 2n, kan matricen med singulære værdier repræsenteres som:
Den, matricerne kan bekvemt skrives som
hvor R2n indeholder de første 2n kolonner i R og S2n indeholder de første 2n kolonner i S.
Matricerne R2n og S2n opfylder følgende relation:
Ved hjælp af relationerne i Eq. (17) til singulærværdi-dekompositionsproblemet, følger det:
og hvis S=S-1 (Watkins, 1991), følger det:
I betragtning af, at
og ved at erstatte ekv. (19) og ekv. (20) i ekv. (15)
hvor
Fra ligning (18) følger:
Sammenligning (24) kan sammenlignes med ligning (24). (13), og derefter kan systemmatricen vurderes på følgende måde:
Systemmatricen Ad er en minimumsrealisering af systemet. Dimensionen af denne matrix er 2n, og den bestemmer også dimensionen af det identificerede system. Denne realisering kan omdannes til tilstandsligninger i modalkoordinater, og egenfrekvenser og dæmpning kan fås ved at beregne egenværdierne. Ovenstående udtryk adskiller sig kun fra ERA-udtrykket ved tilstedeværelsen af indgangstermen. Når responserne skyldes impulsive input, er udtrykket identisk med de udtryk, der er observeret i ERA (Juang, 1994).
Eksperimentel flutterverifikation
Der anvendes et dSPACE® DS 1103-processorkort til at udvikle realtidsstyringen af flappen og til dataindsamling. Dette kort har en 400 MHz Power PC 604e-processor, I/O-grænseflader med 16 A/D- og 8 D/A-kanaler og inkremental encoder-interface (DSPACE® , 2001). Signalerne fra accelerometre, strækmålsbroer og klappens position kan registreres samtidig. Beregningskoderne til dataindsamling og signalbehandling er udviklet i Matlab/Simulink®. Simulink®-koden kompileres i Matlab® ved hjælp af Real-Time Workshop® compiler, hvilket resulterer i en C-kode. Denne C-kode downloades til dSPACE® -kortet for at udføre signalbehandling og I/O-kontrol.
Figur 2 viser et forenklet skema over dataindsamlingssystemet. Forstærkningerne i beregningssystemet anvendes til at konvertere de målte signaler til de nødvendige fysiske enheder, mV til m/s2 eller rad/s2 for accelerometrene og mV til m eller rad for strækningsmålerne. Enkoderen til den elektriske motor, der anvendes til at drive bagkantklappen, har 1000 linjer. Der kan derfor opnås en opløsning på 0,36 grader i målingerne af bagkantens position. Under forsøgene anvendes en optagelseshastighed på 1000 prøver pr. sekund.
I den første eksperimentelle afprøvning foretages verifikation af den kritiske flutterhastighed. Vindtunnelhastigheden øges gradvist, og pitch- og dykningssignalerne måles ved hjælp af dSPACE®-systemet. Vindtunnelhastigheden fås ud fra de trykmålinger, der udføres med et statisk pitotrør i forbindelse med et Betz-manometer, et barometer og en temperaturføler, der er installeret i testkammeret. Flutter observeres ved den kritiske strømningshastighed på 25 m/s, hvor den oscillerende adfærd måles. Figur 3 viser henholdsvis pitch- og dyksignalerne, der er målt under forsøgene.
Et af kendetegnene ved flutterfænomenet er koblingen af de tilstande, der er involveret i fænomenet, dvs. pitch og dyksignaler i dette tilfælde. Denne betingelse er verificeret i fig. 4, hvor de i fig. 3 viste tidsdomænesignaler præsenteres med hensyn til deres frekvensindhold.
Denne test viser systemets opførsel kun ved den kritiske hastighed. Men nogle dynamiske egenskaber ændrer sig med stigende strømningshastighed i vindtunnelen. For at verificere disse ændringer udføres der andre prøvninger. Grundlæggende opnås frekvensresponsfunktioner ved flere hastigheder, der viser udviklingen af de første bøjnings- og torsionstilstande med stigende hastighed. Det indgangssignal, der tages i betragtning under disse forsøg, er bagkantens position, og udgangssignalet er accelerationen målt i vingens bagkant.
A B&K digital spektrumanalysator med to kanaler af typen 2032 anvendes til at opnå frekvensresponserne. Disse responser fås fra vindtunnelens slukket tilstand op til hastigheder, der ligger så tæt som muligt på den kritiske hastighed. Indgangssignalet er en hvid støj, der genereres i dSPACE® -systemet og sendes til bagkantklappen. Dette signal og accelerationen behandles i spektrumanalysatoren. Denne procedure gentages for alle mellemliggende testhastigheder.
I fig. 5 kan man kontrollere udviklingen af tilstande med stigende hastighed i vindtunnelen. Det frekvensrespons, der opnås ved nulhastighed, viser toppe i forhold til de første bøjnings- og torsionstilstande, der er veldefinerede, og de samme naturlige frekvenser, der opnås under EMA’en, som forventet. I det sidste frekvensrespons, der er målt tæt på den kritiske hastighed, kan man konstatere tendensen til kobling mellem de tilstande, der er involveret i flutter. Denne kobling har tendens til at forekomme ved en frekvens på ca. 1,6 Hz, hvilket bekræfter det resultat, der er observeret i fig. 4.
I de frekvensresponser, der er opnået ved mellemliggende hastigheder, kan man observere variationer i pitch- og dykkerfrekvenserne. Det er også tydeligt, at toppene for pitch- og dykkertilstande ikke er så skarpe som toppene i frekvensresponsen ved nulhastighed. Dette kan ses som virkningen af væskestrukturinteraktion på dæmpningsforøgelsen. Denne tendens forventes indtil hastigheder nær den kritiske hastighed, hvor dæmpningen forventes at forsvinde, og der opstår flutter.
Identificeringsresultater
Den udvidede EERA-algoritme (Extended Eigensystem Realization Algorithm) anvendes til at kvantificere variationen af frekvenser og dæmpningsværdier med stigende hastighed i vindtunnelen i forhold til de tilstande, der er involveret i flutter. Ved at inspicere dæmpningsudviklingen med lufthastighedsvariationen ved hjælp af EERA kan man forudsige, hvornår der forventes at opstå flutter. De data, der anvendes i identifikationsprocessen, er indsamlet under de aeroelastiske test, der er udført for at opnå den frekvensresponsfunktion, der tidligere er beskrevet i denne artikel. Samtidig med frekvensdomænetestene blev indgangssignalet (flapbevægelse i bagkanten) og det signal, der blev målt af de belastningsmålere (forskydninger i pitch og plunge), opfanget i tidsdomænet ved hjælp af dSPACE® -indsamlingssystemet. Figur 6 til 8 viser eksempler på input- og output-signaler målt under en af vindtunnelforsøgene. I fig. 6 er klapudbøjningen i grader afbildet. Det repræsenterer et tilfældigt genereret (ensartet fordeling) signal til flapvinklen for at fungere som en excitation til det aeroelastiske system. Både nedsænknings- og pitchresponser med hensyn til flapbevægelsen (jf. fig. 6) er vist i henholdsvis fig. 7 og 8.
Identifikationsprocessen blev udført efter indsamling af input- og outputtidsdomænedata. Dimensionerne af blok-Hankel-matricerne for input og output (M og N=2M) og antallet af singulære værdier (2n), der skal tages i betragtning, blev ændret for hver identifikation, der blev udført for hver strømningshastighed. Denne variation kan forklares ved de vanskeligheder, der er forbundet med identifikation af parametre ved hjælp af data, der er opsamlet ved højere vindkanalhastigheder, når moduserne bliver koblet.
De endelige resultater, der er opnået i identifikationsprocessen, kan ses i fig. 9. Udviklingen med lufthastigheden af pitch- og dykkerfrekvenserne og dæmpningsfaktorerne er vist. Det ses, at flutter kan forudsiges ved en flyvehastighed nær 25 m/s, hvilket er i overensstemmelse med de eksperimentelle resultater (se foregående afsnit). For hver test fås frekvens og dæmpningsfaktor for både pitch- og dykkerbevægelser i form af deres gennemsnitsværdier for en række identifikationsparametre, der fører til forskellige identificerede systemtilstandsmatricer. I fig. 9 er punktskyen relateret til variationen af de identificerede parametre, og kurverne repræsenterer de gennemsnitlige værdier for frekvens og dæmpning. For frekvensberegningerne kan man konstatere, at EERA-metoden var i stand til at give en god forudsigelse for en række forskellige identifikationsparametre. For identifikationen af dæmpningsfaktoren var værdierne pr. flyvehastighed dog mere spredte. Dæmpningsværdierne for pitch mode synes mindre spredt end værdierne for plunge mode. Årsagerne hertil er stadig ikke fastlagt, og det må være et emne for de igangværende undersøgelser af flutterforudsigelser med EERA. Selv om disse resultater kan være dårligere end resultaterne for frekvensen, viser de gennemsnitlige dæmpningsværdier kurver, der er i overensstemmelse med fysikken i den klassiske 2D-flutter. Mens pitch (torsion) mode fører til flutter, går plunge (bøjning) mode i retning af overdæmpning.
Konklusioner
Den eksperimentelle aeroelastiske test i vindtunnel er blevet anvendt til identifikation af flutterparametre. Der er udført vindtunnelforsøg med henblik på karakterisering af flutter, og fænomenet kunne observeres i tids- og frekvensdomænet. I tidsdomænet blev der påvist en selvbærende oscillatorisk opførsel af flutter. I frekvensdomænet blev der også observeret en udvikling af tilstande med stigende hastighed i vindtunnelen. Ved den kritiske hastighed kunne koblingstendensen tydeligt påvises. Variationerne i pitch- og dykkerdæmpning kunne kun opnås på en kvalitativ måde i disse forsøg.
For at kvantificere udviklingen af pitch- og dykkertilstande med stigende hastighed blev der anvendt en identifikationsmetode. Den udvidede egensystemrealiseringsalgoritme blev anvendt ved hjælp af de input- og outputdata, der blev opnået i tidsdomænet under de test, der blev udført til flutterkarakterisering. Denne metode blev anvendt til identifikation af flutterparametre med henblik på at verificere dens ydeevne med hensyn til hastighed og eventuelle numeriske problemer under processen. Brugen af EERA kan siges at være hensigtsmæssig i betragtning af sammenhængen mellem de resultater, der er opnået med denne identifikationsmetode, og de resultater, der er opnået i tidligere vindtunnelforsøg. Der er opstået visse vanskeligheder i forbindelse med identifikationen af værdierne for dæmpningsfaktoren, især for neddykningstilstanden. Der er behov for yderligere undersøgelser af, hvorfor sådanne problemer opstår, og disse undersøgelser er i gang.
Selv om man tager i betragtning, at den identifikationsproces, der præsenteres i dette arbejde, er en off-line-proces, viser de hidtil opnåede resultater, at on-line-identifikation af flutterparametre under vindtunnelforsøg kan undersøges. Udviklingen af et adaptivt kontrolsystem, der opnås ved at kombinere on-line identifikationsmetoden og en kontrollov til undertrykkelse af flutter, kan være mulig i den videre forskning.
Anerkendelser
Forfatterne takker for den økonomiske støtte fra CAPES og FAPESP (Sao Paulo State Foundation for Research Support Brazil) gennem kontraktnumrene 1999/04980-0 og 2000/00390-3.
Ashley, H., 1970, “Aeroelasticity”, Applied Mechanics Reviews, pp.119-129.
Collar, A.R., 1959, “Aeroelasticity Retrospect and Prospect”, The Journal of the Royal Aeronautical Society, Vol. 63, No. 577, pp.1-15, 1959.
Cooper, J.E. og Crowther, W.J., 1999, “Flutter Speed Prediction During Flight Testing Using Neural Networks”, CEAS/AIAA/ICASE/NASA Langley International Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics, pp. 255-264.
Cooper, J.E., Emmett, P.R. og Wright, J.R., 1993, “Envelope Function: A Tool for Analysing Flutter Data”, Journal of Aircraft, Vol. 30, No. 5, pp. 785-790.
Dansberry, B.E., Durham, M.H., Bennett, R.M., Turnock, D.L., Silva, E.A. og Rivera Jr, J.A., 1993, “Physical Properties of the Benchmark Models Program Supercritical Wing”, NASA TM-4457.
De Marqui Jr., C., Belo, E.M. og Marques, F.D., 2005, “A flutter suppression active controller”, Proc I.Mech.E Part G – Journal of Aerospace Engineering, Vol. 219.
De Marqui Jr., C., Belo, E.M., Tsunaki, R.H., Rebolho, D.C. og Marques, F.D., 2004, “Design and Tests of an Experimental Flutter Mount System”, Proceedings of the XXII IMAC, Dearborn, MI.
DS1103 PPC Controller Board, 2001, Hardware Reference, www.dspace.de.
Favoreel, W., Huffel, S.V., De Moor, B, Sima, V. og Verhaegen, M., 1999, “Comparative study between three subspace identification algorithms”, Proceedings of the European Control Conference, Karlsruhe-Germany, 31. august-3. september, 6p.
Försching, H., 1979, “Aeroelastic Problems in Aircraft Desing”, von Karman Institute for Fluid Dynamics, Lecture series 08: A Survey of Aeroelastic Problems.
Garrick, I.E. og Reed, W.H., 1981, “Historical Development of Aircraft Flutter”, Journal of Aircraft, Vol.18, No. 11, pp. 897-912.
Garrick, I.E., 1976, “Aeroelasticity frontiers and beyond”, 13th Von Karman Lecture, Journal of Aircraft, Vol.13, No. 9, pp. 641-657.
Juang, J.N., 1994, “Applied System Identification”, Prentice Hall PTR, New Jersey, USA.
Kehoe, M.W., 1995, “A Historical Overview of Flight Flutter Testing”, NASA TM-4720.
Ko, J., Kurdila, A.J. og Strganac, T.J., 1997, “Adaptive Feedback Linearization for the Control of a Typical Wing Section with Structural Nonlinearity”, ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, Dallas, Texas, 1997.
Lind, R. og Brenner, M., 2000, “Flutterometer: An On-Line Tool to Predict Robust Flutter Margins”, Journal of Aircraft, Vol. 37, No. 6, pp. 1105-1112.
Lind, R., 2003, “Flight-Test Evaluation of Flutter Prediction Methods”, Journal of Aircraft, Vol. 40, No. 5, pp. 964-970.
Mukhopadhyay, V., 1995, “Flutter suppression control law design and testing for the active flexible wing”, Journal of Aircraft, Vol. 32, No. 1, pp. 45-51.
Tasker, F., Bosse, A. og Fisher, S., 1998, “Real-time modal parameters estimation using subspace methods: Theory”. Mechanical Systems and Signal Processing, Vol.12, No. 6, pp. 797-808.
Torii, H. og Matsuzaki, Y., 2001, “Flutter Margin Evaluation for Discrete-Time Systems”, Journal of Aircraft, Vol. 38, No. 1, pp. 42-47.
Tsunaki, R. H., 1999, “Identificação Automatizada de Modelos Dinâmicos no Espaço de Estados”, Ph.D. Thesis, University of Sao Paulo.
Van Overschee, P. og De Moor, B., 1996, “Subspace identification for linear systems: theory, implementation, applications”, Kluwer Academic Publishers, Boston, USA.
Verhaegen, M. og Dewilde, P., 1992, “Subspace model identification part 1. The output-error state space model identification class of algorithms”, International Journal of Control, Vol. 56, pp. 1187-1210.
Waszak, M.R., 1998, “Modeling the benchmark active control technology wind-tunnel model for active control design applications”, NASA TP-1998-206270.
Watkins, D.S., 1991, “Fundamental of Matrix Computations”, New York, Wiley, USA.
Wright, J.R., 1991, “Introduction to Flutter of Winged Aircraft”, von Karman Institute for Fluid Dynamics, Lecture series 01: Elementary Flutter Analysis.
Zimmerman, N.H. og Weissnburger, J.T., 1964, “Prediction of Flutter Onset Speed Based on Flight Testing at Subcritical Speeds”, Journal of Aircraft, Vol. 1, No. 4, pp. 190-202.