nLab Yang-Mills teori

Idee

YangâMills teori er en gaugeteori på en given 4-dimensionel (pseudo-)Riemannsk mangfoldighed XX, hvis felt er YangâMills feltet â en cyklus ââH(X,B¯U(n))\nabla \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}U(n)) i differentiel nonabelsk kohomologi repræsenteret af et vektorbundt med forbindelse â og hvis aktionsfunktion er

for

• F âF_\nabla feltstyrken, lokalt krumningsformen ð²(n)\mathfrak{u}(n)-Lie algebra værdiansat differentiel form på XX ( med ð²(n)\mathfrak{u}(n) Lie algebraen af den unitære gruppe U(n)U(n));

• â\star Hodge-stjerneoperatoren for den metriske gg;

• 1g 2\frac{1}{g^2} Yang-Mills-koblingskonstanten og θ\theta thetavinklen, nogle reelle tal (se under S-dualitet).

(Se dette eksempel på En første idé om kvantefeltteori.)

Egenskaber

Klassifikation af løsninger

• Narasimhan-Seshadri-sætning

• Donaldson-Uhlenbeck-Yau-sætning

Kvantisering

På trods af dens fundamentale rolle i standardmodellen for partikelfysik, er forskellige detaljer om kvantiseringen af Yang-Mills teorien stadig åbne. Se under kvantisering af Yang-Mills teori.

Anvendelser

Alle gaugefelter i partikelfysikkens standardmodel såvel som i GUT-modeller er YangâMills-felter.

Materiefelterne i standardmodellen er spinorer ladet under Yang-Mills-feltet. Se

• spinorer i YangâMills teori

Historie

Fra Jaffe-Witten:

I 1950’erne, da YangâMills teorien blev opdaget, vidste man allerede, at kvanteversionen af Maxwell teorien â kendt som Quantum Electrodynamics eller QED â giver en yderst nøjagtig redegørelse for elektromagnetiske felter og kræfter. Faktisk forbedrede QED nøjagtigheden af visse tidligere kvanteteoretiske forudsigelser med flere størrelsesordener, ligesom den forudsagde nye opdelinger af energiniveauer.

Det var derfor naturligt at spørge, om ikke-abelsk gaugeteori beskrev andre kræfter i naturen, især den svage kraft (ansvarlig blandt andet for visse former for radioaktivitet) og den stærke kraft eller kernekraft (ansvarlig blandt andet for bindingen af protoner og neutroner i atomkerner). Den masseløse karakter af klassiske YangâMills-bølger var en alvorlig hindring for at anvende YangâMills-teorien på de andre kræfter, for den svage og kernekraften har en kort rækkevidde, og mange af partiklerne er massive. Derfor syntes disse fænomener ikke at være forbundet med felter med lang rækkevidde, der beskriver masseløse partikler.

I 1960’erne og 1970’erne overvandt fysikerne disse hindringer for den fysiske fortolkning af den ikke-abelianske gaugeteori. I tilfældet med den svage kraft blev dette opnået med GlashowâSalamâWeinbergs elektrosvage teori med målegruppe H=H = SU(2) Ã\times U(1). Ved at udbygge teorien med et yderligere âHiggs-feltâ undgik man den masseløse natur af klassiske YangâMills-bølger. Higgs-feltet transformeres i en todimensionel repræsentation af HH; dets ikke-nul og omtrent konstante værdi i vakuumtilstanden reducerer strukturgruppen fra HH til en U(1)U(1)-undergruppe (diagonalt indlejret i SU(2)ÃU(1)SU(2) \ gange U(1). Denne teori beskriver både den elektromagnetiske og den svage kraft på en mere eller mindre forenet måde; på grund af reduktionen af strukturgruppen til U(1)U(1) er de langtrækkende felter kun elektromagnetiske felter, hvilket er i overensstemmelse med det, vi ser i naturen.

Løsningen på problemet med masseløse YangâMills-felter for de stærke vekselvirkninger har en helt anden karakter. Denne løsning kom ikke ved at tilføje felter til YangâMills teorien, men ved at opdage en bemærkelsesværdig egenskab ved selve kvante YangâMills teorien, dvs. ved den kvanteteori, hvis klassiske lagrangian er givet ]. Denne egenskab kaldes “asymptotisk frihed”. Groft sagt betyder det, at på korte afstande viser feltet en kvanteadfærd, der minder meget om dets klassiske adfærd; men på lange afstande er den klassiske teori ikke længere en god rettesnor for feltets kvanteadfærd.

Asymptotisk frihed har sammen med andre eksperimentelle og teoretiske opdagelser, der blev gjort i 1960’erne og 1970’erne, gjort det muligt at beskrive atomkraften ved hjælp af en ikke-abelsk gaugeteori, hvor gaugegruppen er G=G = SU(3). De ekstra felter beskriver på klassisk niveau âquarks,â som er spin 1/2-objekter, der svarer nogenlunde til elektronen, men som transformeres i den grundlæggende repræsentation af SU(3)SU(3). Den ikke-abeliske gaugeteori for den stærke kraft kaldes Quantum Chromodynamics (QCD).

Anvendelsen af QCD til at beskrive den stærke kraft blev motiveret af en hel række eksperimentelle og teoretiske opdagelser, der blev gjort i 1960’erne og 1970’erne, og som involverede symmetrier og højenergi-adfærd i de stærke vekselvirkninger. Men klassisk ikke-abelsk gaugeteori er meget forskellig fra den observerede verden af stærke vekselvirkninger; for at QCD kan beskrive den stærke kraft med succes, skal den på kvanteplan have følgende tre egenskaber, som hver især er dramatisk forskellige fra den klassiske teoris opførsel:

(1) Den skal have et âmassegab;â nemlig at der skal være en eller anden konstant Î>0\Delta \gt 0 sådan, at enhver excitation af vakuumet har en energi på mindst Î\Delta.

(2) Den skal have âquark confinement,â det vil sige, at selv om teorien er beskrevet i form af elementære felter, såsom kvarkfelterne, der transformeres ikke-trivielt under SU(3), er de fysiske partikeltilstande â såsom proton, neutron og pion â SU(3)-invariante.

(3) Den må have âchiral symmetribrydning,â hvilket betyder, at vakuumet kun er potentielt invariant (i grænsen, at kvarkernes ubearbejdede masser forsvinder) under en bestemt undergruppe af den fulde symmetrigruppe, der virker på kvarkfelterne.

Det første punkt er nødvendigt for at forklare, hvorfor kernekraften er stærk, men med kort rækkevidde; det andet er nødvendigt for at forklare, hvorfor vi aldrig ser individuelle kvarker; og det tredje er nødvendigt for at redegøre for âcurrent algebraâ teorien om bløde pioner, der blev udviklet i 1960’erne.

Både eksperimentet â da QCD har talrige succeser i konfrontation med eksperimentet â og computersimuleringer, udført siden slutningen af 1970’erne, har givet stærk opmuntring til, at QCD har de ovenfor nævnte egenskaber. Disse egenskaber kan til en vis grad ses i teoretiske beregninger, der er udført i en række stærkt oversimplificerede modeller (som f.eks. stærkt koblet gittermålingsteori). Men de er ikke fuldt ud forstået teoretisk; der findes ikke en overbevisende, uanset om den er matematisk komplet eller ej, teoretisk beregning, der demonstrerer nogen af de tre egenskaber i QCD, i modsætning til en stærkt forenklet trunkering af den.

Dette er problemet med ikke-perturbativ kvantisering af Yang-Mills teorien. Se der for mere.

• D=5 Yang-Mills teori

• massiv Yang-Mills teori

• selv-dual Yang-Mills teori

• super Yang-Mills teori

• minimal kobling

• ‘t Hooft dobbelt linie notation

• Einstein-Yang-Mills teori

  • Einstein-Maxwell-teori

  • Einstein-Yang-Mills-Dirac-teori

  • Einstein-Maxwell-Yang-Mills-Dirac-Higgs-teori

• Yang-Mills-ligning

• standardmodel for partikelfysik

  • elektromagnetisme

  • spinorer i Yang-Mills-teorien

  • QED, QCD,

  • elektrosvagt felt

• Yang-monopol, ‘t Hooft-Polyakov-monopol

• S-dualitet, Montonen-Olive-dualitet

  • elektrisk-magnetisk dualitet

  • geometrisk Langlands-dualitet

• Chern-Simons-teori

• Yang-Mills instanton

  • konfinement

• asymptotisk frihed

General

Yang-Mills teori er opkaldt efter artiklen

• Chen Ning Yang, Robert Mills, Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance. Physical Review 96 (1): 191â 195. (1954) (web)

som var den første til at generalisere princippet om elektromagnetisme til en ikke-abalitær gauge-gruppe. Dette blev accepteret som formulering af QCD og svage vekselvirkninger (kun) efter at man i 1960’erne forstod det spontane symmetribrud (Higgs-mekanismen).

Moderne anmeldelser af det grundlæggende

• Arthur Jaffe, Edward Witten, Quantum Yang-Mills theory (pdf)

• Simon Donaldson, Yang-Mills theory and geometry (2005) pdf

• José Figueroa-O’Farrill, Gauge theory

• Karen Uhlenbeck, noter af Laura Fredrickson, Equations of Gauge Theory, forelæsning på Temple University, 2012 (pdf, pdf)

• Simon Donaldson, Gauge Theory: Mathematical Applications, Encyclopedia of Mathematical Physics, Academic Press, Pages 468-481, 2006 (doi:10.1016/B0-12-512666-2/00075-4, forfatter pdf, pdf)

• Mikio Nakahara, afsnit 10.5.4 i: Geometry, Topology and Physics, IOP 2003 (doi:10.1201/978131527575826, pdf)

Se også referencerne på QCD, gaugeteori, Yang-Mills monopol, Yang-Mills instanton og på super Yang-Mills teori.

Klassisk diskussion af YM-teorien over Riemann-flader (som er nært beslægtet med Chern-Simons-teorien, se også ved moduli space of flat connections) er i

• Michael Atiyah, Raoul Bott, The Yang-Mills equations over Riemann surfaces, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences

  Vol. 308, No. 1505 (Mar. 17, 1983), pp. 523-615 (jstor, lighning summary)

som er gennemgået i forelæsningsnoterne

• Jonathan EvansAspects of Yang-Mills theory, (web)

For relationen til instanton Floer homology se også

• Simon Donaldson, Floer homology groups in Yang-Mills theory Cambridge University Press (2002) (pdf)

For relationen til Tamagawa-tallene se

• Aravind Asok, Brent Doran, Frances Kirwan, Yang-Mills theory and Tamagawa numbers (arXiv:0801.4733)

Klassiske løsninger

Wu og Yang (1968) fandt en statisk løsning til de sourceløse SU(2)SU(2)-Yang-Mills ligninger. Nyere referencer omfatter

• J. A. O. Marinho, O. Oliveira, B. V. Carlson, T. Frederico, Revisiting the Wu-Yang Monopole: classical solutions and conformal invariance

Der er en gammel gennemgang,

• Alfred Actor, Classical solutions of SU(2)SU(2)SU(2) YangâMills theories, Rev. Mod. Phys. 51, 461â525 (1979),

der giver nogle af de kendte løsninger af SU(2)SU(2) gauge theory i Minkowski (monopoler, plane bølger osv.) og Euklidisk rum (instantoner og deres fætre og kusiner). For generelle målegrupper kan man få løsninger ved at indlejre SU(2)SU(2)âs.

For Yang-Mills instantoner er den mest generelle løsning kendt, først udarbejdet af

• Michael Atiyah, Nigel Hitchin, Vladimir Drinfeld, Yuri Manin, Construction of instantons, Physics Letters 65 A, 3, 185â187 (1978) pdf

for de klassiske grupper SU, SO , Sp, og derefter af

• C. Bernard, N. Christ, A. Guth, E. Weinberg, Pseudoparticle Parameters for Arbitrary Gauge Groups, Phys. Rev. D16, 2977 (1977)

for exceptionelle Lie-grupper. Den seneste drejning på Yang-Mills instanton-historien er konstruktionen af løsninger med ikke-triviel holonomi:

• Thomas C. Kraan, Pierre van Baal, Periodic instantons with nontrivial holonomy, Nucl.Phys. B533 (1998) 627-659, hep-th/9805168

Der findes et fint sæt forelæsningsnoter

• David Tong, TASI Lectures on Solitons (hep-th/0509216),

om topologiske løsninger med forskellige co-dimensioner (instantoner, monopoler, hvirvler, domænevægge). Bemærk dog, at bortset fra instantoner kræver disse løsninger typisk ekstra scalarer og brudte U(1)âs, som man kan finde i super Yang-Mills teorier.

En del af det her anvendte materiale er hentet fra

• TP.SE, Which exact solutions of the classical Yang-Mills equations are known?

En anden model med Yang-Mills-felter er blevet foreslået af Curci og Ferrari, se Curci-Ferrari-modellen.

Se også

• DispersiveWiki, Yang-Mills-ligninger