Da trekanten 30-60-90 er baseret på en ligesidet trekant, trekanten 45-45-90 er baseret på et kvadrat, trekanterne 18-72-90 og 36-54-90 er baseret på den regelmæssige femkant (se https://robertlovespi.wordpress.com/2013/03/12/the-18-72-90-and-36-54-90-triangles/), og trekanten 22.5-67,5-90 trekanten er baseret på den regulære ottekant (se tidligere indlæg), så 15-75-90 trekanten er baseret på den regulære dodekagon, her vist med tre radialer (rød) og en enkelt diagonal (lilla). 15-75-90 trekanten er vist med gult. Et symmetriargument er tilstrækkeligt til at vise, at vinkel EFC er den rette trekant i denne trekant, og at den største af dens to spidse vinkler (vinkel FCE) er halvdelen af en indvendig vinkel i denne dodekopagon. Den indvendige vinkel i en regulær dekagon måler 150 grader (beviset for dette er trivielt), og derfor må vinkel FCE må måle halvdelen af dette beløb, dvs. 75 grader. Dermed er der 15 grader tilbage til vinkel CEF via trekantsummen.
Hvad med sidelængderne i trekanten 15-75-90? Betragt først de viste røde diagonaler, og lad dem hver have en længde på 2. Vinklerne DAF og FAE måler hver 30 grader, da 360/12 = 30, og de er midtervinkler mellem tilstødende radius. Dette gør vinkel DAE til 60 grader ved vinkeladdition, og trekant DAE er som bekendt ligebenet, da de to røde sider er radier af den samme regulære dodekanon, og derfor er kongruente. Ifølge sætningen om ligebenede trekanter og trekantsummen måler vinklerne ADE og AED også hver især (180-60)/2 = 60 grader, så trekant ADE er derfor ligesidet, og den lilla side, DE, har også en længde på to. Symmetri er nok til at se, at DE er halveret af radius AC, hvilket fører til, at EF, det lange ben i 15-75-90 trekanten, har en længde på 1.
Segment AF er en median, og dermed også en højde, af den ligesidede trekant ADE, og deler den i to 30-60-90 trekanter, hvoraf den ene er trekant AEF. Dens hypotenuse, AE, har som bekendt allerede længden 2, mens dens korte ben, EF, som bekendt allerede har længden 1. Segment AF er derfor det lange ben af denne 30-60-90 trekant, med en længde på √3.
AF med længden √3 og FC, det korte ben af 15-75-90 trekanten, danner tilsammen dodekagonradius AC, der allerede har længden 2. Ved subtraktion af længden har FC, 15-75-90 trekantens korte ben, altså en længde på 2 – √3. Det er klogt at foretage en test på dette punkt ved at tage tangenten til den 15 graders vinkel FEC i den gule trekant. Tan(15 grader) er lig med 0,26794919…, hvilket også er den decimale tilnærmelse for FC/EF, eller (2 – √3)/1.
For at kende længdeforholdet for siderne i 15-75-90 trekanten er det kun nødvendigt at bestemme længden af EC, hypotenusen, ved hjælp af pythagoras’ læresætning. Kvadratet af længden EC skal være lig med kvadratet af 1 plus kvadratet af (2 – √3), så EC i kvadrat er lig med 1 + 4 – 4√3 + 3, eller 8 – 4√3. Hypotenusen (EC) må derfor være kvadratroden af 8 – 4√3, dvs. √(8-4√3)) = 2√(2-√3)).
Forholdet mellem det korte ben og det lange ben og hypotenusen i en 15-75-90 trekant er derfor (2-√3):1:2√(2-√3)).