Pre-scriptum (dateret 26. juni 2020): Disse indlæg om elementær matematik og fysik har ikke lidt meget under angrebet fra den mørke kraft – hvilket er godt, for jeg kan stadig lide dem. Selv om mine synspunkter om lysets, materiens og den eller de kræfter, der virker på dem, har udviklet sig betydeligt som led i mine udforskninger af en mere realistisk (klassisk) forklaring af kvantemekanikken, mener jeg, at det meste (hvis ikke alt) af analysen i dette indlæg stadig er gyldigt og sjovt at læse. Faktisk synes jeg, at de enkleste ting ofte er de bedste. 🙂
Original post:
Min første arbejdstitel for dette indlæg var Music and Modes. Ja. Modes. Ikke stemninger. Forholdet mellem musik og stemninger er også et interessant forskningsemne, men det er altså ikke det, jeg vil skrive om. 🙂
Det startede med, at jeg tænkte, at jeg faktisk burde skrive noget om modes, fordi begrebet mode for en bølge, eller en hvilken som helst oscillator i virkeligheden, er ret centralt i fysikken, både i den klassiske fysik og i kvantefysikken (kvantemekaniske systemer analyseres også som oscillatorer!). Men jeg undrede mig over hvordan jeg skulle gribe det an, da det er et ret kedeligt emne, hvis man kun ser på matematikken. Men så fløj jeg tilbage fra Europa til Asien, hvor jeg bor, og da jeg også spiller en smule guitar, ville jeg pludselig vide, hvorfor vi kan lide musik. Og så tænkte jeg, at det er et spørgsmål, du måske også har stillet dig selv på et eller andet tidspunkt! Og så tænkte jeg, at jeg burde skrive om modes som en del af en mere interessant historie: en historie om musik – eller, for at være præcis, en historie om fysikken bag musik. Så… Lad os gå i gang.
Filosofi versus fysik
Der er selvfølgelig et meget simpelt svar på spørgsmålet om, hvorfor vi kan lide musik: Vi kan lide musik, fordi det er musik. Hvis det ikke ville være musik, ville vi ikke kunne lide det. Det er et ret filosofisk svar, og det tilfredsstiller nok de fleste mennesker. Men for en person, der studerer fysik, kan dette svar sikkert ikke være tilstrækkeligt. Hvad er fysikken bag? Jeg gennemgik Feynmans forelæsning om lydbølger i flyet, kombinerede det med nogle andre ting, jeg googlede, da jeg ankom, og så skrev jeg dette indlæg, som giver dig et langt mindre filosofisk svar. 🙂
Observationen i centrum af diskussionen er bedragerisk enkel: Hvorfor er det sådan, at ens strenge (dvs. strenge lavet af samme materiale, med samme tykkelse osv.), under samme spænding, men med forskellig længde, lyder “behageligt”, når de lyder sammen, hvis – og kun hvis – forholdet mellem strengenes længde er som 1:2, 2:3, 3:4, 3:5, 4:5 osv. (dvs. som et hvilket som helst andet forhold mellem to små hele tal)?
Du undrer dig sikkert: Er det virkelig det, der er spørgsmålet? Det er det. Spørgsmålet er faktisk bedragerisk enkelt, for som du vil se om et øjeblik, er svaret ret kompliceret. Faktisk så kompliceret, at pythagoræerne ikke havde noget svar. Det havde ingen andre for den sags skyld – indtil det 18. århundrede eller deromkring, hvor både musikere, fysikere og matematikere begyndte at indse, at en streng (i en guitar, et klaver eller et andet instrument, som Pythagoras tænkte på dengang) eller en luftsøjle (f.eks. i et pibeorgel eller en trompet), eller hvad det nu er, der faktisk skaber den musikalske tone, faktisk svinger ved mange frekvenser samtidig.
Pythagoræerne anede ikke, at en streng i sig selv er en ret kompliceret ting – noget, som fysikere kalder en harmonisk oscillator – og at dens lyd derfor faktisk frembringes af mange frekvenser i stedet for kun én. Begrebet en ren tone, dvs. en tone, der er fri for overtoner (dvs. fri for alle andre frekvenser, bortset fra grundfrekvensen) eksisterede heller ikke på den tid. Og hvis det havde gjort det, ville de alligevel ikke have været i stand til at frembringe en ren tone: At frembringe rene toner – eller toner, som jeg lidt upræcist vil kalde dem (jeg burde sige: en ren tonehøjde) – er bemærkelsesværdigt kompliceret, og de findes ikke i naturen. Hvis pythagoræerne havde været i stand til at fremstille rene toner, ville de have observeret, at rene toner ikke giver nogen fornemmelse af konsonans eller dissonans, hvis deres relative frekvenser overholder disse enkle forhold. Faktisk har gentagne eksperimenter, hvor sådanne rene toner produceres, vist, at mennesker ikke rigtig kan sige, om det er en musikalsk lyd eller ej: det er bare lyd, og den er hverken behagelig (eller konsonant, skulle vi sige) eller ubehagelig (dvs. dissonant).
Den pythagoræiske observation gælder imidlertid for faktiske (dvs. ikke-rene) musikalske toner. Kort sagt er vi nødt til at skelne mellem toner og toner (dvs. rene toner): det er to meget forskellige ting, og kernen i hele argumentet er, at musikalske toner, der kommer ud af en (eller flere) streng(e) under spænding, er fulde af overtoner, og som jeg vil forklare om et øjeblik, er det det, der forklarer den observerede relation mellem længderne på disse strenge og fænomenet konsonans (dvs.dvs. at lyde “behageligt”) eller dissonans (dvs. at lyde “ubehageligt”).
Det er selvfølgelig let at sige det, jeg siger ovenfor: Vi er 2015 nu, og derfor har vi fordelen af at se bagud. Dengang – det er altså mere end 2.500 år siden! – udløste den simple, men bemærkelsesværdige kendsgerning, at længderne af ens strenge skal overholde et eller andet simpelt forhold, hvis de skal lyde “pænt” sammen, en fascination af talteori (faktisk skabte pythagoræerne faktisk grundlaget for det, der i dag er kendt som talteori). Pythagoras mente faktisk, at lignende forhold også burde gælde for andre naturfænomener! For blot at nævne et eksempel: Pythagoræerne mente også, at planeternes baner også ville overholde sådanne enkle numeriske relationer, hvorfor de talte om “sfærernes musik” (Musica Universalis).
Vi ved nu, at pythagoræerne tog fejl. Proportionerne i planeternes bevægelser omkring Solen respekterer ikke simple forhold, og med et tilbageblik igen er det beklageligt, at det krævede mange modige og geniale mennesker som Galileo Galilei og Kopernikus at overbevise kirken om dette faktum. 😦 Desuden var Pythagoras’ observationer med hensyn til de lyde, der kom ud af de strenge, han så på, ganske vist korrekte, men hans konklusioner var forkerte: Observationen indebærer ikke, at musiktonernes frekvenser alle skulle stå i et eller andet simpelt forhold til hinanden.
Lad mig gentage, hvad jeg skrev ovenfor: Musiktonernes frekvenser står ikke i et eller andet simpelt forhold til hinanden. Frekvensskalaen for alle musikalske toner er logaritmisk, og selv om det indebærer, at vi i praksis kan lave nogle tricks med forhold baseret på den logaritmiske skalaens egenskaber (som jeg vil forklare om lidt), så var det såkaldte “pythagoræiske” stemmesystem, som er baseret på simple forhold, helt forkert, selv om det – eller en variant af det (i stedet for forholdet 3:2 brugte musikerne forholdet 5:4 fra ca. 1510 og frem) – var almindeligt anvendt indtil det 18. århundrede! Kort sagt, Pythagoras tog fejl – i hvert fald i denne henseende: vi kan ikke gøre meget med disse simple forholdstal.
Når det er sagt, havde Pythagoras’ grundlæggende intuition ret, og denne intuition er stadig i høj grad det, der driver fysikken i dag: det er ideen om, at naturen kun kan beskrives eller forklares (hvad det så end betyder) ved hjælp af kvantitative forhold. Lad os se på, hvordan det rent faktisk fungerer for musikken.
Toner, støj og toner
Lad os først definere og skelne mellem toner og toner. En musikalsk tone er det modsatte af støj, og forskellen mellem de to er, at musikalske toner er periodiske bølgeformer, så de har en periode T, som illustreret nedenfor. I modsætning hertil er støj en ikke-periodisk bølgeform. Så enkelt er det.
Nu ved du fra tidligere indlæg, at vi kan skrive en hvilken som helst periodisk funktion som summen af et potentielt uendeligt antal simple harmoniske funktioner, og at denne sum kaldes Fourier-serien. Jeg noterer det blot her, så du skal ikke bekymre dig om det som for nu. Jeg vender tilbage til det senere.
Du ved også, at vi har syv musikalske toner: Do-Re-Mi-Fa-Fa-Sol-La-Si eller, mere almindeligt i den engelsktalende verden, A-B-C-D-E-F-G. Og så starter det igen med A (eller Do). Vi har altså to toner, der er adskilt af et interval, som kaldes en oktav (fra græsk octo, dvs. otte), med seks toner imellem, så det er otte toner i alt. Men du ved også, at der er toner imellem, undtagen mellem E og F og mellem B og C. De kaldes halvtoner eller halve trin. Jeg foretrækker udtrykket “halvtonetrin” frem for “halvtoner”, fordi vi i virkeligheden taler om toner, ikke om toner.
Vi har f.eks. f-dur (betegnet med F#), som vi også kan kalde G-dur (betegnet med Gb). Det er det samme: et skarpt # hæver en tone med en halv tone (aka et halvt trin), og et fladt b sænker den med det samme beløb, så F# er Gb. Det er det, der er vist nedenfor: I en oktav har vi otte toner, men tolv halvtrin.
Lad os nu se på frekvenserne. Frekvensskalaen ovenfor (udtrykt i svingninger pr. sekund, så det er hertz-enheden) er en logaritmisk skala: Frekvenserne fordobles, når vi går fra en oktav til en anden: Frekvensen for C4-noten ovenfor (det såkaldte midterste C) er 261,626 Hz, mens frekvensen for den næste C-note (C5) er dobbelt så høj: 523,251 Hz.
Nu, hvis vi sætter lighedstegn mellem intervallet mellem C4 og C5 med 1 (så oktaven er vores musikalske “enhed”), så er intervallet mellem de tolv halvtoner naturligvis 1/12. Hvorfor? Fordi vi har 12 halvtrin i vores musikalske enhed. Du kan også let verificere, at på grund af logaritmernes funktionsmåde vil forholdet mellem frekvenserne af to toner, der er adskilt af et halvt trin (mellem D# og E, f.eks.), være lig med 21/12. På samme måde er forholdet mellem frekvenserne for to toner, der er adskilt af n halvtrin, lig med 2n/12.
Nu, fordi frekvenserne af de forskellige C-toner er udtrykt som et tal, der involverer en decimalbrøk (som 523,251 Hz, og 0,251 er faktisk kun en tilnærmelse), og fordi de derfor er lidt svære at læse og/eller arbejde med, vil jeg illustrere den næste idé – i.dvs. begrebet harmonier – med A i stedet for C. 🙂
Harmonier
Det laveste A på et klaver betegnes med A0, og dets frekvens er 27,5 Hz. Der findes lavere A-toner (vi har f.eks. en på 13,75 Hz), men vi bruger dem ikke, fordi de er tæt på (eller faktisk over) grænsen for de laveste frekvenser, som vi kan høre. Så lad os holde os til vores flygel og starte med denne 27,5 Hz-frekvens. Den næste A-note er A1, og dens frekvens er 55 Hz. Derefter har vi A2, som er ligesom A på min (eller din) guitar: dens frekvens er lig med 2×55 = 110 Hz. Den næste er A3, for hvilken vi fordobler frekvensen endnu en gang: vi er nu på 220 Hz. Den næste er A i illustrationen af C-skalaen ovenfor: A4, med en frekvens på 440 Hz.
Nu er de toner, vi taler om her, alle såkaldte rene toner. Når jeg siger, at A’et på vores guitar betegnes A2, og at det har en frekvens på 110 Hz, så laver jeg faktisk en stor forenkling. Værre endnu, jeg lyver, når jeg siger det: Når man spiller på en streng på en guitar, eller når man slår på en tangent på et klaver, vil alle mulige andre frekvenser – såkaldte overtoner – også resonere, og det er det, der giver lyden kvalitet: det er det, der får den til at lyde smukt. Så grundfrekvensen (også kendt som første harmoniske) er 110 Hz, men vi vil også have anden, tredje, fjerde osv. harmoniske frekvenser med frekvensen 220 Hz, 330 Hz, 440 Hz osv. I musik kaldes grundfrekvensen eller grundfrekvensen for tonens tonehøjde, og som du kan se, bruger jeg ofte udtrykket “tone” (eller ren tone) som et synonym for tonehøjde – hvilket er mere eller mindre OK, men faktisk ikke helt korrekt.
Hvad er fysikken bag? Se på illustrationen nedenfor (jeg har lånt den fra Physics Classroom-webstedet). Den tykke sorte linje er strengen, og bølgelængden for dens grundfrekvens (dvs. den første harmoniske) er dobbelt så lang som dens længde, så vi skriver λ1 = 2-L eller omvendt L = (1/2)-λ1. Det er nu den såkaldte første tilstand af strengen.
Vi har også en anden, tredje osv. mode, afbildet nedenfor, og disse modes svarer til henholdsvis anden, tredje osv. harmoniske.
For den anden, tredje osv. mode er forholdet mellem bølgelængden og strengen længde naturligvis følgende: L = (2/2)-λ2 = λ2, L = L = L = (3/2)-λ3, osv. Mere generelt vil L for den niende tilstand være lig med L = (n/2)-λn, med n = 1, 2, osv. I virkeligheden, fordi L skal være en eller anden fast længde, bør vi skrive det omvendt: λn = (2/n)-L.
Hvad betyder det for frekvenserne? Vi ved, at bølgens hastighed – lad os betegne den med c – når den bevæger sig op og ned ad strengen, er en egenskab ved strengen, og det er kun en egenskab ved strengen. Med andre ord afhænger den ikke af frekvensen. Nu er bølgehastigheden altid lig med frekvensen gange bølgelængden, så vi har c = f-λ. For at tage eksemplet med den (klassiske) guitarstreng: Dens længde er 650 mm, dvs. 0,65 m. Derfor bliver identiteterne λ1 = (2/1)-L, λ2 = (2/2)-L, λ3 = (2/3)-L osv. til λ1 = (2/1)-0,65 = 1,3 m, λ2 = (2/2)-0,65 = 0,65 m, λ3 = (2/3)-0,65 = 0,433… m osv. Hvis vi nu kombinerer disse bølgelængder med de ovennævnte frekvenser, får vi bølgehastigheden c = (110 Hz)-(1,3 m) = (220 Hz)-(0,65 m) = (330 Hz)-(0,433… m) = 143 m/s.
Lad mig nu vende tilbage til Pythagoras’ streng. Du bør bemærke, at frekvenserne af de harmoniske frekvenser, der produceres af en simpel guitarstreng, er relateret til hinanden ved hjælp af simple hele talforhold. Faktisk er frekvenserne af den første og anden harmoniske harmoniske i et simpelt 2 til 1 forhold (2:1). Den anden og tredje harmoniske tone har et frekvensforhold på 3:2. Den tredje og fjerde harmoniske harmoniske et frekvensforhold på 4:3. Den femte og fjerde harmoniske harmoniske 5:4, og så videre og så videre. Det skal de være. Hvorfor? Fordi overtonerne er simple multipla af grundfrekvensen. Det er nu det, der i virkeligheden ligger bag Pythagoras’ observation: Når han lod lignende strenge med samme spænding, men forskellige længder, lyde med de samme overtoner. Intet mere, intet mindre.
Lad mig være helt eksplicit her, for den pointe, som jeg forsøger at gøre her, er noget subtil. Pythagoras’ streng er Pythagoras’ streng: han talte om ens strenge. Så vi taler ikke om en egentlig guitar eller et klaver eller et hvilket som helst andet strengeinstrument. Strengene på (moderne) strengeinstrumenter er ikke ens, og de har ikke den samme spænding. F.eks. er de seks strenge på en guitarstrenge ikke forskellige i længde (de er alle 650 mm), men de er forskellige i spænding. De seks strenge på en klassisk guitar har også en anden diameter, og de første tre strenge er almindelige strenge, i modsætning til de nederste strenge, som er omviklede. Så strengene ligner ikke hinanden, men er faktisk meget forskellige. For at illustrere pointen har jeg kopieret værdierne nedenfor for blot et af de mange kommercielt tilgængelige guitarstrengesæt. 
Det er det samme for klaverstrenge. Selv om de er noget mere enkle (de er alle lavet af pianotråd, som i bund og grund er ståltråd af meget høj kvalitet), er de også forskellige – ikke kun i længde, men også i diameter, der typisk varierer fra 0,85 mm for de højeste diskantstrenge til 8,5 mm (det er altså ti gange 0,85 mm) for de laveste bastoner.
Kort sagt spillede Pythagoras ikke på guitar eller klaver (eller på et eller andet mere sofistikeret strengeinstrument, som grækerne sikkert også må have haft), da han tænkte på disse harmoniske forhold. Den fysiske forklaring bag hans berømte observation er derfor ganske enkel: Musikalske toner, der har de samme harmoniske toner, lyder behageligt, eller konsonant, skulle vi sige – fra latin con-sonare, som bogstaveligt talt betyder “at lyde sammen” (fra sonare = lyde og con = med). Og ellers… Tja… Så lyder de ikke behageligt: de er dissonante.
For at understrege pointen vil jeg gerne understrege, at når vi plukker i en streng, frembringer vi en lyd, der består af mange frekvenser, på én gang. Man kan se det i praksis: Hvis man slår på en lavere A streng på et klaver – lad os sige A2 strengen på 110 Hz – så vil dens anden harmoniske (220 Hz) også få A3 strengen til at vibrere, fordi den har samme frekvens! Og så vil dens fjerde harmoniske harmoniske også få A4-strengen til at vibrere, fordi de begge har en frekvens på 440 Hz. Selvfølgelig vil styrken af disse andre vibrationer (eller deres amplitude skulle vi sige) afhænge af styrken af de andre harmoniske, og vi må naturligvis forvente, at grundfrekvensen (dvs. den første harmoniske) vil absorbere størstedelen af energien. Vi plukker altså på én streng, og så har vi én lyd, kun én tone, men mange toner på samme tid!
I den forbindelse bør du også bemærke, at den tredje harmoniske af vores 110 Hz A2-streng svarer til grundfrekvensen af E4-tonen: begge er 330 Hz! Og selvfølgelig svarer E’s overtoner, som f.eks. dens anden overtoner (2-330 Hz = 660 Hz), også til højere overtoner af A! Helt konkret svarer den anden harmoniske tone på vores E streng til den sjette harmoniske tone på vores A2 streng. Hvis din guitar er god, og hvis dine strenge også er af rimelig kvalitet, kan du faktisk se det: de (nederste) E- og A-strenge vibrerer sammen, hvis du spiller A-dur-akkorden, men kun ved at slå på de fire øverste strenge. Der er altså tale om en energioverførsel – i virkeligheden en bevægelse – fra de fire strenge, som du slår på, til de to strenge, som du ikke slår på! Du vil sige: og hvad så? Hvis du har et bedre bevis for, at forskellige frekvenser er aktuelle (eller virkelige) på samme tid, så fortæl mig det! 🙂
Så det er derfor, at A og E lyder meget godt sammen (A, E og C#, spillet sammen, udgør den såkaldte A-dur-akkord): vores øre kan lide at matche harmoniske harmonier. Og det er altså derfor, vi kan lide musikalske toner – eller hvorfor vi definerer disse toner som værende musikalske! 🙂 Lad mig opsummere det endnu en gang: Musikalske toner er sammensatte lydbølger, der består af en grundfrekvens og såkaldte overtoner (vi har altså mange toner eller rene toner i alt i én musikalsk tone). Når andre musikalske toner nu har fælles overtoner, og vi også lader disse toner lyde, får vi fornemmelsen af harmoni, dvs. kombinationen lyder konsonant.
Nu er det ikke svært at se, at vi altid vil have sådanne fælles overtoner, hvis vi har ens strenge, med samme spænding, men forskellige længder, der lyder sammen. Kort sagt, det Pythagoras observerede, har ikke meget med toner at gøre, men med tonearter. Lad os nu gå lidt videre i analysen ved at introducere lidt mere matematik. Og ja, undskyld mig meget: det er faktisk den frygtede Fourier-analyse! 🙂
Fourier-analyse
Du ved, at vi kan dekomponere enhver periodisk funktion til en sum af en (potentielt uendelig) serie af simple sinusfunktioner, som illustreret nedenfor. Jeg har taget illustrationen fra Wikipedia: Den røde funktion s6(x) er summen af seks sinusfunktioner med forskellige amplituder og (harmonisk relaterede) frekvenser. Den såkaldte Fouriertransformation S(f) (i blå) relaterer de seks frekvenser til de respektive amplituder.
I lyset af diskussionen ovenfor er det let at se, hvad dette betyder for lyden fra en plukket streng. Ved hjælp af vinkelfrekvensnotationen (så vi skriver alt med ω i stedet for f) ved vi, at de normale eller naturlige svingningsformer har frekvenser ω = 2π/T = 2πf (det er altså grundfrekvensen eller første harmoniske), 2ω (anden harmoniske), 3ω (tredje harmoniske) osv. osv.
Nu er der ingen grund til at antage, at alle de sinusfunktioner, der udgør vores tone, skal have samme fase: Der kan være en vis faseforskydning Φ, og derfor bør vi skrive vores sinusfunktion ikke som cos(ωt), men som cos(ωt + Φ) for at sikre, at vores analyse er generel nok. Nu ved vi fra vores geometriundervisning, at vi kan omskrive cos(ωt + Φ) som
cos(ωt + Φ) =
Vi har selvfølgelig mange af disse funktioner – faktisk en for hver harmonisk – og derfor bør vi bruge subscripts, hvilket vi gør i nedenstående formel, der siger, at enhver funktion f(t), der er periodisk med perioden T, kan skrives matematisk som:
Du undrer dig måske: Hvad er det for en periode T? Det er perioden for den grundlæggende tilstand, dvs. den første harmoniske. Perioden for den anden, tredje osv. harmoniske vil nemlig kun være en halv, en tredjedel osv. af perioden for den første harmoniske. T2 = (2π)/(2ω) = (1/2)-(2π)/ω = (1/2)-T1, og T3 = (2π)/(3ω) = (1/3)-(2π)/ω = (1/3)-T1 og så videre. Det er dog let at se, at disse funktioner også gentager sig selv efter henholdsvis to, tre osv. perioder. Så alt er i orden, og den generelle idé bag Fourier-analysen er yderligere illustreret nedenfor.
Du vil sige: Hvad pokker! Hvorfor har vi brug for den matematiske gymnastik her? Det er bare for at forstå den anden egenskab ved en musikalsk tone: dens kvalitet (i modsætning til dens tonehøjde). En såkaldt rig tone vil have stærke overtoner, mens en ren tone kun vil have den første overtoner. Alle andre karakteristika – forskellen mellem en tone produceret af en violin i forhold til et klaver – er så relateret til “blandingen” af alle disse harmoniske.
Så vi har det hele nu, bortset fra lydstyrke, som naturligvis er relateret til størrelsen af lufttryksændringerne, når vores bølgeform bevæger sig gennem luften: tonehøjde, lydstyrke og kvalitet. det er det, der gør en musikalsk tone. 🙂
Dissonans
Som nævnt ovenfor er lydene dissonante, hvis de ikke er konsonante, er de dissonante. Men hvad er dissonans egentlig? Hvad er det, der foregår? Svaret er følgende: Når to frekvenser er tæt på en simpel brøkdel, men ikke nøjagtige, får vi såkaldte beats, som vores øre ikke bryder sig om.
Hva’? Slap af. Illustrationen nedenfor, som jeg har kopieret fra Wikipedia-artiklen om klaverstemning, illustrerer fænomenet. Den blå bølge er summen af den røde og den grønne bølge, som oprindeligt er identiske. Men så øges frekvensen af den grønne bølge, og så er de to bølger ikke længere i fase, og interferensen resulterer i et slagmønster. Selvfølgelig involverer vores musikalske tone forskellige frekvenser og dermed forskellige perioder T1,T2, T3 osv. men du forstår ideen: De højere harmoniske svinger også med periode T1, og hvis frekvenserne ikke står i et eller andet nøjagtigt forhold, så får vi et lignende problem: beats, og vores øre vil ikke kunne lide lyden.
Selvfølgelig vil du undre dig: Hvorfor kan vi ikke lide beats i toner? Det kan vi jo spørge om, ikke sandt? Det er ligesom at spørge, hvorfor vi kan lide musik, ikke sandt? Tja … Det er det og det er det ikke. Det er som at spørge, hvorfor vores øre (eller vores hjerne) kan lide overtoner. Vi ved det ikke. Det er sådan, vi er skruet sammen. Den “fysiske” forklaring på, hvad der er musikalsk, og hvad der ikke er det, rækker kun et stykke vej, tror jeg. 😦
Pythagoras versus Bach
Fra alt det, jeg skrev ovenfor, er det indlysende, at frekvenserne af harmonikerne i en musikalsk tone faktisk er relateret af simple forhold mellem små heltal: Det er et simpelt forhold mellem frekvenserne for første og anden harmoniske harmonik (2:1); anden og tredje harmonik har et frekvensforhold på 3:2; tredje og fjerde harmonik har et forhold på 4:3; femte og fjerde harmonik har et forhold på 5:4, osv. Det er det hele. Intet mere, intet mindre.
Med andre ord, Pythagoras observerede musikalske toner: han kunne ikke observere de rene toner bagved, dvs. de egentlige toner. Æstetikken fik imidlertid Pythagoras, og alle musikere efter ham – indtil midten af det 18. århundrede – til også at mene, at forholdet mellem frekvenserne af tonerne inden for en oktav også skulle være simple forhold. Ud fra det, jeg forklarede ovenfor, er det indlysende, at det ikke bør fungere på den måde: forholdet mellem frekvenserne af to toner, der er adskilt af n halvtrin, er 2n/12, og for de fleste værdier af n er 2n/12 ikke et simpelt forhold.
Så – jeg har allerede sagt det – Pythagoras tog fejl – ikke kun i denne henseende, men også i andre henseender, f.eks. når han gik ind for sine synspunkter om solsystemet, f.eks. Igen, jeg er ked af at måtte sige det, men det er som det er: Pythagoræerne foretrak tilsyneladende matematiske ideer frem for fysiske eksperimenter 🙂 Når det er sagt, kendte musikerne naturligvis ikke til noget alternativ til Pythagoras, og de havde sikkert aldrig hørt om logaritmiske skalaer på den tid. Så… Tja… De brugte det såkaldte pythagoræiske stemmesystem. Helt præcist stemte de deres instrumenter ved at sætte lighedstegn mellem frekvensforholdet mellem den første og den femte tone i C-skalaen (dvs. C og G, da de ikke medregnede C#, D# og F# halvtonerne, når de talte) og forholdet 3/2, og så brugte de andre såkaldte harmoniske forhold for tonerne imellem.
Nu er 3/2-forholdet faktisk næsten korrekt, for det faktiske frekvensforhold er 27/12 (vi har syv toner, inklusive halvtonerne – ikke fem!), og det er altså 1,4983, cirka. Det er ret tæt på 3/2 = 1,5, vil jeg sige. 🙂 Ved hjælp af denne tilnærmelse (som jeg indrømmer, at den faktisk er ret præcis), ville stemningen af de andre strenge så også ske under forudsætning af, at visse forhold skulle overholdes, som dem nedenfor.
Så det hele var ganske godt. Når det er sagt, så mente gode musikere, og nogle store matematikere, at der var noget galt – om ikke andet så fordi der fandtes flere såkaldte just intonationssystemer (for en oversigt, se Wikipedia-artiklen om just intonation). Endnu vigtigere var det, at de mente, at det var ret vanskeligt at transponere musik ved hjælp af det pythagoræiske tuningssystem. Transponering af musik går ud på at ændre den såkaldte toneart i et musikstykke: det man gør, er i bund og grund at flytte hele stykket op eller ned i tonehøjde med et konstant interval, der ikke er lig med en oktav. I dag er transponering af musik en let sag – i hvert fald i vestlig musik. Men det er kun fordi al vestlig musik spilles på instrumenter, der er stemt efter denne logaritmiske skala (teknisk set kaldes det 12-tone equal temperament (12-TET)-systemet). Når man ville bruge et af de pythagoræiske systemer til stemning, lyder et transponeret stykke ikke helt rigtigt.
Den første matematiker, der virkelig syntes at vide, hvad der var galt (og som derfor også vidste, hvad man skulle gøre), var Simon Stevin, som skrev et manuskript baseret på “12. rod af 2 princippet” omkring 1600 e.Kr. Det burde ikke overraske os: tankegangen hos denne matematiker fra Brugge skulle inspirere John Napiers arbejde med logaritmer. Desværre blev dette manuskript, selv om det beskriver de grundlæggende principper bag 12-TET-systemet, ikke offentliggjort (Stevin måtte flygte fra Brugge til Holland, fordi han var protestant, og det brød de daværende spanske magthavere sig ikke om). Derfor blev musikerne, mens de ikke helt forstod matematikken (eller fysikken, skulle jeg sige) bag deres egen musik, ved med at prøve andre stemmesystemer, da de følte, at det fik deres musik til at lyde bedre.
Et af disse “andre systemer” er den såkaldte “gode” temperament, som du sikkert har hørt om, da det er omtalt i Bachs berømte komposition Das Wohltemperierte Klavier, som han færdiggjorde i første halvdel af det 18. århundrede. Men hvad er det “gode” temperament egentlig? Tja… Det er, hvad det er: Det er et af de stemningssystemer, som fik musikerne til at føle sig bedre tilpas i deres musik af en række årsager, som alle er godt beskrevet i Wikipedia-artiklen om det. Men hovedårsagen er, at det stemmesystem, som Bach anbefalede, var meget bedre, når det gjaldt om at spille det samme stykke i en anden toneart. Det var dog stadig ikke helt rigtigt, da det ikke var det lige temperamentssystem (dvs. 12-TET-systemet), som er på plads nu (i hvert fald i Vesten – den indiske musikskala er f.eks. stadig baseret på simple forhold).
Hvorfor nævner jeg dette stykke af Bach? Grunden er enkel: Du har sikkert hørt om det, fordi det er et af de vigtigste referencepunkter i en ret berømt bog: Gödel, Escher and Bach-an Eternal Golden Braid. Hvis ikke, så glem det bare. Jeg nævner den, fordi en af mine brødre elsker den. Den handler om kunstig intelligens. Jeg har ikke læst den, men jeg må formode, at Bachs mesterværk analyseres der på grund af sin struktur, ikke på grund af det stemmesystem, som man skal bruge, når man spiller det. Så… Tja… Jeg vil sige: Lad være med at gøre den komposition mere mystisk, end den allerede er. 🙂 Det “magiske” bag den hænger sammen med det, jeg sagde om A4 som “referencepunkt” i musikken: Da vi nu bruger en universel logaritmisk skala, findes der ikke længere noget absolut referencepunkt: Når vi først har defineret vores musikalske “enhed” (det er altså den såkaldte oktav i vestlig musik) og også defineret, hvor mange trin vi vil have imellem (det er altså 12 – i vestlig musik, altså), får vi alt andet. Det er bare sådan logaritmer fungerer.
Så, kort sagt, musik handler om struktur, dvs. det handler om matematiske relationer, og kun om matematiske relationer. Igen, Pythagoras’ konklusioner var forkerte, men hans intuition var rigtig. Og det er naturligvis hans intuition, der har affødt videnskaben: de simple “modeller”, han lavede – om hvordan noder skulle være forbundet med hinanden eller om vores solsystem – var naturligvis kun begyndelsen på det hele. Og sikke en god start det var! Når man ser tilbage igen, er det ret trist, at konservative kræfter (som f.eks. kirken) ofte stod i vejen for fremskridtet. Faktisk undrer jeg mig pludselig: hvis videnskabsfolk ikke ville være blevet generet af disse konservative kræfter, kunne menneskeheden så have sendt folk af sted allerede omkring Karl V’s fødsel, dvs. omkring år 1500 e.Kr.? 🙂
Post scriptum: Mit eksempel med de (nederste) E og A guitarstrenge, der vibrerer sammen, når man spiller A-dur akkorden, der kun slår på de øverste fire strenge, er lidt tricky. De (nederste) E og A strenge er forbundet med lavere tonehøjder, og vi sagde at overtoner (dvs. anden, tredje, fjerde osv. overtoner) er multipla af den grundlæggende frekvens. Så hvorfor er det sådan, at de lavere strenge medvibrerer? Svaret er let: de svinger kun ved de højere frekvenser. Hvis du har en guitar: Prøv det bare. De to strenge, du ikke plukker på, vibrerer – og det er meget synligt, men de lave grundfrekvenser, der kommer ud af dem, når du slår på dem, er ikke hørbare. Kort sagt resonerer de kun ved de højere frekvenser. 🙂
Det eksempel, som Feynman giver, er meget mere ligetil: Hans eksempel nævner de lavere C-noter (eller A, B osv.) på et klaver, der forårsager vibrationer i de højere C-strenge (eller henholdsvis den højere A, B osv. streng). Hvis man f.eks. slår på C2-tasten (og dermed på C2-strengen i klaveret), vil det også få den (højere) C3-streng til at vibrere. Men det er vel de færreste af os, der har et flygel derhjemme. Derfor foretrækker jeg mit guitareksempel. 🙂