Modellering af en WindkesselEdit
Windkessel-fysiologi er stadig en relevant, men forældet beskrivelse af stor klinisk interesse. Den historiske matematiske definition af systole og diastole i modellen er naturligvis ikke ny, men er her elementært iscenesat til fire grader. At nå fem ville være originalt arbejde.
To-elementRediger
Det antages, at forholdet mellem tryk og volumen er konstant, og at udstrømningen fra Windkesselen er proportional med væsketrykket. Den volumetriske indstrømning skal være lig med summen af det volumen, der er lagret i det kapacitive element, og den volumetriske udstrømning gennem det resistive element. Dette forhold beskrives ved en differentialligning:
I ( t ) = P ( t ) R + C d P ( t ) d t {\displaystyle I(t)={P(t) \over R}+C{dP(t) \over dt}}}
I(t) er den volumetriske tilstrømning som følge af pumpen (hjertet) og måles i volumen pr. tidsenhed, mens P(t) er trykket i forhold til tiden målt i kraft pr. arealenhed, C er forholdet mellem volumen og tryk for Windkessel, og R er den modstand, der relaterer udstrømningen til væsketrykket. Denne model er identisk med forholdet mellem strøm, I(t), og elektrisk potentiale, P(t), i et elektrisk kredsløb, der svarer til Windkessel-modellen med to elementer.
I blodkredsløbet antages de passive elementer i kredsløbet at repræsentere elementer i det kardiovaskulære system. Modstanden, R, repræsenterer den samlede perifere modstand, og kondensatoren, C, repræsenterer den samlede arterielle eftergivelighed.
I diastolen er der ingen blodtilstrømning, da aortaklappen (eller pulmonalklappen) er lukket, så Windkessel kan løses for P(t), da I(t) = 0:
P ( t ) = P ( t d ) e – ( t – t d ) ( R C ) {\displaystyle P(t)=P(t_{d})e^{-(t-t_{d}) \over (RC)}}
hvor td er tidspunktet for starten af diastolen og P(td) er blodtrykket ved starten af diastolen. Denne model er kun en grov tilnærmelse af det arterielle kredsløb; mere realistiske modeller inkorporerer flere elementer, giver mere realistiske skøn over blodtryksbølgeformen og diskuteres nedenfor.
Tre-elementEdit
Den tre-element Windkessel forbedrer modellen med to elementer ved at inkorporere endnu et resistivt element for at simulere modstanden mod blodgennemstrømningen på grund af den karakteristiske modstand i aorta (eller lungepulsåren). Differentialligningen for 3-elementmodellen er:
( 1 + R 1 R 2 ) I ( t ) + C R 1 d I ( t ) d t = P ( t ) R 2 + C d P ( t ) d t {\displaystyle (1+{R_{1} \over R_{2}}})I(t)+CR_{1}{dI(t) \over dt}={P(t) \over R_{2}}}+C{dP(t) \over dt}}
hvor R1 er den karakteristiske modstand (denne antages at være ækvivalent med den karakteristiske impedans), mens R2 repræsenterer den perifere modstand. Denne model anvendes i vid udstrækning som en acceptabel model for kredsløbet. Den er f.eks. blevet anvendt til at vurdere blodtryk og blodgennemstrømning i kyllingeembryoets aorta og i svins lungearterie samt til at danne grundlag for konstruktion af fysiske kredsløbsmodeller, der giver realistiske belastninger til eksperimentelle undersøgelser af isolerede hjerter.
Fire-elementEdit
Den tre-element-model overvurderer eftergiveligheden og undervurderer den karakteristiske impedans i kredsløbet. Fire-elementmodellen omfatter en induktor, L, som har enheder af masse pr. længde, ( M l 4 {\displaystyle {\displaystyle {M \over l^{4}}}}
), i den proximale komponent af kredsløbet for at tage højde for blodstrømmens inerti. Dette er negligeret i modellerne med to og tre elementer. Den relevante ligning er:
( 1 + R 1 R 2 ) I ( t ) + ( R 1 C + L R 2 ) d I ( t ) d t + L C d 2 I ( t ) d t 2 = P ( t ) R 2 + C d P ( t ) d t {\displaystyle (1+{R_{1} \over R_{2}}})I(t)+(R_{1}C+{L \over R_{2}}}){dI(t) \over dt}+LC{d^{2}I(t) \over dt^{2}}}={P(t) \over R_{2}}}+C{dP(t) \over dt}}
