(født i Dordrecht, Nederlandene, 24. september 1625; død i Haag, Nederlandene, 20. august 1672)
matematik.
De Witt var søn af Jacob de Witt, borgmester i Dordrecht, og Anna van de Corput. Begge familier var fremtrædende medlemmer af den regentklasse, som regerede byerne og provinserne i Nederlandene. Han blev optaget på latinskolen i Dordrecht i 1636 og gik på universitetet i Leiden i 1641. Her studerede han jura og rejste til Frankrig i 1645 for at tage sin eksamen i Angers. I Leiden studerede han matematik privat hos Frans van Schooten den Yngre og fik hos ham en fremragende uddannelse i Cartes’ matematik. De Witt var en talentfuld matematiker, men havde kun lidt tid til at hellige sig matematikken. Han blev pensionær af Dordrecht i 1650 og storpensionær af Holland i 1653, hvilket gjorde ham til leder af statspartiet og i realiteten til Nederlandenes premierminister. Han var en statsmand af usædvanlig dygtighed og karakterstyrke, som ledede de forenede provinsers anliggender i det tyveårige interregnum i borgmesterskabet under Vilhelm af Oranges mindretal. Dette var en af de mest kritiske perioder i den hollandske historie med de tre engelsk-hollandske krige; fjendtligheden hos den orangeanske fraktion kulminerede med mordet på de Witt og hans bror Cornelis af en pøbel i 1672.
De Witts vigtigste matematiske værk var hans Elementa curvarum linearum, skrevet før 1650 og trykt i Van Schootens anden latinske udgave af Descartes’ Géométrie (1659-1661). Det består af to bøger: den første, en syntetisk behandling af den geometriske teori, der findes i de tidlige bøger af Apollonius’ koniske geometri; og den anden, en af de første systematiske udviklinger af den analytiske geometri af den lige linje og kegleformede geometri. I den første bog er symptomae (udtrykt som proportioner) af parablen, ellipsen og hyperbolaen afledt som plane loci, snarere end som sektioner af keglen. Hans lokusdefinitioner af ellipsen er velkendte for os i dag: den excentriske vinkelkonstruktion (et fast punkt i forhold til et roterende segment); trammelkonstruktionen (et fast punkt på et givet segment, der bevæger sig på to skærende linjer); og “string”-konstruktionen, der er baseret på definitionen med to fokuspunkter. For hyperbolen og parablen konstrueres stedet som skæringspunktet mellem de tilsvarende dele af to linjestykker, hvoraf det ene er parallelt og det andet samtidig. I moderne termer er disse interessante utilsigtede eksempler på Steiner-Chasles projektive definition af keglerne, hvor toppunktet af den ene blyant er i uendelighed.
De Witt er krediteret for at have indført udtrykket “directrix” for parablen, men det fremgår tydeligt af hans udledning, at han ikke bruger udtrykket for den faste linje i vores fokus-directrix-definition. Givet faste linjer DB og EF, der skærer hinanden i D, med B som pol og EF som directrix: for ethvert punkt H på EF, hvis ∠HBL er konstrueret lig med ∠FDB, skærer en linje gennem H parallel til BD BL i G, et punkt på locus. AC trækkes gennem B med DBC = ∠BDF og skærer HG i I, og GK trækkes parallelt med AC. Da trekanterne BDH og GKB ligner hinanden, er (BI)2 =(BD) (BK) eller y2 = px, en parabel med toppunkt i B, abscisse BK = x og ordinat KG = y. Hvis EF er vinkelret på DB, fås et rektangulært koordinatsystem, men EF er ikke vores directrix.
I den første bog af Elementa de Witt ikke blot befriede keglerne fra keglen med sine kinematiske konstruktioner, men opfyldte også de kartesiske kriterier for konstruerbarhed. Denne bog blev skrevet, som han rapporterede til van Schooten, for at give en baggrund for den nye analytiske udvikling i den anden bog. Han begyndte den analytiske behandling ved at vise, at ligninger af første grad repræsenterer lige linjer. Som det var sædvanligt på det tidspunkt brugte han ikke negative koordinater, idet han kun grafiserede segmenter eller stråler i den første kvadrant. Han forklarede omhyggeligt den faktiske konstruktion af linjerne for vilkårlige koefficienter
, da de ville være nødvendige i hans transformationer, der reducerer generelle kvadratiske ligninger til type koniske ligninger. For hver kegle begyndte de Witt med forenklede ligninger svarende til hans standardformer i bog I, og brugte derefter translokationer og rotationer til at reducere mere komplicerede ligninger til de kanoniske former. For eksempel lader han i hyperbolaen
i hyperbolen
og derefter
v = x + h
hvor h er koefficienten af det lineære udtryk i x efter den første substitution, hvilket giver
en standardhyperbel, der skærer de nye v- eller z-akser alt efter, om hh er større eller mindre end. Selv om de Witt synes at være opmærksom på karakteristikken af den generelle kvadratiske ligning ved valget af sine eksempler, nævner han ikke eksplicit dens anvendelse til at bestemme typen af kegle undtagen i tilfælde af parabolaen. Der anfører han, at hvis termerne af anden grad er et perfekt kvadrat, repræsenterer ligningen en parabel.
Det sidste kapitel er en opsummering af de forskellige transfomationer, der viser, hvordan man konstruerer graferne for alle ligninger af anden grad. Hvert tilfælde af positive og negative koefficienter skal behandles særskilt i en tegning, men diskussionen for hver kurve er helt generel, og både oprindelige og transformerede akser er tegnet.
Ud over de algebraiske forenklinger af kurverne til normalform indeholder bog II den sædvanlige fokus-direktrix-egenskab for parablen og de analytiske afledninger af eilipse og hyperbel som stedet for punkter, hvis sum eller forskel af deres afstande fra to faste punkter er en konstant. Disse er udført på moderne vis, med dobbelt kvadrering, med eksplicit brug af Pythagoras’ sætning i stedet for den nyere afstandsformel.
De Witts Elementa og John Wallis’ Tractatus de sectionibus conicis (1655) anses for at være de første lærebøger i analytisk geometri. Selv om Wallis rejste spørgsmålet om prioritet, var deres tilgange forskellige og helt uafhængige. Wallis definerede først konikkerne som andengradsligninger og udledte kurvernes egenskaber af ligningerne, mens de Witt afgrænsede dem geometrisk i planen og derefter viste, at kvadratiske ligninger kunne reduceres til hans normalformer.
Christiaan Huygens skrev engang til John Wallis om de Witt: “Kunne han have sparet alle sine kræfter til matematiske værker, ville han have overgået os alle.” Hans geometri var hans eneste bidrag til den rene matematik, men han trænede sine matematiske interesser til de finansielle problemer i provinsen Holland i hele sin lange tid som storpensionær. Det vigtigste middel til at skaffe penge til Statres var ved hjælp af livsvarige eller faste livrenter. I 1665 lykkedes det de Witt at nedsætte renten fra 5 til 4 procent og oprettede en afdragsfond med de renter, der blev opsparet ved konverteringen akkumuleret til sammensat rente, som skulle anvendes på Hollands gæld, der således kunne betales på 41 år. Den anden anglo-hollandske krig(1665-1667) omstødte imidlertid denne ordning. De engelske krige var et evigt finansielt dræn, og mere end halvdelen af udgifterne (næsten kun krigsudgifterne) blev opslugt af rentebetalinger.
I april 1671 blev det besluttet at forhandle midlerne ved hjælp af livrenter, hvorved gælden blev begrænset til én generation. De Witt udarbejdede en afhandling til de hollandske stater, der matematisk påviste, at livrenterne blev tilbudt til en for høj rente i forhold til faste annuiteter. I mange år havde tommelfingerreglen for livrenter været dobbelt så høj som standardrenten, og Holland havde for nylig nedsat renten til 25 års køb (4 %) og solgte livrenter til 14 års køb (7 %). De Witt ønskede at hæve prisen til seksten års køb (6¼ procent). Hans Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Losrenten (juli 1671) er helt sikkert et af de første forsøg på at anvende sandsynlighedsregningsteorien på økonomiske problemer. Den blev skrevet som et politisk dokument og forblev begravet i arkiverne i næsten to hundrede år. Siden den blev opdaget og offentliggjort af Frederick Hendriks i 1852, har der været mange artikler (hvoraf nogle er anført i bibliografien), som forklarer eller kritiserer den på grundlag af den moderne aktuarmæssige videnskab. Det er faktisk en meget enkel og genial afhandling, der kun er baseret på brugen af princippet om matematisk forventning til at danne ligeværdige kontrakter.
De Witt opregnede nutidsværdierne på 4 procent af annuitetsbetalinger på 10.000.000 stuyvers (for at undgå decimaler) pr. halvår og opsummerede de matematiske forventninger ved hjælp af hypotetiske dødelighedssatser for forskellige aldre. Han gik først ud fra, at der er lige stor sandsynlighed for, at en mand dør i første eller sidste halvdel af et hvilket som helst år, og udvidede derefter, da livrenter generelt blev købt på unge liv, dette til ethvert halvt år i “årene med fuld livskraft” fra tre til 53 år. For enkelhedens skyld betragtede han de første hundrede halve år som lige ødelæggende eller dødelige, selv om han erklærede, at sandsynligheden for at dø faktisk er mindre i de første år. Han stoppede også ved firsårsalderen, selv om mange lever længere end denne alder. I de næste ti år, fra treoghalvtreds til treoghalvtreds, overstiger chancen for at dø ikke mere end i forholdet 3 til 2 chancen for at dø i den første periode; fra treoghalvtreds til treoghalvfjerds er chancen for at dø ikke mere end 2 til 1; og fra treoghalvfjerds til firs, ikke mere end 3 til 1.
De Witt giver mange eksempler for at forklare brugen af begrebet matematisk forventning. Det følgende er grundlæggende for hans senere beregninger, og det er blevet overset af mange kommentatorer. Overvej en mand på fyrre og en mand på otteoghalvtreds år. Ifølge hans forudsætninger er chancerne for at den ældre mand dør sammenlignet med den yngre mand som 3 til 2. Der kunne udtænkes en ligeværdig kontrakt: hvis den otteoghalvtredsårige mand dør om seks måneder, arver den yngre mand 2.000 floriner, men hvis den fyrreårige mand dør om seks måneder, arver den ældre mand 3.000 floriner. Det vil sige, at chancen for, at manden på 58 år får 3.000 floriner, er som 2 til 3, eller, med de Witts annuitetsberegninger, at chancen for at modtage en bestemt annuitetsudbetaling i den anden periode er to tredjedele af den i den første periode.
Fra dette ræsonnement er de Witt’ beregninger ligetil: han summerer nutidsværdierne for de første hundrede halve år; to tredjedele af nutidsværdierne for de næste tyve halve år; for de næste tyve, halvdelen af nutidsværdierne; og en tredjedel for de sidste fjorten. Alle disse værdier lægges sammen, og gennemsnittet tages, hvilket giver lidt over 16 floriner som nutidsværdien af en florin i livrente ved et ungt og sundt liv. Hvis metoden var blevet anvendt på faktiske dødelighedstabeller, ville arbejdet have været formidabelt. Senere i 1671 korresponderede de Witt og Jan Hudde om problemet med overlevelsesrenter på mere end ét liv, og her brugte de begge faktiske dødelighedstal hentet fra Hollands annuitetsregistre. Ved at arbejde med flere grupper på mindst hundrede personer af en given alder udviklede de Witt passende satser for livrenter på to liv. Disse blev efterfølgende udvidet til et vilkårligt antal liv ved hjælp af en Pascal-triangel, med et løfte til Hudde om at fastslå resultaterne a priori. Dette var kulminationen på de Witts arbejde med annuiteter, men af politiske grunde foreslog han Hudde, at offentligheden ikke skulle informeres om resultaterne af deres undersøgelse, da de var villige til at købe annuiteter på mere end ét liv til den gældende sats, som var gunstig for regeringen.
BIBLIOGRAPHI
I. Original Works. Elementa curvarum linearum, i Frans van Schooten’ latinske udg. af Descartes’ Géométrie, Geometria a Renato Descartes (Amsterdam, 1659-1661). Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Los-renten (Haag, 1671; facs. ed. Haarlem, 1879). Seks bind breve i Werken van het Historish Genootschap te Utrecht, 3d ser., XVIII, XXV, XXXI, XXXIII, XLII, XLIV (1906-1922). Bind XXXIII indeholder breve til og fra matematikere, herunder brevene til Jan Hudde om livrenter på mere end ét liv.
II. Sekundærlitteratur. Af de mange biografier om de Witt er Nicolaas Japikse, Johan de Witt (Amsterdam, 1915), uundværlig. Endnu mere værdifuld er G. A. Lefévre-Pontalis, Jean de Witt, Grand Pensionnaire de Hollande, 2 bd. (Paris, 1884); engelsk oversættelse, S. F. Stephenson og A. Stephenson (London, 1885). For en pålidelig diskussion af perioden og forholdet mellem de Witt og og Vilhelm III, se Pieter Ceyl, The Netherlands in the Seventeenth Century, Part Two 1648-1715 (London, 1964), og hans Oranje en Stuart (Utrecht, 1939), engelsk oversættelse, Arnold Pomerans (London, 1969). For geometrien se P. van Geer, “Johan de Witt als Wiskundige,” i Nieuw Archief voor Wiskundige, 2. ser, 11 (1915), 98-126; og C. B. Boyer, History of Analytic Geometry (New York, 1956).
En engelsk oversættelse af værket om livrenter findes i Frederick Hendricks, “Contributions to the History of Insurance … a Restoration of the Grand Pensionary De Witt’ Treatise on Life Annuities,” i The Assurance Magazine (nu Journal of the Institute of Actuaries), 2 (1852), 230-258. Vols. 3 (1901), 10 (1908) og 11 (1909) af Archief voor Verzekeringe Wetenschap indeholder artikler med varierende kritik og forklaringer af de Witt’ skrifter om annuitetsrenter.
Joy B. Easton