Ein ARMAX-Modell (d. h. ein ARIMA-Modell mit einer exogenen Variablen) ohne Konstante hat die Form
Dies ist einfach ein ARMA-Modell mit einer zusätzlichen unabhängigen Variablen (Kovariable) auf der rechten Seite der Gleichung. Unter Verwendung des Lag-Operators ist dies äquivalent zu
oder
Eine Möglichkeit, mit einem solchen Modell umzugehen, besteht darin, es als lineare Regression plus ARMA-Fehler zu interpretieren:
wobei
Dieses Modell ist äquivalent zu
Beispiel 1: Erstellen Sie ein ARIMAX-Modell für die Daten auf der linken Seite von Abbildung 1, wobei X1 und X2 exogene Variablen sind und Y eine Zeitreihe ist. Erstellen Sie auf der Grundlage dieses Modells eine Vorhersage für die nächsten 3 Elemente.
Abbildung 1 – Initialisierung des ARIMAX-Modells
Realstatistik-Datenanalysetool: Hierfür können Sie das ARIMAX-Datenanalysewerkzeug verwenden. Drücken Sie Strg-m, wählen Sie ARIMAX auf der Registerkarte Zeit S und füllen Sie das Dialogfeld aus, das wie in Abbildung 2 dargestellt erscheint.
Abbildung 2 – ARIMAX-Dialogfeld
Die Ergebnisse sind auf der rechten Seite von Abbildung 1 sowie in Abbildung 3 und 4 dargestellt.
In Abbildung 1 enthält der Bereich G4:G22 die Feldformel =ADIFF(B4:B23,1), der Bereich H5:H22 enthält =ADIFF(C4:C23,1) und I5:I22 enthält =ADIFF(D:D23,1).
Die linke Seite von Abbildung 3 enthält die übliche Regressionsanalyse von X1 und X2 auf Y, woraus sich das Regressionsmodell
ergibt. Die Residuen werden berechnet durch
wobei wir erwarten, dass die Residuen einem ARIMA(0,0,1)-Modell folgen. Diese Residuen sind in Abbildung 1 im Bereich J5:J22 dargestellt und werden mit der Array-Formel
=I4:I22-TREND(I4:I22,G4:H22,,TRUE)
Abbildung 3 – OLS-Regressionsmodell
Die Residuen aus dem OLS-Regressionsmodell werden nun zu den Datenelementen für das ARIMA-Modell, wie in Abbildung 4 dargestellt. Es ist zu beachten, dass der konstante Term im Regressionsmodell enthalten ist und somit nicht in das ARIMA-Modell eingeht. Ebenso wurde die Differenzierung bereits berücksichtigt und ist somit nicht Teil des ARIMA-Modells. Wir gehen also davon aus, dass die Residuen einem MA(1)-Modell folgen.
Abbildung 4 – ARIMA(0,0,1)-Modell für die Residuen
Die Vorhersage für das in Abbildung 4 dargestellte Modell ist in Abbildung 5 dargestellt. Beachten Sie, dass die in den Zellen AV24 und AV25 angezeigten Prognosewerte von Null nicht unbedingt Null wären, wenn wir ein anderes ARIMA-Modell für die Residuen verwendet hätten.
Abbildung 5 – Residuen-Prognose
Die Prognose in Abbildung 5 bezieht sich nur auf die Residuen-Zeitreihe. Wir müssen nun eine Prognose für die ursprüngliche Zeitreihe zu den Zeitpunkten t = 21, 22 und 23 erstellen, die auf den Werten basiert, die wir für die exogenen Variablen X1 und X2 zu diesen Zeitpunkten erwarten.
Angenommen, diese exogenen Variablen nehmen die Werte an, die im Bereich B24:C26 von Abbildung 6 dargestellt sind. Man beachte, dass diese Abbildung den unteren Teil der entsprechenden Spalten aus Abbildung 1 zeigt, wobei die hinzugefügten Zeilen den drei Prognosewerten entsprechen.
Die hinzugefügten Einträge im Bereich D24:D26 zeigen die prognostizierten Werte für die ursprüngliche Zeitreihe zu den Zeitpunkten t = 21, 22 und 24, die den in B24:C26 angegebenen Werten für X1 und X2 entsprechen. Diese prognostizierten Werte werden wie in Abbildung 6 dargestellt berechnet.
Abbildung 6 – Zeitreihenprognose
Setzen Sie die Formel =B24-B23 in Zelle G23, markieren Sie den Bereich G23:H25 und drücken Sie Strg-R und Strg-D. Dadurch unterscheiden sich die neuen Werte X1 und X2. Als nächstes setzen Sie die Array-Formel =TREND(I4:I22,G4:H22,G23:H25) in den Bereich I23:I25. Damit werden die differenzierten Y-Prognosewerte berechnet.
Nun fügen Sie die Formel =AV23 in Zelle J23 ein, markieren den Bereich J23:J25 und drücken Strg-D, um die prognostizierten Restwerte anzuzeigen. Schließlich setzen Sie die Formel =D23+I23+J23 in Zelle D24 ein, markieren den Bereich D24:D26 und drücken Strg-D, um die gewünschte Prognose für Y zu erhalten.