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Wenn Sie nie gedacht haben, dass Sexappeal mathematisch berechnet werden kann, dann denken Sie noch einmal nach. Männliche Fiedlerkrebse (Uca pugnax) besitzen eine vergrößerte Hauptklaue, mit der sie kämpfen oder andere Männchen bedrohen können. Außerdem ziehen Männchen mit größeren Krallen mehr weibliche Partner an. Die sexuelle Anziehungskraft (Klauengröße) einer bestimmten Art von Winkerkrabben wird durch die folgende allometrische Gleichung bestimmt: Mc = 0,036 – Mb 1,356, |
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Was ist Allometrie?
Allometrie ist die Untersuchung der relativen Veränderung der Proportionen eines Merkmals im Vergleich zu einem anderen während des Wachstums eines Organismus. Dabei kann es sich um morphologische, physiologische oder andere Merkmale handeln. Ein bekanntes Beispiel für eine allometrische Beziehung ist das Verhältnis zwischen Skelettmasse und Körpermasse. So ist das Skelett eines größeren Organismus relativ schwerer als das eines kleineren Organismus. Natürlich ist es offensichtlich, dass schwerere Organismen schwerere Skelette benötigen. Aber ist es auch klar, dass schwerere Organismen überproportional schwerere Skelette benötigen? Wie also funktioniert die Beziehung? Betrachten wir die folgenden Daten:
- Ein 10 kg schwerer Organismus braucht vielleicht ein 0,75 kg schweres Skelett,
- ein 60 kg schwerer Organismus braucht vielleicht ein 5,3 kg schweres Skelett, und
- ein 110 kg schwerer Organismus braucht vielleicht ein 10,2 kg schweres Skelett.
Wie man bei der Betrachtung dieser Zahlen sehen kann, brauchen schwerere Körper relativ kräftigere Skelette, um sie zu tragen. Es gibt keine konstante Zunahme der Skelettmasse pro 50 kg mehr Körpermasse; die Skelettmasse nimmt überproportional zur Körpermasse zu.
Allometrische Skalierungsgesetze werden aus empirischen Daten abgeleitet. Wissenschaftler, die an der Aufdeckung dieser Gesetze interessiert sind, messen ein gemeinsames Attribut, wie z. B. die Körpermasse und die Gehirngröße erwachsener Säugetiere, bei vielen Taxa. Die Daten werden dann nach Beziehungen durchsucht, aus denen Gleichungen abgeleitet werden.
Allometrisches Wachstum
Allometrische Skalierungsbeziehungen können mit einer allometrischen Gleichung der Form beschrieben werden, f (s) = c s d,
(1) wobei c und d Konstanten sind. Die Variablen s und f (s) stehen für die beiden verschiedenen Attribute, die wir vergleichen (z. B. Körpermasse und Skelettmasse). Diese Gleichung kann verwendet werden, um die Beziehung zwischen zwei Attributen zu verstehen. Konkret bestimmt die Konstante d in diesem Modell die relativen Wachstumsraten der beiden durch s und f (s) dargestellten Attribute. Der Einfachheit halber betrachten wir nur den Fall d > 0.
- Wenn d > 1 ist, nimmt das durch f (s) dargestellte Attribut überproportional zu dem durch s dargestellten Attribut zu. Wenn s beispielsweise die Körpergröße darstellt, dann ist f (s) für größere Körper relativ größer als für kleinere Körper.
- Wenn 0 < d < 1, dann steigt das Attribut f (s) mit dem Attribut s, aber langsamer als die Proportionalität.
- Wenn d = 1, dann ändert sich das Attribut f (s) als konstanter Anteil des Attributs s. Dieser Sonderfall wird Isometrie und nicht Allometrie genannt.
Verwendung allometrischer Gleichungen
Beachten Sie, dass (1) eine Potenzfunktion und keine Exponentialgleichung ist (die Konstante d steht an der Exponentenposition statt der Variablen s). Im Gegensatz zu anderen Anwendungen, bei denen wir Logarithmen zur Lösung der Gleichung benötigen, verwenden wir hier Logarithmen, um die allometrische Gleichung in eine lineare Gleichung zu vereinfachen.
So funktioniert es
Wir schreiben (1) als logarithmische Gleichung der Form
log (f (s)) = log (c s d) um. (2) Dann können wir unter Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen (2) wie folgt umordnen, = log c + log (s d), = log c + d log s. (3) Wenn wir die Variablen ändern, indem wir sie lassen,
= log f, = log c, = d, = log s. Sie können sehen, dass (3) tatsächlich die lineare Gleichung = mx + b ist. (4) Die Umformung einer allometrischen Gleichung in ihr logarithmisches Äquivalent führt also zu einer linearen Gleichung.
Warum die Mühe?
Durch die Umformung der allometrischen Gleichung in eine logarithmische Gleichung lassen sich die Werte der Konstanten c und d aus einer Reihe von Versuchsdaten leicht berechnen. Wenn man log s auf der x-Achse und log f auf der y-Achse aufträgt, erhält man eine Linie mit der Steigung d und dem y-Achsenabschnitt log c. Zur Erinnerung: Die Variablen x und y befinden sich tatsächlich auf einer logarithmischen Skala (da x = log s und y = log f). Wir nennen eine solche Darstellung eine log-logarithmische Darstellung.
Da allometrische Gleichungen aus empirischen Daten abgeleitet werden, sollte man bei Daten, die um eine Linie der besten Anpassung in der xy-Ebene einer log-log-Darstellung verstreut sind, vorsichtig sein. Geringe Abweichungen von der Anpassungsgeraden sind in Wirklichkeit größer, als sie erscheinen mögen. Da sich die Variablen x und y auf der logarithmischen Skala befinden, entsprechen lineare Änderungen der Ausgangsvariablen (x und y) exponentiellen Änderungen der Eingangsvariablen (f (s) und s). Da wir letztlich an einer Beziehung zwischen f und s interessiert sind, müssen wir uns auch mit kleinen Abweichungen von einer Linie der besten Anpassung befassen.
Wenden wir uns nun wieder unserer Fiddler-Krabbe als konkretes Beispiel zu.