Hauptträgheitsmomente
Wie in Trägheitstensor gezeigt, wird der Drehimpuls eines starren Körpers in Bezug auf den Ursprung des lokalen Bezugssystems ausgedrückt als
Wenn zufällig, alle Außendiagonalterme des in gezeigten Trägheitstensors zu Null werden, kann weiter vereinfacht werden zu
Dies kann geschehen, wenn man die Achsen des lokalen Bezugssystems so ausrichtet, dass sich die Masse des Körpers gleichmäßig um die Achsen verteilt, so dass die Trägheitsproduktterme alle verschwinden. Die von Null verschiedenen Diagonalterme des in dargestellten Trägheitstensors werden als Hauptträgheitsmomente des Objekts bezeichnet.
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Hauptachsen
Wie in gezeigt, gibt es keine Garantie dafür, dass der Drehimpulsvektor die gleiche Richtung hat wie der Winkelgeschwindigkeitsvektor. Daraus ergibt sich ein Problem: Wenn sich die Richtung des Drehimpulses ständig ändert, entwickelt sich ein Drehmoment, das schließlich die Drehachse zur Bewegung zwingt. Dies ist der Hauptgrund für Verschleiß und Vibrationen in Maschinen mit rotierenden Teilen.
In einigen Sonderfällen kann jedoch die folgende Bedingung gelten, so dass der Drehimpuls- und der Geschwindigkeitsvektor die gleiche Richtung aufweisen:
wobei I = das äquivalente skalare Trägheitsmoment des Körpers um die Drehachse. Jede Drehachse des Körpers, die ausreicht, wird als Hauptachse bezeichnet. Es gibt eine Gruppe von Hauptachsen (theoretisch 3) in einem dreidimensionalen Körper. Zum Beispiel gibt es drei senkrechte Hauptachsen für das in Abbildung 1 dargestellte System.
Abbildung 1
besagt im Wesentlichen, dass der Trägheitstensor durch ein einziges skalares Trägheitsmoment ersetzt werden kann, wenn die Drehachse eine Hauptachse ist.
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Diagonalisierung des Trägheitstensors
Von :
Oder kann vereinfacht werden zu
wobei 1 = die Identitätsmatrix. I in wird als Eigenwert bezeichnet, während w der Eigenvektor ist. ist die Eigenwertgleichung.
Um eine nichttriviale Lösung zu erhalten, sollte die Determinante der Koeffizienten verschwinden:
führt zu der säkularen Gleichung, die im Grunde kubisch ist, also drei Wurzeln (Eigenwerte) liefert: I1, I2 & I3. Jede Wurzel entspricht einem Trägheitsmoment um eine Hauptachse. In der Tat sind die drei Wurzeln die Hauptträgheitsmomente des starren Körpers, der in :
eingeführt wurde. Es sei
mit n = der Einheitsvektor der Hauptachse, also,
aus & :
Für jeden Eigenwert kann man das entsprechende nx, ny & nz aus & berechnen. Dabei ist auf die Richtung des Eigenvektors zu achten.
In der Bewegungsanalyse können die Hauptträgheitsmomente aus den Trägheitseigenschaften der Körpersegmente gewonnen werden. I1, I2 & I3 eines jeden Segments sind im Allgemeinen bekannt. Die Daten liegen in Form von Trägheitsradiusverhältnissen (Verhältnis von Trägheitsradius zur Segmentlänge), Regressionsgleichungen und Skalierungskoeffizienten vor. Man kann auch die Hauptträgheitsmomente der Körpersegmente durch Modellierung mit einigen geometrischen Formen berechnen. Siehe Individualisierte BSP-Schätzung für weitere Einzelheiten.
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