Variationsrechnung
Der größte Teil des späten 17. und ein guter Teil des frühen 18. Jahrhunderts wurde von den Arbeiten der Schüler von Newton und Leibniz eingenommen, die ihre Ideen über die Infinitesimalrechnung zur Lösung einer Vielzahl von Problemen in der Physik, Astronomie und im Ingenieurwesen anwendeten.
Die Zeit wurde jedoch von einer Familie dominiert, den Bernoullis aus Basel in der Schweiz, die zwei oder drei Generationen außergewöhnlicher Mathematiker hervorbrachte, insbesondere die Brüder Jacob und Johann. Sie waren weitgehend verantwortlich für die Weiterentwicklung der Infinitesimalrechnung von Leibniz – insbesondere durch die Verallgemeinerung und Erweiterung der als „Variationsrechnung“ bekannten Kalkulation – sowie für Pascals und Fermats Wahrscheinlichkeits- und Zahlentheorie.
Basel war auch die Heimatstadt des größten Mathematikers des 18. Jahrhunderts, Leonhard Euler, obwohl Euler, zum Teil aufgrund der Schwierigkeiten, sich in einer von der Familie Bernoulli dominierten Stadt zurechtzufinden, die meiste Zeit im Ausland verbrachte, in Deutschland und St. Petersburg, Russland. Er zeichnete sich in allen Bereichen der Mathematik aus, von der Geometrie über die Infinitesimalrechnung, die Trigonometrie und die Algebra bis hin zur Zahlentheorie, und war in der Lage, unerwartete Verbindungen zwischen den verschiedenen Bereichen herzustellen. Er bewies zahlreiche Theoreme, entwickelte neue Methoden, standardisierte die mathematische Notation und schrieb während seines langen akademischen Lebens viele einflussreiche Lehrbücher.
In einem Brief an Euler schlug der deutsche Mathematiker Christian Goldbach 1742 die Goldbach-Vermutung vor, die besagt, dass jede gerade ganze Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen ausgedrückt werden kann (z. B.z. B. 4 = 2 + 2; 8 = 3 + 5; 14 = 3 + 11 = 7 + 7; usw.) oder, in einer anderen gleichwertigen Version, jede ganze Zahl größer als 5 kann als Summe von drei Primzahlen ausgedrückt werden. Eine weitere Version ist die so genannte „schwache“ Goldbach-Vermutung, die besagt, dass alle ungeraden Zahlen größer als 7 die Summe dreier ungerader Primzahlen sind. Sie gehört zu den ältesten ungelösten Problemen der Zahlentheorie (und der gesamten Mathematik), obwohl die schwache Form der Vermutung einer Lösung näher zu sein scheint als die starke. Goldbach bewies auch andere Theoreme in der Zahlentheorie wie das Goldbach-Euler-Theorem über perfekte Potenzen.
Trotz der Dominanz Eulers und der Bernoullis in der Mathematik des 18. Jahrhunderts stammten viele andere wichtige Mathematiker aus Frankreich. In der ersten Hälfte des Jahrhunderts ist Abraham de Moivre vielleicht am besten für seine Formel (cosx + isinx)n = cos(nx) + isin(nx) bekannt, die komplexe Zahlen und Trigonometrie miteinander verbindet. Aber er verallgemeinerte auch Newtons berühmten Binomialsatz in den Multinomialsatz, leistete Pionierarbeit bei der Entwicklung der analytischen Geometrie, und seine Arbeiten über die Normalverteilung (er gab die erste Formel für die Normalverteilungskurve an) und die Wahrscheinlichkeitstheorie waren von großer Bedeutung.
Frankreich wurde gegen Ende des Jahrhunderts noch bedeutender, und eine Handvoll französischer Mathematiker des späten 18. Jahrhunderts verdienen an dieser Stelle besondere Erwähnung, beginnend mit den „drei L’s“.
Joseph Louis Lagrange arbeitete zusammen mit Euler an einer wichtigen gemeinsamen Arbeit über die Variationsrechnung, aber er leistete auch Beiträge zu Differentialgleichungen und zur Zahlentheorie, und ihm wird gewöhnlich die Theorie der Gruppen zugeschrieben, die in der Mathematik des 19. und 20. Jahrhunderts so wichtig werden sollte. Nach ihm ist ein frühes Theorem der Gruppentheorie benannt, das besagt, dass die Anzahl der Elemente jeder Untergruppe einer endlichen Gruppe sich gleichmäßig durch die Anzahl der Elemente der ursprünglichen endlichen Gruppe teilt.
Lagranges Mittelwertsatz
Lagranges Mittelwertsatz
Lagrange wird auch der Satz vom Vierquadrat zugeschrieben, dass jede natürliche Zahl als Summe von vier Quadraten dargestellt werden kann (z.z.B. 3 = 12 + 12 + 12 + 02; 31 = 52 + 22 + 12 + 12; 310 = 172 + 42 + 22 + 12; usw.), sowie ein weiteres Theorem, das verwirrenderweise auch als Lagranges Theorem oder Lagranges Mittelwertsatz bekannt ist, das besagt, dass es bei einem Abschnitt einer glatten kontinuierlichen (differenzierbaren) Kurve mindestens einen Punkt auf diesem Abschnitt gibt, an dem die Ableitung (oder Steigung) der Kurve gleich (oder parallel) zur durchschnittlichen (oder mittleren) Ableitung des Abschnitts ist. Lagranges Abhandlung über die analytische Mechanik von 1788 war die umfassendste Behandlung der klassischen Mechanik seit Newton und bildete eine Grundlage für die Entwicklung der mathematischen Physik im 19. Jahrhundert.
Pierre-Simon Laplace, der manchmal als „französischer Newton“ bezeichnet wird, war ein bedeutender Mathematiker und Astronom, dessen monumentales Werk „Celestial Mechanics“ die geometrische Untersuchung der klassischen Mechanik in eine auf Kalkül basierende übersetzte, was eine viel breitere Palette von Problemen eröffnete. Obwohl er sich in seinen frühen Arbeiten hauptsächlich mit Differentialgleichungen und endlichen Differenzen beschäftigte, begann er bereits in den 1770er Jahren, über die mathematischen und philosophischen Konzepte der Wahrscheinlichkeit und Statistik nachzudenken, und er entwickelte unabhängig von Thomas Bayes seine eigene Version der so genannten Bayes’schen Interpretation der Wahrscheinlichkeit. Laplace ist bekannt für seinen Glauben an einen vollständigen wissenschaftlichen Determinismus, und er vertrat die Ansicht, dass es eine Reihe von wissenschaftlichen Gesetzen geben sollte, die es uns – zumindest im Prinzip – ermöglichen würden, alles über das Universum und seine Funktionsweise vorherzusagen.
Die ersten sechs Legendre-Polynome
Die ersten sechs Legendre-Polynome (Lösungen der Legendre’schen Differentialgleichung)
Adrien-Marie Legendre leistete auch wichtige Beiträge zur Statistik, Zahlentheorie, abstrakte Algebra und mathematische Analyse im späten 18. und frühen 19. Jahrhundert, obwohl viele seiner Arbeiten (wie die Methode der kleinsten Quadrate zur Kurvenanpassung und linearen Regression, das quadratische Reziprozitätsgesetz, der Primzahlensatz und seine Arbeiten über elliptische Funktionen) erst durch andere, insbesondere Gauß, zur Perfektion – oder zumindest zur allgemeinen Kenntnis – gebracht wurden. Seine „Elemente der Geometrie“, eine Neubearbeitung von Euklids Buch, wurden für fast 100 Jahre zum führenden Geometrie-Lehrbuch, und seine extrem genaue Messung des Erdmeridians inspirierte die Schaffung und fast universelle Annahme des metrischen Systems der Maße und Gewichte.
Ein weiterer Franzose, Gaspard Monge, war der Erfinder der Darstellenden Geometrie, einer ausgeklügelten Methode zur Darstellung dreidimensionaler Objekte durch Projektionen auf die zweidimensionale Ebene unter Verwendung einer bestimmten Reihe von Verfahren, eine Technik, die später in den Bereichen Ingenieurwesen, Architektur und Design wichtig werden sollte. Seine orthografische Projektion wurde zur grafischen Methode, die in fast allen modernen mechanischen Zeichnungen verwendet wird.
Nach vielen Jahrhunderten immer genauerer Annäherungen erbrachte Johann Lambert, ein Schweizer Mathematiker und bekannter Astronom, 1761 schließlich den strengen Beweis, dass π irrational ist, d. h. nicht als einfacher Bruch mit nur ganzen Zahlen oder als abschließende oder wiederholende Dezimalzahl ausgedrückt werden kann. Damit war endgültig bewiesen, dass es niemals möglich sein würde, π genau zu berechnen, obwohl die Besessenheit, immer genauere Näherungen zu erhalten, bis heute anhält. (Mehr als hundert Jahre später, im Jahr 1882, bewies Ferdinand von Lindemann, dass π auch transzendental ist, d. h. es kann nicht die Wurzel einer Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten sein). Lambert war auch der erste, der hyperbolische Funktionen in die Trigonometrie einführte und einige vorausschauende Vermutungen über den nichteuklidischen Raum und die Eigenschaften hyperbolischer Dreiecke anstellte.
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