nLab Yang-Mills-Theorie

Idee

Die YangâMills-Theorie ist eine Eichtheorie auf einer gegebenen 4-dimensionalen (pseudo-)Riemannschen Mannigfaltigkeit XX, deren Feld das YangâMills-Feld â ein Zyklus ââH(X,B¯U(n))\nabla \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}U(n)) in differentieller nichtabelianischer Kohomologie, dargestellt durch ein Vektorbündel mit Verbindung â und dessen Wirkungsfunktional ist

für

• F âF_\nabla die Feldstärke, lokal die Krümmung ð²(n)\mathfrak{u}(n)-Lie-Algebra-bewertete Differentialform auf XX ( mit ð²(n)\mathfrak{u}(n) die Lie-Algebra der unitären Gruppe U(n)U(n));

• â\star der Hodge-Sternoperator der Metrik gg;

• 1g 2\frac{1}{g^2} die Yang-Mills-Kopplungskonstante und θ\theta der Theta-Winkel, einige reelle Zahlen (siehe unter S-Dualität).

(Siehe dieses Beispiel unter Eine erste Idee der Quantenfeldtheorie.)

Eigenschaften

Klassifikation von Lösungen

• Narasimhan-Seshadri-Theorem

• Donaldson-Uhlenbeck-Yau-Theorem

Quantisierung

Trotz seiner fundamentalen Rolle im Standardmodell der Teilchenphysik, sind verschiedene Details der Quantisierung der Yang-Mills-Theorie noch offen. Siehe unter Quantisierung der Yang-Mills-Theorie.

Anwendungen

Alle Eichfelder im Standardmodell der Teilchenphysik sowie in GUT-Modellen sind YangâMills-Felder.

Die Materiefelder im Standardmodell sind unter dem Yang-Mills-Feld geladene Spinoren. Siehe

• Spinoren in der Yang-Mills-Theorie

Geschichte

Von Jaffe-Witten:

In den 1950er Jahren, als die YangâMills-Theorie entdeckt wurde, war bereits bekannt, dass die Quantenversion der Maxwell-Theorie â bekannt als Quantenelektrodynamik oder QED â eine extrem genaue Darstellung der elektromagnetischen Felder und Kräfte liefert. Tatsächlich verbesserte die QED die Genauigkeit bestimmter früherer Vorhersagen der Quantentheorie um mehrere Größenordnungen und sagte auch neue Aufspaltungen von Energieniveaus voraus.

Es war also naheliegend zu fragen, ob die nichtabelsche Eichtheorie andere Kräfte in der Natur beschreibt, insbesondere die schwache Kraft (die unter anderem für bestimmte Formen der Radioaktivität verantwortlich ist) und die starke oder Kernkraft (die unter anderem für die Bindung von Protonen und Neutronen in Kernen verantwortlich ist). Die Masselosigkeit der klassischen YangâMills-Wellen war ein ernsthaftes Hindernis für die Anwendung der YangâMills-Theorie auf die anderen Kräfte, denn die schwache und die Kernkraft haben eine kurze Reichweite und viele der Teilchen sind massiv. Daher schienen diese Phänomene nicht mit weitreichenden Feldern verbunden zu sein, die masselose Teilchen beschreiben.

In den 1960er und 1970er Jahren überwanden die Physiker diese Hindernisse für die physikalische Interpretation der nichtabelschen Eichtheorie. Im Fall der schwachen Kraft wurde dies durch die elektroschwache Theorie von GlashowâSalamâWeinberg mit der Eichgruppe H=H = SU(2) Ã\times U(1) erreicht. Durch die Ausarbeitung der Theorie mit einem zusätzlichen Higgs-Feld konnte man die masselose Natur der klassischen YangâMills-Wellen vermeiden. Das Higgs-Feld transformiert in eine zweidimensionale Darstellung von HH; sein von Null verschiedener und annähernd konstanter Wert im Vakuumzustand reduziert die Strukturgruppe von HH auf eine U(1)U(1)-Untergruppe (diagonal eingebettet in SU(2)ÃU(1)SU(2) \times U(1). Diese Theorie beschreibt sowohl die elektromagnetischen als auch die schwachen Kräfte in einer mehr oder weniger einheitlichen Weise; wegen der Reduktion der Strukturgruppe auf U(1)U(1) sind die Langstreckenfelder nur die des Elektromagnetismus, in Übereinstimmung mit dem, was wir in der Natur sehen.

Die Lösung des Problems der masselosen YangâMills-Felder für die starken Wechselwirkungen hat eine völlig andere Natur. Diese Lösung kam nicht durch das Hinzufügen von Feldern zur YangâMills-Theorie, sondern durch die Entdeckung einer bemerkenswerten Eigenschaft der Quanten-YangâMills-Theorie selbst, d.h. der Quantentheorie, deren klassische Lagrange gegeben wurde ]. Diese Eigenschaft wird âasymptotische Freiheitâ genannt. Grob gesagt bedeutet dies, dass das Feld bei kurzen Entfernungen ein Quantenverhalten zeigt, das seinem klassischen Verhalten sehr ähnlich ist; bei großen Entfernungen ist die klassische Theorie jedoch kein guter Anhaltspunkt mehr für das Quantenverhalten des Feldes.

Asymptotische Freiheit, zusammen mit anderen experimentellen und theoretischen Entdeckungen, die in den 1960er und 1970er Jahren gemacht wurden, ermöglichte es, die Kernkraft durch eine nicht-abelsche Eichtheorie zu beschreiben, in der die Eichgruppe G=G = SU(3) ist. Die zusÃ?tzlichen Felder beschreiben auf klassischer Ebene die Quarks, Objekte mit Spin 1/2, die dem Elektron Ã?hnlich sind, aber in der fundamentalen Darstellung von SU(3)SU(3) transformiert werden. Die nicht-abelsche Eichtheorie der starken Kraft wird Quantenchromodynamik (QCD) genannt.

Die Verwendung der QCD zur Beschreibung der starken Kraft wurde durch eine ganze Reihe von experimentellen und theoretischen Entdeckungen in den 1960er und 1970er Jahren motiviert, die die Symmetrien und das Hochenergieverhalten der starken Wechselwirkungen betrafen. Damit die QCD die starke Kraft erfolgreich beschreiben kann, muss sie auf Quantenebene die folgenden drei Eigenschaften aufweisen, von denen sich jede dramatisch vom Verhalten der klassischen Theorie unterscheidet:

(1) Sie muss eine Masselücke haben, d.h. es muss eine Konstante Î>0\Delta \gt 0 geben, so dass jede Anregung des Vakuums eine Energie von mindestens Î\Delta hat.

(2) Sie muss âquark confinementâ haben, d.h. obwohl die Theorie durch elementare Felder, wie die Quarkfelder, beschrieben wird, die sich nicht-trivial unter SU(3) transformieren, sind die physikalischen Teilchenzustände âwie Proton, Neutron und Pion âsind SU(3)-invariant.

(3) Es muss eine âchirale Symmetriebrechungâ geben, was bedeutet, dass das Vakuum nur unter einer bestimmten Untergruppe der vollständigen Symmetriegruppe, die auf die Quarkfelder wirkt, potentiell invariant ist (im Grenzfall, dass die Quarkmassen verschwinden).

Der erste Punkt ist notwendig, um zu erklären, warum die Kernkraft stark, aber kurzreichweitig ist; der zweite ist notwendig, um zu erklären, warum wir niemals einzelne Quarks sehen; und der dritte ist notwendig, um die âcurrent algebraâ-Theorie der weichen Pionen zu erklären, die in den 1960er Jahren entwickelt wurde.

Beide Experimente â da die QCD zahlreiche Erfolge in der Konfrontation mit Experimenten hat â und Computersimulationen, die seit den späten 1970er Jahren durchgeführt wurden, haben stark ermutigt, dass die QCD die oben genannten Eigenschaften hat. Diese Eigenschaften lassen sich bis zu einem gewissen Grad in theoretischen Berechnungen erkennen, die in einer Reihe von stark vereinfachten Modellen (wie der stark gekoppelten Gittereichtheorie) durchgeführt wurden. Aber sie sind theoretisch nicht vollständig verstanden; es gibt keine überzeugende, ob nun mathematisch vollständige, theoretische Berechnung, die eine der drei Eigenschaften in der QCD zeigt, im Gegensatz zu einer stark vereinfachten Trunkierung der QCD.

Dies ist das Problem der nicht-perturbativen Quantisierung der Yang-Mills-Theorie. Siehe dort für mehr.

• D=5 Yang-Mills-Theorie

• massive Yang-Mills-Theorie

• selbst-duale Yang-Mills-Theorie

• super Yang-Mills-Theorie

• minimale Kopplung

• ‚t Hooft Doppellinien-Notation

• Einstein-Yang-Mills-Theorie

  • Einstein-Maxwell-Theorie

  • Einstein-Yang-Mills-Dirac Theorie

  • Einstein-Maxwell-Yang-Mills-Dirac-Higgs Theorie

• Yang-Mills-Gleichung

• Standardmodell der Teilchenphysik

  • Elektromagnetismus

  • Spinoren in Yang-Mills-Theorie

  • QED, QCD,

  • elektroschwaches Feld

• Yang-Monopol, ‚t Hooft-Polyakov-Monopol

• S-Dualität, Montonen-Olive-Dualität

  • elektrisch-magnetische Dualität

  • geometrische Langlands-Dualität

• Chern-Simons-Theorie

• Yang-Mills-Instanton

  • Konfinement

• asymptotische Freiheit

Allgemeine

Yang-Mills-Theorie ist benannt nach dem Artikel

• Chen Ning Yang, Robert Mills, Erhaltung des isotopischen Spins und isotopische Ebeneinvarianz. Physical Review 96 (1): 191â 195. (1954) (web)

, der als erster das Prinzip des Elektromagnetismus auf eine nicht-abalische Eichgruppe verallgemeinerte. Dies wurde als Formulierung der QCD und der schwachen Wechselwirkung (erst) akzeptiert, nachdem die spontane Symmetriebrechung (der Higgs-Mechanismus) in den 1960er Jahren verstanden wurde.

Moderne Übersichten über die Grundlagen

• Arthur Jaffe, Edward Witten, Quantum Yang-Mills theory (pdf)

• Simon Donaldson, Yang-Mills theory and geometry (2005) pdf

• José Figueroa-O’Farrill, Eichtheorie

• Karen Uhlenbeck, Notizen von Laura Fredrickson, Equations of Gauge Theory, Vortrag an der Temple University, 2012 (pdf, pdf)

• Simon Donaldson, Gauge Theory: Mathematical Applications, Encyclopedia of Mathematical Physics, Academic Press, Seiten 468-481, 2006 (doi:10.1016/B0-12-512666-2/00075-4, Autor pdf, pdf)

• Mikio Nakahara, Abschnitt 10.5.4 von: Geometry, Topology and Physics, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)

Siehe auch die Referenzen bei QCD, Eichtheorie, Yang-Mills-Monopol, Yang-Mills-Instanton und bei Super-Yang-Mills-Theorie.

Die klassische Diskussion der YM-Theorie über Riemannschen Flächen (die eng mit der Chern-Simons-Theorie verwandt ist, siehe auch unter Moduliraum flacher Verbindungen) findet sich in

• Michael Atiyah, Raoul Bott, The Yang-Mills equations over Riemann surfaces, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences

  Vol. 308, No. 1505 (Mar. 17, 1983), pp. 523-615 (jstor, lighning summary)

die in den Vorlesungsunterlagen

• von Jonathan EvansAspects of Yang-Mills theory, (web)

Für die Beziehung zur Floer-Homologie der Instanten siehe auch

• Simon Donaldson, Floer homology groups in Yang-Mills theory Cambridge University Press (2002) (pdf)

Für die Beziehung zu den Tamagawa-Zahlen siehe

• Aravind Asok, Brent Doran, Frances Kirwan, Yang-Mills theory and Tamagawa numbers (arXiv:0801.4733)

Klassische Lösungen

Wu und Yang (1968) fanden eine statische Lösung für die quellenlosen SU(2)SU(2) Yang-Mills-Gleichungen. Zu den neueren Referenzen gehören

• J. A. O. Marinho, O. Oliveira, B. V. Carlson, T. Frederico, Revisiting the Wu-Yang Monopole: classical solutions and conformal invariance

Es gibt eine alte Übersicht,

• Alfred Actor, Classical solutions of SU(2)SU(2) YangâMills theories, Rev. Mod. Phys. 51, 461â525 (1979),

die einige der bekannten Lösungen der SU(2)SU(2)-Eichtheorie im Minkowski-Raum (Monopole, ebene Wellen, usw.) und im euklidischen Raum (Instantonen und ihre Vettern) enthält. Für allgemeine Eichgruppen kann man Lösungen durch Einbettung von SU(2)SU(2)âs erhalten.

Für Yang-Mills-Instantonen ist die allgemeinste Lösung bekannt, zuerst ausgearbeitet von

• Michael Atiyah, Nigel Hitchin, Vladimir Drinfeld, Yuri Manin, Construction of instantons, Physics Letters 65 A, 3, 185â187 (1978) pdf

für die klassischen Gruppen SU, SO , Sp, und dann von

• C. Bernard, N. Christ, A. Guth, E. Weinberg, Pseudoparticle Parameters for Arbitrary Gauge Groups, Phys. Rev. D16, 2977 (1977)

für außergewöhnliche Lie-Gruppen. Die neueste Wendung in der Geschichte der Yang-Mills-Instantone ist die Konstruktion von Lösungen mit nichttrivialer Holonomie:

• Thomas C. Kraan, Pierre van Baal, Periodic instantons with nontrivial holonomy, Nucl.Phys. B533 (1998) 627-659, hep-th/9805168

Es gibt eine schöne Reihe von Vorlesungsunterlagen

• David Tong, TASI Lectures on Solitons (hep-th/0509216),

über topologische Lösungen mit verschiedenen Ko-Dimensionen (Instantonen, Monopole, Wirbel, Domänenwände). Man beachte jedoch, dass diese Lösungen außer Instantonen typischerweise zusätzliche Skalare und gebrochene U(1)âs erfordern, wie man sie in Super-Yang-Mills-Theorien finden kann.

Ein Teil des hier verwendeten Materials stammt aus

• TP.SE, Which exact solutions of the classical Yang-Mills equations are known?

Ein weiteres Modell mit Yang-Mills-Feldern wurde von Curci und Ferrari vorgeschlagen, siehe Curci-Ferrari-Modell.

Siehe auch

• DispersiveWiki, Yang-Mills-Gleichungen