Eines der grundlegendsten Konzepte der Physik ist die Energie. Es ist schwierig zu definieren, was Energie eigentlich ist, aber eine nützliche Definition könnte lauten: „Ein Maß für das Ausmaß der Veränderung, die in einem System stattfindet, oder das Potenzial für eine Veränderung, die in dem System stattfindet“.
Grob gesagt, kann Energie in zwei Formen unterteilt werden: kinetische und potentielle Energie. Kinetische Energie ist die Energie der Bewegung oder Veränderung. Die potentielle Energie ist die Energie, die ein System hat, weil es eine Veränderung erfahren kann. Ein konkretes Beispiel: Ein fallendes Buch hat kinetische Energie, weil sich seine Position im Raum ändert (es bewegt sich nach unten). Ein Buch, das auf einem Regal liegt, hat in Bezug auf das Regal keine potenzielle Energie, da es in Bezug auf das Regal eine Höhe von null Metern hat. Wird das Buch jedoch auf eine gewisse Höhe über das Regal gehoben, dann hat es eine potentielle Energie, die proportional zu der Höhe ist, in der es sich über dem Regal befindet.
Ein Objekt kann sowohl kinetische als auch potentielle Energie zur gleichen Zeit haben. Ein Objekt, das fällt, aber den Boden noch nicht erreicht hat, hat zum Beispiel kinetische Energie, weil es sich nach unten bewegt, und potenzielle Energie, weil es sich noch weiter nach unten bewegen kann, als es bereits getan hat. Die Summe der potentiellen und kinetischen Energie eines Objekts wird als mechanische Energie des Objekts bezeichnet.
Wenn ein Objekt fällt, nimmt seine potentielle Energie ab, während seine kinetische Energie zunimmt. Die Abnahme der potentiellen Energie ist genau gleich der Zunahme der kinetischen Energie.
Ein weiterer wichtiger Begriff ist die Arbeit. Ähnlich wie wir die Energie definiert haben, können wir die Arbeit definieren als „ein Maß für die Veränderung, die durch die Anwendung von Energie in einem System bewirkt wird“. Sie können zum Beispiel Arbeit an einem Buch verrichten, indem Sie es vom Boden aufheben und in ein Regal stellen. Dabei haben Sie die potenzielle Energie des Buches erhöht (indem Sie sein Potenzial, auf den Boden zu fallen, erhöht haben). Die Menge an potenzieller Energie, die du dem Buch „gegeben“ hast, ist genau gleich der Menge an Arbeit, die du verrichtest, indem du es auf das Regal hebst.
Mathematisch ist die Energie jedoch sehr einfach zu definieren. Kinetische Energie ist 1/2 m v^2. Potentielle Energie ist ein bisschen kniffliger. Nehmen wir an, wir haben eine Kraft, die als Gradient geschrieben werden kann (eine dreidimensionale Ableitung. Wenn Sie nicht wissen, was das ist, tun Sie so, als sei es eine normale Ableitung, und Sie sollten in der Lage sein, die Dinge in einer Dimension zu verstehen.) einer Funktion, ϕ {\displaystyle \phi } 
Wir können kurz und bündig das folgende Prinzip formulieren, das für geschlossene Systeme gilt (d.h. wenn es keine Wechselwirkungen mit Dingen außerhalb des Systems gibt):
Bei allen physikalischen Prozessen, die in geschlossenen Systemen ablaufen, ist der Betrag der Änderung der kinetischen Energie gleich dem Betrag der Änderung der potentiellen Energie. Nimmt die kinetische Energie zu, so nimmt die potentielle Energie ab, und umgekehrt.
Betrachten wir offene Systeme (d.h. wenn es Wechselwirkungen mit Dingen außerhalb des Systems gibt), so ist es möglich, dem System Energie zuzuführen (indem man Arbeit an ihm verrichtet) oder dem System Energie zu entziehen (indem man das System Arbeit verrichten lässt). In diesem Fall gilt die folgende Regel:
Die Gesamtenergie eines Systems (kinetische plus potentielle) nimmt um die Arbeit zu, die am System verrichtet wird, und nimmt um die Arbeit ab, die das System verrichtet.
Dies führt uns dazu, die Erhaltung der Energie und anderer Größen zu betrachten.
In vielen Fällen gilt: „Man bekommt heraus, was man hineingibt“.
Wenn man 3 Paar Socken in einen leeren Trockner gibt, braucht man nicht die genaue Konfiguration des Trockners, das Temperaturprofil oder andere Dinge zu analysieren, um herauszufinden, wie viele Socken aus dem Trockner herauskommen werden. Es werden 3 Paar Socken herauskommen.
Ein Erhaltungssatz besagt in seiner allgemeinsten Form einfach, dass sich die Gesamtmenge einer bestimmten Menge in einem geschlossenen System nicht ändert. Im obigen Beispiel wäre die konservierte Menge die Socken, das System wäre der Trockner, und das System ist geschlossen, solange niemand Socken in den Trockner gibt oder aus ihm nimmt. Wenn das System nicht geschlossen ist, können wir immer ein größeres System betrachten, das geschlossen ist und das System umfasst, das wir ursprünglich betrachtet haben (z.B. das Haus, in dem sich der Trockner befindet), auch wenn uns das im Extremfall dazu bringen kann, die Anzahl der Socken (oder was auch immer) im gesamten Universum zu betrachten!
Erhaltungssätze helfen uns, Probleme schnell zu lösen, weil wir wissen, dass wir am Ende eines Prozesses die gleiche Menge der erhaltenen Menge haben werden wie am Anfang. Die grundlegenden Erhaltungssätze sind:
- Erhaltung der Masse
- Erhaltung der Energie
- Erhaltung des Impulses
- Erhaltung des Drehimpulses
- Erhaltung der Ladung
Um auf unser obiges Beispiel zurückzukommen, ist die „Erhaltung der Socken“ in der Tat eine Folge des Massenerhaltungssatzes.
Es sei darauf hingewiesen, dass im Rahmen von Kernreaktionen Energie in Masse umgewandelt werden kann und umgekehrt. Bei solchen Reaktionen ändert sich die Gesamtmenge von Masse und Energie nicht. Daher werden die ersten beiden dieser Erhaltungssätze oft als ein einziger Satz der Erhaltung von Masse und Energie behandelt
Kombiniert man diese Gesetze mit den Newtonschen Gesetzen, so erhält man andere abgeleitete erhaltene Größen wie
- die Erhaltung des Drehimpulses
In einem geschlossenen System bleibt die Gesamtenergiemenge immer erhalten. Dies bedeutet, dass die Summe der n Energieänderungen insgesamt 0 beträgt.
∑ k = 1 n Δ E k = 0 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\Delta \mathbf {E} _{k}=0}
Ein Beispiel für eine solche Energieänderung ist das Fallenlassen eines Balls aus einer Entfernung über dem Boden. Die Energie des Balles ändert sich beim Fallen von potentieller Energie in kinetische Energie.
U g = m g h K = 1 2 m v 2 {\displaystyle {\begin{matrix}U_{g}&=&m\mathbf {g} h\\K&=&{1 \über 2}m\mathbf {v} ^{2}\end{matrix}}}
Da dies die einzige Energieänderung in unserem System ist, nehmen wir ein einfaches physikalisches Problem und modellieren es, um es zu demonstrieren.
Ein Gegenstand der Masse 10kg wird aus einer Höhe von 3m fallen gelassen. Wie hoch ist seine Geschwindigkeit, wenn er sich 1m über dem Boden befindet?
Wir beginnen mit der Berechnung der potentiellen Energie, wenn sich der Gegenstand im Ausgangszustand befindet.
U g = m g h U g = 30 g g = 9,807 m s – 2 U g = 30 ⋅ 9,807 U g 3 = 294,21 J {\displaystyle {\begin{matrix}U_{g}&=&m\mathbf {g} h\\U_{g}&=&30\mathbf {g} \\\\mathbf {g} &=&9.807ms^{-2}\\U_{g}&=&30\cdot 9.807\\U_{g3}&=&294.21J\end{matrix}}}
Die potentielle Energie des Objekts in einer Höhe von 1m über dem Boden wird auf ähnliche Weise angegeben.
U g = m g h U g = 10 g U g = 10 ⋅ 9.807 U g 1 = 98.07 J {\displaystyle {\begin{matrix}U_{g}&=&m\mathbf {g} h\\U_{g}&=&10\mathbf {g} \\U_{g}&=&10\cdot 9.807\\U_{g1}&=&98.07J\end{matrix}}}
Die Änderung der potentiellen Energie ist somit gegeben
Δ U g = 294.21 – 98.07 = 196.14 J {\displaystyle {\begin{matrix}\Delta U_{g}&=&294.21-98.07=196.14J\end{matrix}}}
Die Änderung der potentiellen Energie ist per Definition gleich der Änderung der kinetischen Energie. Die anfängliche KE des Objekts ist 0, da es sich in Ruhe befindet. Daher ist die endgültige kinetische Energie gleich der Änderung der KE.
Δ U g = Δ K 196,14 J = 1 2 m v 2 196.14 = 5 v 2 {\displaystyle {\begin{matrix}\Delta U_{g}&=&\Delta K\\196.14J&=&{1 \über 2}m\mathbf {v} ^{2}\\196.14&=&5\mathbf {v} ^{2}\end{matrix}}}
Umrechnen nach v
196.14 5 = v 2 196.14 5 = v v ≈ 6.263 m s – 1 {\displaystyle {\begin{matrix}{196.14 \über 5}&=&\mathbf {v} ^{2}\\{\sqrt {196.14 \über 5}}&=&\mathbf {v} \\\mathbf {v} &\approx &6.263ms^{-1}\end{matrix}}
Wir können unsere Arbeit anhand der folgenden kinematischen Gleichung überprüfen.
v 2 = u 2 + 2 a s v 2 = 0 2 + 2 g s v = 2 g s v = 2 ⋅ 9,807 ⋅ 2 v ≈ 6,263 m s – 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {v} ^{2}&=&\mathbf {u} ^{2}+2\mathbf {as} \\\mathbf {v} ^{2}&=&0^{2}+2\mathbf {gs} \\\mathbf {v} &=&{\sqrt {2\mathbf {gs} }}\\\mathbf {v} &=&{\sqrt {2\cdot 9.807\cdot 2}\\mathbf {v} &\approx &6.263ms^{-1}\end{matrix}}}
Dies folgt daraus, dass wir die obige kinematische Gleichung tatsächlich mit Hilfe der Energiegleichungen erstellen können.
Δ U g = Δ K m g h = 1 2 m v 2 m g Δ h = 1 2 m Δ ( v 2 ) s = Δ h g s = 1 2 Δ ( v 2 ) 2 g s = v 2 – v 0 2 2 a s = v 2 – u 2 v 2 = u 2 + 2 a s {\displaystyle {\begin{matrix}\Delta U_{g}&=&\Delta K\\mathbf {g} h&=&{1 \über 2}m\mathbf {v} ^{2}\m\mathbf {g} \Delta h&=&{1 \über 2}m{\Delta (\mathbf {v} }^{2})\\\mathbf {s} &=&\Delta h\\mathbf {gs} &=&{1 \über 2}\Delta (\mathbf {v} ^{2})\\\2\mathbf {gs} &=&\mathbf {v} ^{2}-{\mathbf {v} _{0}}^{2}\2\mathbf {as} &=&\mathbf {v} ^{2}-\mathbf {u} ^{2}\\mathbf {v} ^{2}&=&\mathbf {u} ^{2}+2\mathbf {as} \end{matrix}}}
