Da das 30-60-90-Dreieck auf einem gleichseitigen Dreieck basiert, das 45-45-90-Dreieck auf einem Quadrat, die 18-72-90- und 36-54-90-Dreiecke auf dem regelmäßigen Fünfeck (siehe https://robertlovespi.wordpress.com/2013/03/12/the-18-72-90-and-36-54-90-triangles/) und das 22.5-67,5-90 Dreieck basiert auf dem regulären Achteck (siehe vorheriger Beitrag), so dass das 15-75-90 Dreieck auf dem regulären Zwölfeck basiert, hier mit drei Radien (rot) und einer einzigen Diagonale (lila) dargestellt. Das 15-75-90-Dreieck ist in gelb dargestellt. Ein Symmetrieargument reicht aus, um zu zeigen, dass der Winkel EFC das rechtwinklige Dreieck in diesem Dreieck ist und der größere seiner beiden spitzen Winkel (Winkel FCE) die Hälfte eines Innenwinkels dieses Zwölfecks ist. Der Innenwinkel eines regelmäßigen Zehnecks misst 150 Grad (der Beweis dafür ist trivial), also muss der Winkel FCE die Hälfte dieses Wertes messen, also 75 Grad. Nach dem Satz von der Dreieckssumme bleiben also 15 Grad für den Winkel CEF übrig.
Was aber ist mit den Seitenlängen des Dreiecks 15-75-90? Betrachten wir zunächst die roten Diagonalen, die jeweils eine Länge von 2 haben. Die Winkel DAF und FAE messen jeweils 30 Grad, da 360/12 = 30, und sie sind zentrale Winkel zwischen benachbarten Radien. Damit beträgt der Winkel DAE durch Winkeladdition 60 Grad, und das Dreieck DAE ist bekanntlich gleichschenklig, da die beiden roten Seiten Radien desselben regelmäßigen Zwölfecks sind und daher kongruent sind. Nach dem Satz vom gleichschenkligen Dreieck und dem Satz von der Dreieckssumme messen die Winkel ADE und AED ebenfalls jeweils (180-60)/2 = 60 Grad, so dass das Dreieck ADE gleichseitig ist und die violette Seite DE ebenfalls die Länge 2 hat. Die Symmetrie reicht aus, um zu sehen, dass DE durch den Radius AC halbiert wird, was zu der Schlussfolgerung führt, dass EF, der lange Schenkel des Dreiecks 15-75-90, eine Länge von 1 hat.
Die Strecke AF ist ein Median und damit auch eine Höhe des gleichseitigen Dreiecks ADE und teilt es in zwei Dreiecke 30-60-90, von denen eines das Dreieck AEF ist. Dessen Hypotenuse AE hat bekanntlich die Länge 2, der kurze Schenkel EF hat bekanntlich die Länge 1. Das Segment AF ist also der lange Schenkel dieses 30-60-90-Dreiecks mit der Länge √3.
AF, Länge √3, und FC, der kurze Schenkel des 15-75-90-Dreiecks, bilden zusammen den Zwölfeckradius AC, der bereits die Länge 2 hat. Durch Längensubtraktion hat also FC, der kurze Schenkel des 15-75-90-Dreiecks, eine Länge von 2 – √3. An dieser Stelle ist ein Test sinnvoll, indem man den Tangens des 15-Grad-Winkels FEC im gelben Dreieck bildet. Tan(15 Grad) ist gleich 0,26794919…, was auch der dezimale Näherungswert für FC/EF ist, oder (2 – √3)/1.
Um die Längenverhältnisse für die Seiten des Dreiecks 15-75-90 zu kennen, muss man nur noch die Länge der Hypotenuse EC mit Hilfe des Satzes von Pythagoras bestimmen. Das Quadrat der Länge EC muss gleich dem Quadrat von 1 plus dem Quadrat von (2 – √3) sein, also ist EC zum Quadrat gleich 1 + 4 – 4√3 + 3 oder 8 – 4√3. Die Hypotenuse (EC) muss also die Quadratwurzel aus 8 – 4√3 sein, das ist √(8-4√3)) = 2√(2-√3)).
Das Verhältnis von kurzem Schenkel:langem Schenkel:Hypotenuse in einem Dreieck 15-75-90 ist also (2-√3):1:2√(2-√3)).