Vorwort (vom 26. Juni 2020): Diese Beiträge über elementare Mathematik und Physik haben nicht sehr unter dem Angriff der dunklen Macht gelitten – was gut ist, denn ich mag sie immer noch. Obwohl sich meine Ansichten über die wahre Natur von Licht, Materie und der Kraft oder den Kräften, die auf sie einwirken, als Teil meiner Erkundungen einer realistischeren (klassischen) Erklärung der Quantenmechanik erheblich weiterentwickelt haben, denke ich, dass die meisten (wenn nicht alle) Analysen in diesem Beitrag weiterhin gültig und unterhaltsam zu lesen sind. Tatsächlich finde ich, dass die einfachsten Dinge oft die besten sind 🙂
Ursprünglicher Beitrag:
Mein erster Arbeitstitel für diesen Beitrag war Musik und Modi. Ja. Modes. Nicht Stimmungen. Die Beziehung zwischen Musik und Stimmungen ist auch ein interessantes Forschungsthema, aber das ist nicht das, worüber ich schreiben werde 🙂
Es fing damit an, dass ich dachte, ich sollte tatsächlich etwas über Modi schreiben, weil das Konzept eines Modus einer Welle oder eines Oszillators in der Physik ziemlich zentral ist, sowohl in der klassischen Physik als auch in der Quantenphysik (quantenmechanische Systeme werden auch als Oszillatoren analysiert!). Aber ich habe mich gefragt, wie ich mich dem Thema nähern soll, denn es ist ziemlich langweilig, wenn man sich nur mit der Mathematik beschäftigt. Aber dann flog ich von Europa zurück nach Asien, wo ich lebe, und da ich auch ein bisschen Gitarre spiele, wollte ich plötzlich wissen, warum wir Musik mögen. Und dann dachte ich, das ist eine Frage, die du dir vielleicht auch schon mal gestellt hast! Und so dachte ich, ich sollte über Modi als Teil einer interessanteren Geschichte schreiben: eine Geschichte über Musik – oder, um genau zu sein, eine Geschichte über die Physik hinter der Musik. Also… Legen wir los.
Philosophie versus Physik
Es gibt natürlich eine sehr einfache Antwort auf die Frage, warum wir Musik mögen: Wir mögen Musik, weil sie Musik ist. Wenn es keine Musik wäre, würden wir sie nicht mögen. Das ist eine ziemlich philosophische Antwort, und sie befriedigt wahrscheinlich die meisten Menschen. Aber für jemanden, der Physik studiert, kann diese Antwort sicher nicht ausreichen. Was ist die Physik dahinter? Ich habe mir Feynmans Vorlesung über Schallwellen in der Ebene angesehen, sie mit einigen anderen Dingen kombiniert, die ich gegoogelt habe, als ich ankam, und dann habe ich diesen Beitrag geschrieben, der eine viel weniger philosophische Antwort gibt. 🙂
Die Beobachtung, die im Mittelpunkt der Diskussion steht, ist täuschend einfach: Warum ist es so, dass ähnliche Strings (d.h. Saiten aus dem gleichen Material, mit der gleichen Dicke usw.) unter der gleichen Spannung, aber mit unterschiedlicher Länge, „angenehm“ klingen, wenn sie zusammen erklingen, wenn – und nur wenn – das Verhältnis der Länge der Saiten wie 1:2, 2:3, 3:4, 3:5, 4:5 usw. ist (d.h. wie jedes andere Verhältnis zweier kleiner ganzer Zahlen)?
Sie fragen sich wahrscheinlich: Ist das wirklich die Frage? Das ist sie. Die Frage ist in der Tat trügerisch einfach, denn, wie Sie gleich sehen werden, ist die Antwort ziemlich kompliziert. So kompliziert sogar, dass die Pythagoräer keine Antwort hatten. Bis etwa zum 18. Jahrhundert, als Musiker, Physiker und Mathematiker gleichermaßen zu erkennen begannen, dass eine Saite (einer Gitarre oder eines Klaviers oder welches Instrument auch immer Pythagoras damals im Sinn hatte) oder eine Luftsäule (z. B. in einer Pfeifenorgel oder einer Trompete) oder was auch immer sonst den Musikton erzeugt, tatsächlich mit zahlreichen Frequenzen gleichzeitig schwingt.
Die Pythagoräer ahnten nicht, dass eine Saite an sich ein ziemlich kompliziertes Gebilde ist – etwas, das die Physiker als harmonischen Oszillator bezeichnen – und dass ihr Klang daher tatsächlich von vielen Frequenzen und nicht nur von einer erzeugt wird. Auch das Konzept eines reinen Tons, d. h. eines Tons, der frei von Obertönen ist (d. h. frei von allen anderen Frequenzen außer der Grundfrequenz), gab es damals noch nicht. Und wenn doch, hätten sie ohnehin keinen reinen Ton erzeugen können: Die Erzeugung reiner Töne – oder Noten, wie ich sie etwas ungenau nenne (ich sollte sagen: eine reine Tonhöhe) – ist außerordentlich kompliziert, und es gibt sie in der Natur nicht. Wären die Pythagoräer in der Lage gewesen, reine Töne zu erzeugen, so hätten sie festgestellt, dass reine Töne keine Empfindung von Konsonanz oder Dissonanz hervorrufen, wenn ihre relativen Frequenzen diese einfachen Verhältnisse einhalten. In der Tat haben wiederholte Experimente, in denen solche reinen Töne erzeugt wurden, gezeigt, dass der Mensch nicht wirklich sagen kann, ob es sich um einen musikalischen Klang handelt oder nicht: es ist einfach nur ein Klang, und er ist weder angenehm (oder konsonant, sollten wir sagen) noch unangenehm (d.h. dissonant).
Die pythagoreische Beobachtung gilt jedoch für tatsächliche (d.h. nicht reine) musikalische Töne. Kurz gesagt, wir müssen zwischen Tönen und Noten (d.h. reinen Tönen) unterscheiden: das sind zwei sehr unterschiedliche Dinge, und der Kern des ganzen Arguments ist, dass musikalische Töne, die aus einer (oder mehreren) Saite(n) unter Spannung kommen, voller Obertöne sind, und, wie ich in einer Minute erklären werde, ist das die Erklärung für die beobachtete Beziehung zwischen den Längen dieser Saiten und dem Phänomen der Konsonanz (d.h.
Natürlich ist es einfach zu sagen, was ich oben gesagt habe: wir sind jetzt im Jahr 2015 und haben daher den Vorteil der Rückschau. Damals – also vor mehr als 2.500 Jahren! – löste die einfache, aber bemerkenswerte Tatsache, dass die Längen ähnlicher Saiten ein einfaches Verhältnis einhalten sollten, wenn sie zusammen „schön“ klingen sollen, eine Faszination für die Zahlentheorie aus (tatsächlich legten die Pythagoräer die Grundlagen für das, was heute als Zahlentheorie bekannt ist). Pythagoras war nämlich der Meinung, dass ähnliche Beziehungen auch für andere Naturphänomene gelten sollten! Um nur ein Beispiel zu nennen: Die Pythagoräer glaubten auch, dass die Bahnen der Planeten solchen einfachen Zahlenverhältnissen entsprechen würden, weshalb sie von der „Musik der Sphären“ (Musica Universalis) sprachen.
Wir wissen heute, dass die Pythagoräer falsch lagen. Die Proportionen in den Bewegungen der Planeten um die Sonne entsprechen nicht einfachen Verhältnissen, und im Nachhinein ist es bedauerlich, dass es vieler mutiger und brillanter Menschen wie Galileo Galilei und Kopernikus bedurfte, um die Kirche von dieser Tatsache zu überzeugen. Auch wenn die Beobachtungen des Pythagoras in Bezug auf die Töne, die aus den Saiten kamen, die er betrachtete, richtig waren, waren seine Schlussfolgerungen falsch: Die Beobachtung impliziert nicht, dass die Frequenzen der Musiknoten alle in einem einfachen Verhältnis zueinander stehen sollten.
Lassen Sie mich wiederholen, was ich oben geschrieben habe: Die Frequenzen der Musiknoten stehen nicht in einem einfachen Verhältnis zueinander. Die Frequenzskala für alle Musiktöne ist logarithmisch, und das bedeutet zwar, dass wir mit den Eigenschaften der logarithmischen Skala einige Tricks anwenden können (wie ich gleich erklären werde), aber das so genannte „pythagoreische“ Stimmsystem, das auf einfachen Verhältnissen beruht, war schlichtweg falsch, auch wenn es – oder eine Variante davon (statt des Verhältnisses 3:2 verwendeten die Musiker ab etwa 1510 das Verhältnis 5:4) – bis zum 18. Jahrhundert allgemein verwendet wurde! Kurz gesagt, Pythagoras hatte in der Tat Unrecht – zumindest in dieser Hinsicht: Wir können mit diesen einfachen Verhältnissen nicht viel anfangen.
Dennoch war die grundlegende Intuition von Pythagoras richtig, und diese Intuition ist auch heute noch die treibende Kraft in der Physik: Es ist die Vorstellung, dass die Natur nur durch quantitative Beziehungen beschrieben oder erklärt werden kann (was immer das bedeutet). Schauen wir uns einmal an, wie das in der Musik tatsächlich funktioniert.
Töne, Geräusche und Noten
Lassen Sie uns zunächst Töne und Noten definieren und unterscheiden. Ein musikalischer Ton ist das Gegenteil von Rauschen, und der Unterschied zwischen den beiden ist, dass musikalische Töne periodische Wellenformen sind, also eine Periode T haben, wie unten dargestellt. Im Gegensatz dazu ist Rauschen eine nicht-periodische Wellenform. So einfach ist das.
Aus früheren Beiträgen wissen Sie, dass wir jede periodische Funktion als Summe einer potentiell unendlichen Anzahl einfacher harmonischer Funktionen schreiben können und dass diese Summe als Fourier-Reihe bezeichnet wird. Ich notiere das hier nur, also machen Sie sich vorerst keine Gedanken darüber. Ich werde später darauf zurückkommen.
Du weißt auch, dass wir sieben musikalische Noten haben: Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si oder, was in der englischsprachigen Welt gebräuchlicher ist, A-B-C-D-E-F-G. Und dann beginnt es wieder mit A (oder Do). Wir haben also zwei Noten, die durch ein Intervall getrennt sind, das als Oktave (vom griechischen octo, d. h. acht) bezeichnet wird, mit sechs Noten dazwischen, also insgesamt acht Noten. Sie wissen aber auch, dass es Zwischentöne gibt, außer zwischen E und F und zwischen B und C. Sie werden als Halbtöne oder Halbtonschritte bezeichnet. Ich ziehe den Begriff „Halbtonschritt“ dem Begriff „Halbton“ vor, weil wir wirklich von Noten und nicht von Tönen sprechen.
Es gibt zum Beispiel das Fis (bezeichnet mit F#), das wir auch als Gis (bezeichnet mit Gb) bezeichnen können. Das ist das Gleiche: ein scharfes # hebt eine Note um einen Halbton an, und ein flaches b senkt sie um den gleichen Betrag, also ist F# Gb. Das ist das, was unten gezeigt wird: in einer Oktave haben wir acht Noten, aber zwölf Halbtöne.
Betrachten wir nun die Frequenzen. Die obige Frequenzskala (ausgedrückt in Schwingungen pro Sekunde, also in der Einheit Hertz) ist eine logarithmische Skala: die Frequenzen verdoppeln sich, wenn wir von einer Oktave zur anderen gehen: die Frequenz der C4-Note oben (das sogenannte mittlere C) beträgt 261,626 Hz, während die Frequenz der nächsten C-Note (C5) doppelt so hoch ist: 523,251 Hz.
Wenn wir nun das Intervall zwischen C4 und C5 mit 1 gleichsetzen (die Oktave ist also unsere musikalische „Einheit“), dann ist das Intervall zwischen den zwölf Halbtonschritten offensichtlich 1/12. Und warum? Weil wir 12 Halbtonschritte in unserer musikalischen Einheit haben. Sie können auch leicht feststellen, dass aufgrund der Funktionsweise des Logarithmus das Verhältnis der Frequenzen zweier Noten, die durch einen Halbtonschritt getrennt sind (z. B. zwischen Dis und E), gleich 21/12 ist. Ebenso ist das Verhältnis der Frequenzen von zwei Noten, die durch n Halbtonschritte getrennt sind, gleich 2n/12.
Da die Frequenzen der verschiedenen C-Töne als Zahlen ausgedrückt werden, die einen Dezimalbruch enthalten (z. B. 523,251 Hz, wobei die 0,251 eigentlich nur eine Annäherung ist), und weil sie daher etwas schwer zu lesen und/oder zu verarbeiten sind, werde ich die nächste Idee – d. h. das Konzept der Obertöne – erläutern.🙂
Harmonische Töne
Das tiefste A auf einem Klavier wird mit A0 bezeichnet, und seine Frequenz beträgt 27,5 Hz. Es gibt noch tiefere A-Töne (z. B. einen mit 13,75 Hz), aber wir verwenden sie nicht, weil sie nahe an der Grenze der tiefsten Frequenzen liegen, die wir hören können (oder sogar darüber). Bleiben wir also bei unserem Flügel und beginnen wir mit der Frequenz 27,5 Hz. Die nächste A-Note ist A1, und ihre Frequenz beträgt 55 Hz. Dann haben wir A2, das ist wie das A auf meiner (oder deiner) Gitarre: seine Frequenz ist gleich 2×55 = 110 Hz. Der nächste Ton ist A3, bei dem wir die Frequenz noch einmal verdoppeln: Wir sind jetzt bei 220 Hz. Der nächste Ton ist das A in der obigen Abbildung der C-Tonleiter: A4, mit einer Frequenz von 440 Hz.
Die Töne, von denen wir hier sprechen, sind alle sogenannte reine Töne. Wenn ich also sage, dass das A auf unserer Gitarre als A2 bezeichnet wird und eine Frequenz von 110 Hz hat, dann ist das eine starke Vereinfachung. Schlimmer noch, ich lüge, wenn ich das sage: Wenn man eine Gitarrensaite anschlägt oder eine Klaviertaste anschlägt, schwingen alle möglichen anderen Frequenzen – sogenannte Obertöne – mit, und das macht die Qualität des Klangs aus: Es ist das, was ihn schön klingen lässt. Die Grundfrequenz (auch als erste Harmonische bezeichnet) beträgt 110 Hz, aber es gibt auch zweite, dritte, vierte usw. Harmonische mit Frequenzen von 220 Hz, 330 Hz, 440 Hz usw. In der Musik wird die Grund- oder Basisfrequenz als Tonhöhe bezeichnet, und wie du siehst, verwende ich oft den Begriff „Note“ (oder reiner Ton) als Synonym für Tonhöhe – was mehr oder weniger in Ordnung ist, aber eigentlich nicht ganz korrekt.
Was ist die Physik dahinter? Schauen Sie sich die folgende Abbildung an (ich habe sie von der Website Physics Classroom entliehen). Die dicke schwarze Linie ist die Saite, und die Wellenlänge ihrer Grundfrequenz (d.h. der ersten Harmonischen) ist das Doppelte ihrer Länge, also schreiben wir λ1 = 2-L oder, andersherum, L = (1/2)-λ1. Das ist die sogenannte erste Mode der Saite.
Wir haben auch einen zweiten, dritten usw. Modus, der unten dargestellt ist, und diese Modi entsprechen jeweils der zweiten, dritten usw. Harmonischen.
Für den zweiten, dritten usw. Modus ist die Beziehung zwischen der Wellenlänge und der Länge der Saite natürlich die folgende: L = (2/2)-λ2 = λ2, L = L = (3/2)-λ3, usw. Allgemeiner ausgedrückt, ist L für den n-ten Modus gleich L = (n/2)-λn, mit n = 1, 2 usw. Da es sich bei L um eine feste Länge handeln soll, muss man es umgekehrt schreiben: λn = (2/n)-L.
Was bedeutet das für die Frequenzen? Wir wissen, dass die Geschwindigkeit der Welle – nennen wir sie c -, die sich auf der Saite auf und ab bewegt, eine Eigenschaft der Saite ist, und zwar nur eine Eigenschaft der Saite. Mit anderen Worten, sie hängt nicht von der Frequenz ab. Die Wellengeschwindigkeit ist immer gleich der Frequenz mal der Wellenlänge, also ist c = f-λ. Nehmen wir das Beispiel der (klassischen) Gitarrensaite: Ihre Länge beträgt 650 mm, d. h. 0,65 m. Daher werden die Identitäten λ1 = (2/1)-L, λ2 = (2/2)-L, λ3 = (2/3)-L usw. zu λ1 = (2/1)-0,65 = 1,3 m, λ2 = (2/2)-0,65 = 0,65 m, λ3 = (2/3)-0,65 = 0,433… m und so weiter. Kombiniert man nun diese Wellenlängen mit den oben genannten Frequenzen, so erhält man die Wellengeschwindigkeit c = (110 Hz)-(1,3 m) = (220 Hz)-(0,65 m) = (330 Hz)-(0,433.. m) = 143 m/s.
Lassen Sie mich nun auf die Pythagoras-Schnur zurückkommen. Man sollte beachten, dass die Frequenzen der Obertöne, die von einer einfachen Gitarrensaite erzeugt werden, durch einfache ganzzahlige Verhältnisse zueinander in Beziehung stehen. So stehen die Frequenzen des ersten und zweiten Obertons in einem einfachen Verhältnis von 2:1. Der zweite und der dritte Oberton haben ein Frequenzverhältnis von 3:2. Die dritte und vierte Harmonische haben ein Verhältnis von 4:3. Die fünfte und vierte Harmonische 5:4, und so weiter und so fort. Das müssen sie sein. Warum? Weil die Obertöne einfache Vielfache der Grundfrequenz sind. Das ist der eigentliche Grund für die Beobachtung von Pythagoras: Wenn er ähnliche Saiten mit gleicher Spannung, aber unterschiedlicher Länge zum Klingen brachte, erzeugte er Töne mit den gleichen Obertönen. Nicht mehr und nicht weniger.
Lassen Sie mich hier ganz deutlich werden, denn der Punkt, den ich hier zu machen versuche, ist etwas subtil. Die Saite des Pythagoras ist die Saite des Pythagoras: Er sprach von ähnlichen Saiten. Wir sprechen also nicht von einer echten Gitarre oder einem Klavier oder einem anderen Saiteninstrument. Die Saiten von (modernen) Streichinstrumenten sind nicht ähnlich, und sie haben nicht dieselbe Spannung. Zum Beispiel unterscheiden sich die sechs Saiten einer Gitarre nicht in ihrer Länge (sie sind alle 650 mm lang), aber sie haben eine unterschiedliche Spannung. Die sechs Saiten einer Konzertgitarre haben auch einen anderen Durchmesser, und die ersten drei Saiten sind blanke Saiten, im Gegensatz zu den unteren Saiten, die umsponnen sind. Die Saiten sind also nicht ähnlich, sondern sehr unterschiedlich. Zur Veranschaulichung habe ich die folgenden Werte für einen der vielen im Handel erhältlichen Gitarrensaitensätze kopiert. 
Das Gleiche gilt für Klaviersaiten. Sie sind zwar etwas einfacher (sie bestehen alle aus Klavierdraht, der im Grunde genommen sehr hochwertiger Stahldraht ist), aber sie unterscheiden sich auch – nicht nur in der Länge, sondern auch im Durchmesser, der typischerweise von 0,85 mm für die höchsten Diskantsaiten bis zu 8,5 mm (also zehnmal 0,85 mm) für die tiefsten Basstöne reicht.
Kurz gesagt, Pythagoras spielte weder Gitarre noch Klavier (oder ein anderes anspruchsvolleres Saiteninstrument, das die Griechen sicher auch hatten), als er über diese harmonischen Beziehungen nachdachte. Die physikalische Erklärung für seine berühmte Beobachtung ist daher ganz einfach: Musiktöne, die die gleichen Obertöne haben, klingen angenehm, oder besser gesagt konsonant – vom lateinischen con-sonare, was wörtlich „zusammen klingen“ bedeutet (von sonare = klingen und con = mit). Und sonst… Nun… Dann klingen sie nicht angenehm: Sie sind dissonant.
Um das zu verdeutlichen, möchte ich betonen, dass wir, wenn wir eine Saite zupfen, einen Ton erzeugen, der aus vielen Frequenzen besteht, und zwar in einem Zug. Man kann das in der Praxis sehen: Wenn man eine tiefe A-Saite auf einem Klavier anschlägt – sagen wir, die A2-Saite mit 110 Hz – dann wird ihre zweite Harmonische (220 Hz) auch die A3-Saite in Schwingung versetzen, weil sie dieselbe Frequenz hat! Und die vierte Harmonische bringt auch die A4-Saite zum Schwingen, weil beide eine Frequenz von 440 Hz haben. Die Stärke dieser anderen Schwingungen (oder besser gesagt ihre Amplitude) hängt natürlich von der Stärke der anderen Obertöne ab, und wir sollten natürlich davon ausgehen, dass die Grundfrequenz (d. h. der erste Oberton) den größten Teil der Energie absorbiert. Wir zupfen also eine Saite, und so haben wir einen einzigen Klang, einen einzigen Ton, aber mehrere Töne gleichzeitig!
In diesem Zusammenhang sollte man auch beachten, dass die dritte Harmonische unserer A2-Saite mit 110 Hz der Grundfrequenz des E4-Tons entspricht: beide liegen bei 330 Hz! Und natürlich entsprechen auch die Obertöne von E, wie z. B. der zweite Oberton (2-330 Hz = 660 Hz), den höheren Obertönen von A! Um genau zu sein, entspricht der zweite Oberton unserer E-Saite dem sechsten Oberton unserer A2-Saite. Wenn Sie eine gute Gitarre haben und Ihre Saiten von guter Qualität sind, werden Sie es sehen: Die (unteren) E- und A-Saiten schwingen mit, wenn Sie den A-Dur-Akkord spielen, aber nur die oberen vier Saiten anschlagen. Wir haben also eine Energieübertragung – eigentlich eine Bewegung – von den vier Saiten, die Sie anschlagen, auf die beiden Saiten, die Sie nicht anschlagen! Sie werden sagen: Na und? Nun… Wenn du einen besseren Beweis für die Aktualität (oder Realität) der gleichzeitigen Anwesenheit verschiedener Frequenzen hast, dann sag es mir bitte! 🙂
Deshalb klingen A und E sehr gut zusammen (A, E und C#, zusammen gespielt, bilden den so genannten A-Dur-Akkord): Unser Ohr mag zusammenpassende Obertöne. Das ist also der Grund, warum wir Musiktöne mögen – oder warum wir diese Töne als musikalisch definieren 🙂 Ich fasse es noch einmal zusammen: Musiktöne sind zusammengesetzte Schallwellen, die aus einer Grundfrequenz und sogenannten Obertönen bestehen (wir haben also viele Töne oder reine Töne in einem Musikton). Wenn nun andere Musiktöne gemeinsame Obertöne haben und wir diese Töne ebenfalls erklingen lassen, erhalten wir das Gefühl von Harmonie, d.h. die Kombination klingt konsonant.
Nun ist es nicht schwer zu erkennen, dass wir immer solche gemeinsamen Obertöne haben werden, wenn wir ähnliche Saiten mit der gleichen Spannung, aber unterschiedlichen Längen, zusammen erklingen lassen. Kurz gesagt, was Pythagoras beobachtet hat, hat nicht viel mit Noten zu tun, sondern mit Tönen. Lassen Sie uns nun in der Analyse ein wenig weiter gehen, indem wir etwas mehr Mathematik einführen. Und, ja, es tut mir sehr leid: es ist die gefürchtete Fourier-Analyse! 🙂
Fourier-Analyse
Sie wissen, dass wir jede periodische Funktion in eine Summe einer (potenziell unendlichen) Reihe einfacher Sinusfunktionen zerlegen können, wie unten dargestellt. Die Abbildung stammt aus Wikipedia: Die rote Funktion s6(x) ist die Summe von sechs Sinusfunktionen mit unterschiedlichen Amplituden und (harmonisch verwandten) Frequenzen. Die sogenannte Fourier-Transformation S(f) (in blau) setzt die sechs Frequenzen mit den jeweiligen Amplituden in Beziehung.
In Anbetracht der obigen Ausführungen ist leicht zu erkennen, was dies für den Klang einer gezupften Saite bedeutet. Wenn wir die Winkelfrequenznotation verwenden (wir schreiben also alles mit ω statt mit f), wissen wir, dass die Normal- oder Eigenschwingungsformen die Frequenzen ω = 2π/T = 2πf (das ist also die Grundfrequenz oder erste Harmonische), 2ω (zweite Harmonische), 3ω (dritte Harmonische) und so weiter und so fort haben.
Nun gibt es keinen Grund anzunehmen, dass alle Sinusfunktionen, aus denen sich unser Ton zusammensetzt, die gleiche Phase haben sollten: eine gewisse Phasenverschiebung Φ kann vorhanden sein und daher sollten wir unsere Sinusfunktion nicht als cos(ωt), sondern als cos(ωt + Φ) schreiben, um sicherzustellen, dass unsere Analyse allgemein genug ist. Aus dem Geometrieunterricht wissen wir, dass wir cos(ωt + Φ) umschreiben können als
cos(ωt + Φ) =
Wir haben natürlich viele dieser Funktionen – eine für jede Oberschwingung, um genau zu sein – und daher sollten wir tiefgestellte Zahlen verwenden, was wir in der folgenden Formel tun, die besagt, dass jede Funktion f(t), die periodisch mit der Periode T ist, mathematisch geschrieben werden kann als:
Sie fragen sich vielleicht: Was ist die Periode T? Es ist die Periode der Grundschwingung, d.h. der ersten Harmonischen. Die Periode der zweiten, dritten usw. Oberschwingung beträgt nur die Hälfte, ein Drittel usw. der Periode der ersten Oberschwingung. So ist T2 = (2π)/(2ω) = (1/2)-(2π)/ω = (1/2)-T1, und T3 = (2π)/(3ω) = (1/3)-(2π)/ω = (1/3)-T1, und so weiter. Es ist jedoch leicht zu erkennen, dass sich diese Funktionen auch nach zwei, drei usw. Perioden wiederholen. Es ist also alles in Ordnung, und die allgemeine Idee hinter der Fourier-Analyse wird weiter unten veranschaulicht.
Sie werden sagen: Was soll’s! Wozu brauchen wir hier die mathematische Gymnastik? Es geht nur darum, das andere Merkmal eines musikalischen Tons zu verstehen: seine Qualität (im Gegensatz zu seiner Tonhöhe). Ein so genannter reicher Ton hat starke Obertöne, während ein reiner Ton nur den ersten Oberton hat. Alle anderen Merkmale – der Unterschied zwischen dem Ton einer Geige und dem eines Klaviers – hängen dann mit der „Mischung“ all dieser Obertöne zusammen.
Also haben wir jetzt alles, außer der Lautstärke, die natürlich mit dem Ausmaß der Luftdruckänderungen zusammenhängt, wenn sich unsere Wellenform durch die Luft bewegt: Tonhöhe, Lautstärke und Qualität. Das macht einen musikalischen Ton aus. 🙂
Dissonanz
Wie oben erwähnt, sind die Töne dissonant, wenn sie nicht konsonant sind. Aber was ist eigentlich Dissonanz? Was ist da los? Die Antwort ist folgende: Wenn zwei Frequenzen nahe an einem einfachen Bruch liegen, aber nicht exakt, entstehen sogenannte Schwebungen, die unser Ohr nicht mag.
Häh? Entspannen Sie sich. Die folgende Abbildung, die ich aus dem Wikipedia-Artikel zur Klavierstimmung kopiert habe, veranschaulicht das Phänomen. Die blaue Welle ist die Summe aus der roten und der grünen Welle, die ursprünglich identisch sind. Aber dann wird die Frequenz der grünen Welle erhöht, so dass die beiden Wellen nicht mehr in Phase sind, und die Interferenz führt zu einem Schwebungsmuster. Natürlich hat unser Musikton unterschiedliche Frequenzen und damit unterschiedliche Perioden T1, T2, T3 usw., aber Sie verstehen schon: die höheren Obertöne schwingen auch mit der Periode T1, und wenn die Frequenzen nicht in einem exakten Verhältnis zueinander stehen, dann haben wir ein ähnliches Problem: Schwebungen, und unser Ohr wird den Klang nicht mögen.
Natürlich werden Sie sich fragen: warum mögen wir keine Schwebungen in Tönen? Das kann man doch fragen, oder? Das ist wie die Frage, warum wir Musik mögen, nicht wahr? Nun… Es ist so und es ist nicht so. Es ist wie die Frage, warum unser Ohr (oder unser Gehirn) Obertöne mag. Wir wissen es nicht. So sind wir nun einmal verdrahtet. Die „physikalische“ Erklärung dafür, was musikalisch ist und was nicht, geht nur so weit, denke ich. 😦
Pythagoras versus Bach
Aus all dem, was ich oben geschrieben habe, geht hervor, dass die Frequenzen der Obertöne eines musikalischen Tons tatsächlich durch einfache Verhältnisse kleiner ganzer Zahlen miteinander verbunden sind: Die Frequenzen des ersten und zweiten Obertons stehen in einem einfachen Verhältnis von 2:1; der zweite und dritte Oberton haben ein Frequenzverhältnis von 3:2; der dritte und vierte Oberton ein Verhältnis von 4:3; der fünfte und vierte Oberton ein Verhältnis von 5:4 usw. Das war’s. Nicht mehr und nicht weniger.
Mit anderen Worten: Pythagoras beobachtete die musikalischen Töne: die reinen Töne dahinter, also die eigentlichen Noten, konnte er nicht beobachten. Die Ästhetik führte jedoch dazu, dass Pythagoras und alle Musiker nach ihm – bis zur Mitte des 18. Jahrhunderts – auch der Meinung waren, dass das Verhältnis der Frequenzen der Töne innerhalb einer Oktave ebenfalls einfache Verhältnisse sein sollten. Nach dem, was ich oben erklärt habe, ist es offensichtlich, dass es so nicht funktionieren sollte: Das Verhältnis der Frequenzen von zwei Noten, die durch n Halbtonschritte getrennt sind, ist 2n/12, und für die meisten Werte von n ist 2n/12 kein einfaches Verhältnis.
So – ich sagte es bereits – Pythagoras lag falsch – nicht nur in dieser Hinsicht, sondern auch in anderen, als er zum Beispiel seine Ansichten über das Sonnensystem vertrat. Auch hier tut es mir leid, das sagen zu müssen, aber es ist, wie es ist: Die Pythagoräer schienen mathematische Ideen dem physikalischen Experiment vorzuziehen 🙂 Abgesehen davon kannten die Musiker offensichtlich keine Alternative zu Pythagoras, und von logarithmischen Maßstäben hatten sie zu dieser Zeit sicher noch nie gehört. Also… Nun… Sie benutzten das so genannte pythagoreische Stimmsystem. Um genau zu sein, stimmten sie ihre Instrumente, indem sie das Frequenzverhältnis zwischen dem ersten und dem fünften Ton der C-Skala (also C und G, da sie die Halbtöne C#, D# und F# nicht mitzählten) mit dem Verhältnis 3/2 gleichsetzten, und dann benutzten sie andere sogenannte harmonische Verhältnisse für die Töne, die dazwischen lagen.
Das Verhältnis 3/2 ist eigentlich fast richtig, denn das tatsächliche Frequenzverhältnis ist 27/12 (wir haben sieben Töne, einschließlich der Halbtöne – nicht fünf!), und das ist ungefähr 1,4983. Das ist ziemlich nah an 3/2 = 1,5, würde ich sagen. 🙂 Mit dieser Näherung (die, wie ich zugeben muss, ziemlich genau ist) würde man dann auch die anderen Saiten stimmen, wobei man davon ausgeht, dass bestimmte Verhältnisse eingehalten werden sollten, wie die unten stehenden.
So war das alles ganz gut. Dennoch hatten gute Musiker und einige große Mathematiker das Gefühl, dass etwas nicht stimmte – und sei es nur, weil es mehrere so genannte gerechte Intonationssysteme gab (für einen Überblick siehe den Wikipedia-Artikel über gerechte Intonation). Vor allem aber hielten sie es für ziemlich schwierig, Musik mit dem pythagoreischen Stimmsystem zu transponieren. Beim Transponieren von Musik wird die so genannte Tonart eines Musikstücks geändert: Im Grunde genommen wird das gesamte Stück in der Tonhöhe um ein konstantes Intervall, das nicht einer Oktave entspricht, nach oben oder unten verschoben. Heutzutage ist das Transponieren von Musik ein Kinderspiel – zumindest in der westlichen Musik. Das liegt aber nur daran, dass die gesamte westliche Musik auf Instrumenten gespielt wird, die nach dieser logarithmischen Skala gestimmt sind (technisch gesehen handelt es sich um das 12-tönige System der gleichschwebenden Stimmung (12-TET)). Wenn man eines der pythagoreischen Systeme für die Stimmung verwendet, klingt ein transponiertes Stück nicht ganz richtig.
Der erste Mathematiker, der wirklich zu wissen schien, was falsch war (und der daher auch wusste, was zu tun war), war Simon Stevin, der um 1600 n. Chr. ein Manuskript schrieb, das auf dem Prinzip der „12. Wurzel aus 2“ basierte. Das sollte uns nicht überraschen: Die Überlegungen dieses Mathematikers aus Brügge sollten John Napiers Arbeit über Logarithmen inspirieren. Leider wurde dieses Manuskript, das die Grundprinzipien des 12-TET-Systems beschreibt, nicht veröffentlicht (Stevin musste aus Brügge nach Holland fliehen, weil er Protestant war und die spanischen Herrscher dies nicht guthießen). Daher probierten Musiker, die die Mathematik (oder besser gesagt die Physik) hinter ihrer Musik nicht ganz verstanden, immer wieder andere Stimmungssysteme aus, da sie der Meinung waren, dass ihre Musik dadurch besser klang.
Eines dieser „anderen Systeme“ ist die so genannte „gute“ Temperatur, von der Sie sicher schon gehört haben, da sie in Bachs berühmter Komposition Das Wohltemperierte Klavier erwähnt wird, die er in der ersten Hälfte des 18. Jahrhunderts fertigstellte. Was ist diese „gute“ Stimmung eigentlich? Nun… Es ist, was es ist: Es ist eines jener Stimmungssysteme, die den Musikern aus einer Reihe von Gründen ein besseres Gefühl für ihre Musik verschafften, die alle in dem Wikipedia-Artikel darüber gut beschrieben sind. Der Hauptgrund ist jedoch, dass das von Bach empfohlene Stimmsystem sehr viel besser war, wenn es darum ging, dasselbe Stück in einer anderen Tonart zu spielen. Allerdings war es immer noch nicht ganz richtig, denn es war nicht das gleichschwebend temperierte System (d.h. das 12-TET-System), das heute gilt (zumindest im Westen – die indische Musikskala z.B. basiert immer noch auf einfachen Verhältnissen).
Warum erwähne ich dieses Stück von Bach? Der Grund ist einfach: Sie haben wahrscheinlich davon gehört, weil es einer der Hauptbezugspunkte in einem ziemlich berühmten Buch ist: Gödel, Escher und Bach – ein ewiges goldenes Geflecht. Wenn nicht, dann vergessen Sie es einfach. Ich erwähne es, weil einer meiner Brüder es liebt. Es handelt von künstlicher Intelligenz. Ich habe es nicht gelesen, aber ich muss davon ausgehen, dass Bachs Meisterwerk dort wegen seiner Struktur analysiert wird, nicht wegen des Stimmungssystems, das man beim Spielen verwenden soll. Also… Naja… Ich würde sagen: Macht diese Komposition nicht noch mystischer, als sie ohnehin schon ist. 🙂 Die „Magie“, die dahinter steckt, hängt mit dem zusammen, was ich über A4 als „Bezugspunkt“ in der Musik gesagt habe: Da wir jetzt eine universelle logarithmische Skala verwenden, gibt es so etwas wie einen absoluten Bezugspunkt nicht mehr: Sobald wir unsere musikalische „Einheit“ definieren (also die so genannte Oktave in der westlichen Musik) und auch festlegen, wie viele Schritte wir dazwischen haben wollen (also 12 – in der westlichen Musik), haben wir den ganzen Rest. So funktioniert der Logarithmus.
Kurz gesagt, in der Musik geht es um Struktur, d.h. es geht um mathematische Beziehungen, und nur um mathematische Beziehungen. Noch einmal: Pythagoras‘ Schlussfolgerungen waren falsch, aber seine Intuition war richtig. Und natürlich war es seine Intuition, aus der die Wissenschaft hervorging: Die einfachen „Modelle“, die er erstellte – wie Noten miteinander in Beziehung stehen sollten, oder über unser Sonnensystem – waren natürlich nur der Anfang von allem. Und was für ein großartiger Anfang das war! Wenn ich noch einmal zurückblicke, ist es ziemlich traurig, dass konservative Kräfte (wie die Kirche) dem Fortschritt oft im Wege standen. In der Tat, ich frage mich plötzlich: Wenn die Wissenschaftler nicht von diesen konservativen Kräften gestört worden wären, hätte die Menschheit dann schon um die Zeit der Geburt Karls V., also um 1500 n. Chr., Menschen schicken können? 🙂
Post scriptum: Mein Beispiel, dass die (unteren) E- und A-Saiten der Gitarre mitschwingen, wenn man den A-Dur-Akkord spielt und nur die oberen vier Saiten anschlägt, ist etwas heikel. Die (unteren) E- und A-Saiten sind mit tieferen Tonhöhen verbunden, und wir haben gesagt, dass Obertöne (d. h. die zweiten, dritten, vierten usw. Obertöne) Vielfache der Grundfrequenz sind. Warum also schwingen die tieferen Saiten mit? Die Antwort ist einfach: Sie schwingen nur bei den höheren Frequenzen. Wenn Sie eine Gitarre haben: Probieren Sie es einfach aus. Die beiden Saiten, die Sie nicht zupfen, schwingen zwar – und zwar deutlich sichtbar, aber die tiefen Grundfrequenzen, die beim Anschlagen entstehen, sind nicht hörbar. Kurz gesagt, sie schwingen nur bei den höheren Frequenzen mit. 🙂
Das Beispiel, das Feynman anführt, ist viel einfacher: In seinem Beispiel geht es darum, dass die tieferen C- (oder A-, B- usw.)-Töne eines Klaviers Schwingungen in den höheren C-Saiten (bzw. der höheren A-, B- usw.) verursachen. Wenn man zum Beispiel die Taste C2 (und damit die C2-Saite im Klavier) anschlägt, wird auch die (höhere) C3-Saite in Schwingung versetzt. Aber nur wenige von uns haben einen Flügel zu Hause. Deshalb ziehe ich mein Gitarrenbeispiel vor 🙂