Jedes Mal, wenn wir etwas Neues schaffen, gehen wir von 0 auf 1. Der Akt der Schöpfung ist einzigartig, ebenso wie der Moment der Schöpfung, und das Ergebnis ist etwas Neues und Seltsames.
Peter Thiel, Zero to One
In einer 1992 in Nature veröffentlichten Studie wurde mit fünf Monate alten Säuglingen gearbeitet, um ihre Fähigkeit zu bestimmen, Addition und Subtraktion zu verstehen. Die Experimentatoren zeigten den Säuglingen ein Objekt, versteckten es hinter einem Bildschirm und ließen sie dann beobachten, wie sie ein weiteres Objekt hinter dem Bildschirm hinzufügten. Bei einigen Versuchen entfernten die Versuchsleiter das zusätzliche Objekt heimlich. Selbst in diesem Alter wussten die Babys, dass etwas nicht stimmte, wenn sie sahen, dass „null weitere“ Objekte zur Gruppe hinzugefügt wurden, anstatt „ein weiteres“ Objekt.
Dies ist größtenteils die angeborene Intuition, die uns durch unsere frühen Mathekurse getragen hat. Wenn wir Glück hatten (oder Pech, je nachdem, wen man fragt), bekamen wir unsere erste Kostprobe der Formalisierung dieser Intuition in der Geometrie der Mittel- oder Oberstufe. Wir begannen mit Sätzen, die wir „Axiome“ nannten – Dinge, die wir für wahr hielten – und waren gezwungen, darüber nachzudenken, wie unsere Intuition von diesen Axiomen herrührte, und konstruierten formale, wenn auch einfache mathematische „Beweise“ für Ergebnisse wie das Kosinusgesetz oder die Kongruenz zweier Dreiecke.
Wenn Sie es vergessen haben, das Kosinusgesetz besagt, dass c2=a2+b2-2abcos(C)c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(C)c2=a2+b2-2abcos(C), wobei aaa, bbb und ccc die Seitenlängen eines Dreiecks sind und CCC der Winkel gegenüber der Seite ccc ist. Wenn man für CCC 90 Grad einsetzt, erhält man den Satz des Pythagoras.
In der ersten Geometriestunde wurde uns gesagt, was wir als wahr voraussetzen können – aber haben wir uns jemals gefragt, warum?
Wer hat entschieden, was genau wir als wahr voraussetzen können? Warum gerade diese Axiome? Warum konnten wir nicht davon ausgehen, dass das Kosinusgesetz wahr ist, und warum mussten wir es beweisen?
Mathematiker haben lange und intensiv über diese Fragen nachgedacht, und die Gemeinschaft hat sich nicht unbedingt auf bestimmte Axiome geeinigt, die wir als wahr voraussetzen, sondern auf ein Prinzip: die Anzahl der Annahmen sollte auf ein Minimum beschränkt werden. Dies ähnelt einer berühmten Problemlösungstechnik, die als Occams Rasiermesser bekannt ist: „Wenn man konkurrierende Hypothesen zur Lösung eines Problems vor sich hat, sollte man die Lösung mit den wenigsten Annahmen wählen.“
Bestimmung der Axiome
Das Problem, einen minimalen Satz von Axiomen zu finden, aus dem die gesamte Mathematik folgt, ist schwieriger als es aussieht. Mathematiker haben sich jahrelang darum bemüht, und der berühmteste Versuch war die Principia Mathematica, die 1913 von den Mathematikern Alfred North Whitehead und Bertrand Russell veröffentlicht wurde. Im Jahr 1931 bewies der Logiker Kurt Gödel jedoch, dass ein solches System unmöglich ist – kurz gesagt, jede Auswahl von Axiomen wäre entweder unvollständig und nicht in der Lage, die gesamte Mathematik zu beweisen, oder inkonsistent und könnte dazu verwendet werden, Widersprüche zu beweisen.
Dennoch muss die Mathematik irgendwo anfangen, und so haben Mathematiker spezifische Axiome für die Spezialgebiete definiert, in denen sie arbeiten, wie etwa die Geometrie (man denke an Euklids Axiome). Diese spezialisierten Axiome sind das, was Geometriker, Algebraiker usw. als minimalen Satz von Annahmen beschlossen haben, die sie brauchen, um produktive Arbeit zu leisten und gültige Schlussfolgerungen zu ziehen.
Durch diese Axiome können wir streng zeigen, dass 1 tatsächlich größer als 0 ist – nicht durch nebulöse Begriffe wie „Intuition“, sondern durch solide mathematische Grundlage, die auf dem axiomatischen Konsens der mathematischen Gemeinschaft beruht.
Das ist es vielleicht, was unsere geistigen Fähigkeiten von denen eines fünf Monate alten Kindes unterscheidet.
Als Nebenbemerkung: Sich der Konvention zu widersetzen und die Konsequenzen alternativer Axiome zu erforschen, hat zur Schaffung ganz neuer Zweige der Mathematik geführt. Ein Beispiel ist die sphärische Geometrie, die die traditionellen euklidischen Grundlagen über den Haufen wirft. Auf einer Kugel zum Beispiel können die Winkel eines Dreiecks mehr als 180 Grad ergeben.
Die Axiome, die wir brauchen
„Gott hat die natürlichen Zahlen gemacht; alles andere ist das Werk des Menschen.“
Leopold Kronecker, deutscher Mathematiker
Wenn ich sage „minimaler Satz von Annahmen“, gibt es viele verschiedene Ebenen von „minimal“, mit denen wir beginnen können. Unsere grundlegende Abstraktionsebene könnte sein, dass alles, womit wir arbeiten müssen, die natürlichen Zahlen sind – 1,2,3,…1, 2, 3, …1,2,3,… – wie Kronecker es zu befürworten scheint. Alternativ können wir einfach 1>01 > 01>0 als Axiom auffassen.
Wir könnten mit dem ersten Ansatz in mehrere Richtungen gehen. Es gibt die Peano-Axiome, eine Reihe von Axiomen über die natürlichen Zahlen, die darauf abzielen, deren Verhalten vollständig zu beschreiben. Diese Axiome sind fast wie die Newtonschen Gesetze – nicht konstruiert, sondern eher eine Beschreibung der „natürlichen“ Eigenschaften der natürlichen Zahlen. In diesem Ansatz definieren wir einfach die Ordnung der natürlichen Zahlen, so dass wir 1>01 > 01>0 durch Konstruktion schließen.
Wir definieren die Ordnung der natürlichen Zahlen wie folgt: für die natürlichen Zahlen aaa und bbb, a≤ba \leq ba≤b wenn und nur wenn a+c=ba + c = ba+c=b für irgendeine natürliche Zahl ccc.
Es ist gültig, aber in gewisser Weise scheint es ein billiger Versuch zu sein – wir definieren unser Ergebnis im Wesentlichen in die Existenz hinein.
Auf der anderen Seite könnten wir versuchen, 1>01 > 01>0 in den reellen Zahlen zu beweisen. Von den Grundlagen in diese Richtung zu gehen, ist jedoch fast „zu nah an der Hardware“, und von den natürlichen Zahlen (1,2,31, 2, 31,2,3 usw.) zu den reellen Zahlen (z.B. 2,π,3\sqrt{2}, \pi, 32,π,3) zu gelangen, erfordert die Verwendung von Konzepten wie Cauchy-Folgen, Äquivalenzklassen usw. – Werkzeuge, die einen gründlichen Hintergrund in moderner Algebra erfordern (der mir leider fehlt).
Die letzte Herangehensweise, unsere Schlussfolgerung, dass 1>01 > 01>0 wahr ist, zu axiomatisieren, wäre so, als würde man den Nachtisch vor dem Abendessen essen.
Die Herangehensweise, die ich am aufschlussreichsten fand – zugänglich und doch befriedigend streng – wurde in meinem Einführungskurs zur Analysis an der Universität von Michigan von Professor Stephen DeBacker vorgestellt. Wir werden auf einer Abstraktionsebene beginnen, die leicht verständlich ist, aber dennoch ausreichend logisch von unserem Ergebnis getrennt ist, so dass wir immer noch in der Lage sind, aus erster Hand zu sehen, wie unsere Grundannahmen verwendet werden können, um die scheinbar einfache Schlussfolgerung zu formalisieren, die wir anstreben. Darüber hinaus sind unsere Grundannahmen dieselben, die auch von Spezialisten auf dem Gebiet der modernen Algebra und der reellen Analyse verwendet werden – ich würde also sagen, dass es gerechtfertigt ist, diesen Ort als Ausgangspunkt zu wählen.
Unsere „Minimalannahme“ ist, dass die reellen Zahlen die folgenden Eigenschaften erfüllen, wobei aaa, bbb und ccc beliebige reelle Zahlen sind. Der Begriff, der in der mathematischen Gemeinschaft üblicherweise für jede Eigenschaft verwendet wird, ist in Klammern neben jeder Eigenschaft aufgeführt.
- a+ba + ba+b ist eine reelle Zahl (d.h. die Addition zweier reeller Zahlen ergibt eine weitere reelle Zahl, auch bekannt als „Abschluss unter Addition“)
- a×ba \mal ba×b ist eine reelle Zahl („Abschluss unter Multiplikation“)
- a+b=b+aa + b = b + aa+b=b+a (d.d. h. wir können die Reihenfolge der Summanden vertauschen, bekannt als „Kommutativität der Addition“)
- (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)(a+b)+c=a+(b+c) (d. h. wir können in beliebiger Reihenfolge addieren, bekannt als „Assoziativität der Addition“)
- Es gibt eine reelle Zahl 000, so dass a+0=aa + 0 = aa+0=a (000 ist ein „additives Identitätselement“)
- Es gibt existiert eine reelle Zahl xxx, so dass a+x=0a + x = 0a+x=0 (xxx ist ein „additives inverses Element“)
- a×b=b×aa \mal b = b \mal aa×b=b×a („Kommutativität der Multiplikation“)
- (a×b)×c=a×(b×c)(a \mal b) \mal c = a \mal (b \mal c)(a×b)×c=a×(b×c) („Assoziativität der Multiplikation“)
- Es eine reelle Zahl 111, so dass a×1=aa \mal 1 = aa×1=a (1 ist eine „multiplikative Identität“)
- Es gibt eine reelle Zahl yyy, so dass a×y=1a \mal y = 1a×y=1, wenn aaa nicht Null ist (yyy ist ein „multiplikativer Kehrwert“)
- a×(b+c)=a×b+a×ca \mal (b + c) = a \mal b + a \mal ca×(b+c)=a×b+a×c („Distributivität“)
- 1≠01 \neq 01=0
- Die reellen Zahlen werden in positive und negative Teilmengen aufgeteilt
- Addieren und Multiplizieren von positiven Zahlen (d.e. Zahlen größer als 000) zusammen ergibt eine positive Zahl
- Jede reelle Zahl aaa ist entweder positiv (a>0a > 0a>0), negativ (a<0a < 0a<0), oder selbst Null (a=0a = 0a=0)
Fürs Erste können wir ein paar Werte für aaa, bbb und ccc einsetzen, um ein Gefühl dafür zu bekommen, warum jede dieser Eigenschaften gilt. Auch hier gibt es Möglichkeiten zu beweisen, dass die reellen Zahlen alle oben genannten Eigenschaften mit den Werkzeugen der modernen Algebra erfüllen, aber ohne diesen Hintergrund ist das, was wir oben haben, ein sehr zugänglicher Ausgangspunkt.
Auch müssen wir nicht alle oben genannten Eigenschaften in unserem Beweis verwenden, aber ich habe sie hier alle aufgelistet, weil eine (potentiell unendliche) Sammlung von Zahlen, die die ersten zwölf Eigenschaften erfüllen, einen besonderen Namen unter Mathematikern hat – ein „Feld“. Wenn diese Sammlung von Zahlen auch die letzten drei Eigenschaften erfüllt, nennt man sie ein „geordnetes Feld“. Im Wesentlichen gehen wir davon aus, dass die reellen Zahlen ein geordnetes Feld bilden.
Der Beweis
Zu Beginn unseres Beweises gehen wir von unserem Axiom aus – dass die reellen Zahlen ein geordnetes Feld bilden und folglich die fünfzehn obigen Eigenschaften erfüllen.
Zu Beginn wissen wir durch die obigen Eigenschaften (5) und (9), dass die reellen Zahlen 000 und 111 existieren. Durch die Eigenschaft (15) wissen wir, dass 111 entweder positiv, negativ oder Null ist. Durch Eigenschaft (12) wissen wir, dass 1≠01 \neq 01=0 ist. Damit bleiben zwei Möglichkeiten: entweder ist 111 positiv und 1>01 > 01>0; oder 111 ist negativ und 1<01 < 01<0.
Wir gehen nun mit einer Technik vor, die als „Beweis durch Widerspruch“ bekannt ist. Im Wesentlichen nehmen wir an, dass etwas, von dem wir zeigen wollen, dass es unwahr ist, wahr ist, und verwenden die angenommene Wahrheit, um etwas zu beweisen, von dem wir mit Sicherheit wissen, dass es unwahr ist. Die logische Konsequenz dieser Art von Manöver ist, dass es unmöglich sein muss, dass das, was wir als wahr angenommen haben, auch tatsächlich wahr ist, weil es zu einer Unmöglichkeit geführt hat. Daher muss es falsch sein.
Wenn wir mehrere Möglichkeiten zur Auswahl haben, von denen eine wahr sein muss, ist diese Taktik ein gutes Mittel, um die unmöglichen Möglichkeiten zu eliminieren und den Bereich der wirklichen Möglichkeiten einzugrenzen.
Wenn der Beweis durch Widerspruch kompliziert klingt, ist er es auch – aber er ist auch ein wichtiges mathematisches Werkzeug. Manchmal macht die Komplexität, etwas direkt – ohne Widerspruch – zu beweisen, das Problem so schwierig, dass es tatsächlich einfacher sein kann, zu zeigen, dass die alternativen Möglichkeiten einfach nicht wahr sein können.
Lassen Sie uns annehmen, dass 1<01 < 01<0 – dass 111 negativ ist – und zeigen, dass dies zu einer Unmöglichkeit führt. Eine mögliche Unmöglichkeit, die wir demonstrieren könnten, ist, dass diese Annahme impliziert, dass 1≥01 \geq 01≥0 ist, weil nach Eigenschaft (15) 111 nicht gleichzeitig kleiner als Null und größer oder gleich Null sein kann.
Nach Eigenschaft (6) gibt es eine reelle Zahl xxx, so dass 1+x=01 + x = 01+x=0.
Wir können xxx zu beiden Seiten addieren, um 1+x<0+x1 + x < 0 + x1+x<0+x zu erhalten.
Da Eigenschaft (5) besagt, dass 0+x=x0 + x = x0+x=x ist, können wir die Ungleichung zu 0<x0 < x0<x vereinfachen.
Wir können aber noch nicht sagen, dass xxx -1-1-1 sein muss – Eigenschaft (6) sagt nur, dass es eine reelle Zahl xxx gibt. Wir müssen es beweisen.
Ein Lemma ist eine Zwischenwahrheit, die wir verwenden können, um einen Beweis für ein größeres Ergebnis zu erbringen. Ob etwas als Theorem oder als Lemma bezeichnet wird, ist nicht unbedingt klar definiert, aber im Allgemeinen „helfen“ uns Lemmata zu beweisen, was wir wirklich wollen.
Lemma: Additive Umkehrelemente sind eindeutig
In unserem Fall, um zu beweisen, dass das xxx in Eigenschaft (6) eindeutig ist – genauer gesagt, dass es nur eine reelle Zahl xxx gibt, so dass 1+x=01 + x = 01+x=0 (und folglich, dass die reelle Zahl xxx -1-1-1 sein muss), können wir wieder durch Widerspruch vorgehen.
Angenommen, es gibt eine weitere reelle Zahl zzz, wobei z≠xz \neq xz=x, so dass 1+z=01 + z = 01+z=0. Betrachten wir nun den Ausdruck x+1+zx + 1 + zx+1+z. Da die Gleichheit reflexiv ist – das heißt, a=aa = aa=a für alle aaa – wissen wir, dass x+1+z=x+1+zx + 1 + z = x + 1 + zx+1+z=x+1+z.
Durch die Eigenschaft (4), die Assoziativität der Addition, können wir die Terme als (x+1)+z=x+(1+z)(x + 1) + z = x + (1 + z)(x+1)+z=x+(1+z) gruppieren.
Nach der Eigenschaft (3), der Kommutativität der Addition, können wir die erste Menge umformen und erhalten (1+x)+z=x+(1+z)(1 + x) + z = x + (1 + z)(1+x)+z=x+(1+z).
Da 1+x1 + x1+x und 1+z1 + z1+z beide gleich Null sind, haben wir 0+z=x+00 + z = x + 00+z=x+0, und nach Eigenschaft (5), dem additiven Identitätselement, z=xz = xz=x. Wir haben jedoch angenommen, dass z≠xz \neq xz=x ist, also haben wir einen Widerspruch!
Daher kann es nur eine reelle Zahl xxx geben, so dass 1+x=01 + x = 01+x=0. Wenn wir jede Instanz von 111 in den obigen Zeilen durch eine beliebige reelle Zahl aaa ersetzen, zeigt dieses Lemma, dass es für jede reelle Zahl aaa ein eindeutiges xxx gibt, so dass a+x=0a + x = 0a+x=0. Da dieses xxx eindeutig ist, können wir diesem xxx einen eindeutigen Namen geben, -a-a-a, was zu dem bekannten Begriff der Negative führt, wobei a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0. In unserem speziellen Fall zeigt dies, dass xxx gleich -1-1-1 sein muss.
Lemma: Negative Vorzeichen „annullieren“
Wenn man die Ergebnisse des obigen Lemmas anwendet, wird unsere Ungleichung von vorher, 0<x0 < x0<x, zu 0<-10 < -10<-1.
Nach der Eigenschaft (14) ist das Produkt von positiven Zahlen positiv, also 0<(-1)(-1)0 < (-1)(-1)0<(-1)(-1). Wir können aber noch nicht sagen, dass „zwei Negative sich gegenseitig aufheben“ – keines der Axiome impliziert das! Wir müssen noch beweisen, dass (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)=(1)(1). Wir brauchen ein weiteres Lemma.
Im allgemeinen Fall, für jede reelle Zahl aaa, müssen wir zeigen, dass (-a)(-a)=(a)(a)=a2(-a)(-a) = (a)(a) = a^2(-a)(-a)=(a)(a)=a2. Eigenschaft (6) – die Annahme, dass jedes Element eine additive Umkehrung hat – befasst sich mit negativen Vorzeichen und könnte einen interessanten Weg bieten, dies zu zeigen.
Wenn Sie das Gefühl haben, dass Sie den Dreh raus haben, können Sie hier aufhören und versuchen, die Axiome zu benutzen, um einige der Zwischenergebnisse selbst zu beweisen. Wenn du nicht weiterkommst, kannst du immer nach unten scrollen!
Da additive Inverse eindeutig sind, wissen wir, dass es eine eindeutige reelle Zahl -a2-a^2-a2 gibt, so dass a2+(-a2)=0a^2 + (-a^2) = 0a2+(-a2)=0.
Nach Eigenschaft (3), der Kommutativität der Addition, haben wir -a2+a2=0-a^2 + a^2 = 0-a2+a2=0.
Das vorige Lemma sagte uns, dass, wenn -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0 ist, xxx eindeutig ist. Wenn wir also einen Ausdruck der Form -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0 haben, müssen wir x=a2x = a^2x=a2 haben. Wenn wir also zeigen können, dass -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0, dann wissen wir sicher, dass (-a)(-a)=a2(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
Lassen Sie uns mit dem Ausdruck -a2+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a) arbeiten. Wir müssen irgendwie -a2-a^2-a2 in seine Bestandteile zerlegen, um ihn zu faktorisieren, also brauchen wir noch ein weiteres Lemma – um zu beweisen, dass -a2=-a(a)-a^2 = -a(a)-a2=-a(a).
Lemma: Produkt von Negativem und Positivem ist negativ
Für dieses Lemma nehmen wir einen ähnlichen Ansatz wie oben, indem wir die Einzigartigkeit additiver Inversionen verwenden, um zu zeigen, dass ein Produkt gleich einem anderen Produkt sein muss. Da -a2-a^2-a2 die eindeutige additive Inverse von a2a^2a2 ist, müssen wir, wenn wir zeigen, dass a2+(-a)(a)=0a^2 + (-a)(a) = 0a2+(-a)(a)=0, dann (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Beachte, dass a2=a(a)a^2 = a(a)a2=a(a) ist, also haben wir durch Eigenschaft (7), die Kommutativität der Multiplikation, a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a)a^2 + (-a)(a) = a(a) + a(-a)a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a).
Nach Eigenschaft (11) können wir a(a)+a(-a)a(a) + a(-a)a(a)+a(-a) in a(a+(-a))a(a + (-a))a(a+(-a)) faktorisieren.
Nach Eigenschaft (6) ist a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0, also haben wir a2+(-a)(a)=a0a^2 + (-a)(a) = a0a2+(-a)(a)=a0.
Wir wären fertig, wenn a0=0a0 = 0a0=0 wäre, aber das haben wir noch nicht bewiesen!
Lemma: Produkt mit 0 ist 0
Nach Eigenschaft (5) ist 0+0=00 + 0 = 00+0=0. Wir können also schreiben a0=a(0+0)a0 = a(0 + 0)a0=a(0+0).
Nach Eigenschaft (11) verteilt sich dies auf a0=a0+a0a0 = a0 + a0a0=a0+a0.
Nach Eigenschaft (6) gibt es eine eindeutige additive Inverse -a0-a0-a0 von a0a0a0, so dass wir sie zu beiden Seiten unserer Gleichung addieren können, um a0+(-a0)=a0+a0+(-a0)a0 + (-a0) = a0 + a0 + (-a0)a0+(-a0)=a0+a0+(-a0) zu erhalten.
Vereinfachend erhalten wir 0=a00 = a00=a0.
Alles zusammenfassen
Damit können wir schließen, dass a2+(-a)(a)=a0=0a^2 + (-a)(a) = a0 = 0a2+(-a)(a)=a0=0, also (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Wenn wir das in das vorherige Lemma einfügen, haben wir -a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a) = -a(a) + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a).
Nach Eigenschaft (11) können wir diesen Ausdruck dann faktorisieren in -a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a))-a^2 + (-a)(-a) = -a(a + (-a))-a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a)).
Nach Eigenschaft (6) ergibt sich durch Zusammensetzen der additiven Inversen -a2+(-a)(-a)=-a0-a^2 + (-a)(-a) = -a0-a2+(-a)(-a)=-a0, also -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0.
Damit ist (-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a) die eindeutige additive Inverse von -a2-a^2-a2, und damit ist (-a)(-a)=a2(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
Wenn wir den ganzen Weg nach oben abwickeln, sind wir bei 0<(-1)(-1)0 < (-1)(-1)0<(-1)(-1) stehen geblieben. Dieses letzte Lemma sagt uns, dass (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)=(1)(1). Nach Eigenschaft (9), dem multiplikativen Identitätselement, ist (1)(1)=1(1)(1) = 1(1)(1)=1. Wir haben also 0<10 < 10<1, also 1>01 > 01>0.
Das ist ein Widerspruch, denn wir haben angenommen, dass 1<01 < 01<0! Nach Eigenschaft (15) ist jede reelle Zahl entweder positiv, negativ oder Null – keine Zahl kann gleichzeitig positiv und negativ sein! Wir haben also eine Unmöglichkeit, und unsere ursprüngliche Annahme – 1<01 < 01<0 – kann nicht gelten. Wir können diese Möglichkeit ausschließen, so dass nur noch ein Fall übrig bleibt: 1>01 > 01>0. Da wir wissen, dass jede reelle Zahl in einen der drei Fälle fallen muss, und wir zwei davon ausgeschlossen haben, müssen wir 1>01 > 01>0 haben.
Wie Peter Thiel so schön sagte, wie frisch und seltsam.