Ein Perzentil ist eine Stelle in einer Verteilung, die eine bestimmte Menge (oder einen bestimmten Prozentsatz) der Verteilung „darunter“ (zu ihrer Linken) hat. Mit anderen Worten: Wenn das #n^“th „# Perzentil #x# ist und wir eine Zufallszahl #X# aus der Verteilung ziehen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass #X# kleiner als #x# ist, #n %#:
#n^“th“ “ Perzentil“ = x“ „#Mittelwert#“ “ P(X < x)=n%.#
Bei einer Standardnormalkurve (mit #mu = 0# und #sigma = 1#) ist beispielsweise der Punkt, an dem #x=0# (d.h.. die #y#-Achse) das 50. Perzentil, weil 50 % der Kurvenfläche links von #x=0# liegen:
Die Standardnormalverteilung #Z# ist eine so gute Ausgangsbasis, dass wir sogar eine Wertetabelle haben, die speziell für die Ermittlung von Perzentilen für diese Kurve entwickelt wurde. Sie wird #z#-Tabelle genannt und sieht in etwa so aus:
Wie wird sie verwendet? Nehmen wir an, wir wollen das 25. Perzentil für die Standardnormalverteilung. Wir suchen den Wert, der in der Tabelle am nächsten an 0,25 liegt (zufällig ist das 0,2514) und sehen, dass er in der Zeile #“-„0,6# und der Spalte #0,07# steht. Für diese Tabelle bedeutet das, dass das 25. Perzentil (ungefähr) #“-„0,67# ist.
Aber Moment – was hilft das, wenn wir ein Perzentil für eine beliebige Normalverteilung #X# suchen? Wir müssen eine Verbindung zwischen einer beliebigen Kurve und der Standardnormalkurve finden. Diese Verbindung findet man, indem man die #X#-Verteilung von links nach rechts verschiebt, so dass sie bei #0# zentriert ist, und sie dann streckt/quillt, so dass ihre Standardabweichung #1# ist. Die Formel hierfür lautet:
#Z=(X-mu)/sigma#
wobei #mu# der Mittelwert von #X# und #sigma# die Standardabweichung von #X# ist.
Wenn wir das gewünschte Perzentil aus der #Z#-Verteilung kennen, können wir #X# lösen, indem wir die Gleichung umstellen in
#X=sigma Z + mu#.
Als Beispiel nehmen wir die erste von Ihnen gestellte Frage, bei der #X# normalverteilt ist mit #mu = 81,2# und #sigma = 12,4#, und wir suchen das 16. Perzentil.
Aus der obigen Tabelle ergibt sich, dass das 16. Perzentil der #Z#-Verteilung ungefähr #“-„0,99# ist. Die entsprechende Stelle in unserer #X#-Verteilung ist dann:
#X=(12,4)(„-„0,99)+81,2#
#Farbe(weiß)X=“-„12,276+81.2#
#color(white)X=68.924#
Das bedeutet: Wenn #X# eine Normalkurve mit #mu=81.2 “ feet „# und #sigma = 12.4 “ Fuß „#, dann besteht eine 16%ige Chance, dass eine Beobachtung von #X# kleiner als #68,924 “ Fuß „# ist.
Ich überlasse Ihnen den Rest als Übung; mit den obigen Formeln sollte es nicht so schwer sein.
Ich hoffe, das hilft!