Modellierung eines WindkesselsBearbeiten
Die Windkesselphysiologie ist nach wie vor eine relevante, aber veraltete Beschreibung von großem klinischen Interesse. Die historisch-mathematische Definition von Systole und Diastole im Modell ist natürlich nicht neu, aber sie wird hier elementar auf vier Stufen abgestuft. Das Erreichen von fünf wäre eine originelle Arbeit.
Zwei-Elemente-Bearbeitung
Es wird angenommen, dass das Verhältnis von Druck zu Volumen konstant ist und dass der Ausfluss aus dem Windkessel proportional zum Flüssigkeitsdruck ist. Der volumetrische Zufluss muss gleich der Summe aus dem im kapazitiven Element gespeicherten Volumen und dem volumetrischen Abfluss durch das Widerstandselement sein. Diese Beziehung wird durch eine Differentialgleichung beschrieben:
I ( t ) = P ( t ) R + C d P ( t ) d t {\displaystyle I(t)={P(t) \over R}+C{dP(t) \over dt}}
I(t) ist der volumetrische Zufluss durch die Pumpe (Herz) und wird in Volumen pro Zeiteinheit gemessen, während P(t) der Druck in Bezug auf die Zeit ist, gemessen in Kraft pro Flächeneinheit, C das Verhältnis von Volumen zu Druck für den Windkessel ist und R der Widerstand ist, der den Ausfluss mit dem Flüssigkeitsdruck verbindet. Dieses Modell ist identisch mit der Beziehung zwischen Strom, I(t), und elektrischem Potential, P(t), in einem elektrischen Schaltkreis, der dem Zwei-Elemente-Windkessel-Modell entspricht.
Beim Blutkreislauf wird davon ausgegangen, dass die passiven Elemente im Schaltkreis die Elemente des Herz-Kreislauf-Systems darstellen. Der Widerstand R steht für den gesamten peripheren Widerstand und der Kondensator C für die gesamte arterielle Compliance.
Während der Diastole gibt es keinen Blutzufluss, da die Aorten- (oder Pulmonalklappe) geschlossen ist, so dass der Windkessel für P(t) gelöst werden kann, da I(t) = 0 ist:
P ( t ) = P ( t d ) e – ( t – t d ) ( R C ) {\displaystyle P(t)=P(t_{d})e^{-(t-t_{d}) \over (RC)}}
wobei td der Zeitpunkt des Beginns der Diastole und P(td) der Blutdruck zu Beginn der Diastole ist. Dieses Modell ist nur eine grobe Annäherung an den arteriellen Kreislauf; realistischere Modelle enthalten mehr Elemente, liefern realistischere Schätzungen der Blutdruckwellenform und werden weiter unten erörtert.
Drei-Elemente-Bearbeitung
Der Drei-Elemente-Windkessel verbessert das Zwei-Elemente-Modell, indem er ein weiteres Widerstandselement enthält, um den Widerstand gegen den Blutfluss aufgrund des charakteristischen Widerstands der Aorta (oder der Lungenarterie) zu simulieren. Die Differentialgleichung für das 3-Elemente-Modell lautet:
( 1 + R 1 R 2 ) I ( t ) + C R 1 d I ( t ) d t = P ( t ) R 2 + C d P ( t ) d t {\displaystyle (1+{R_{1} \over R_{2}})I(t)+CR_{1}{dI(t) \over dt}={P(t) \over R_{2}}+C{dP(t) \over dt}}
wobei R1 der charakteristische Widerstand ist (es wird angenommen, dass er dem Wellenwiderstand entspricht), während R2 den peripheren Widerstand darstellt. Dieses Modell wird weithin als akzeptables Modell des Kreislaufs verwendet. Es wurde beispielsweise zur Bewertung des Blutdrucks und des Blutflusses in der Aorta eines Kükenembryos und in der Lungenarterie eines Schweins verwendet und bildet die Grundlage für die Konstruktion von physikalischen Modellen des Kreislaufs, die realistische Belastungen für experimentelle Studien an isolierten Herzen liefern.
Vier-Element-Bearbeitung
Das 3-Element-Modell überschätzt die Compliance und unterschätzt die charakteristische Impedanz des Kreislaufs. Das Vier-Elemente-Modell enthält einen Induktor, L, der eine Masse pro Länge hat ( M l 4 {\displaystyle {M \over l^{4}}}
), in die proximale Komponente des Kreislaufs ein, um die Trägheit des Blutflusses zu berücksichtigen. In den Zwei- und Dreielementmodellen wird dies vernachlässigt. Die entsprechende Gleichung lautet:
( 1 + R 1 R 2 ) I ( t ) + ( R 1 C + L R 2 ) d I ( t ) d t + L C d 2 I ( t ) d t 2 = P ( t ) R 2 + C d P ( t ) d t {\displaystyle (1+{R_{1} \over R_{2}})I(t)+(R_{1}C+{L \over R_{2}}){dI(t) \over dt}+LC{d^{2}I(t) \over dt^{2}}={P(t) \over R_{2}}+C{dP(t) \over dt}}
