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ORDEN STATA

Modelos de conmutación de Markov

¿De qué se trata?

A veces, los procesos evolucionan en el tiempo con cambios discretos en los resultados.

Piense en las recesiones y expansiones económicas. Al comienzo de una recesión, la producción y el empleo caen y se mantienen bajos, y luego, más tarde, la producción y el empleo aumentan. Piensa en los trastornos bipolares en los que hay periodos maníacos seguidos de periodos depresivos, y el proceso se repite. Estadísticamente, las medias, las varianzas y otros parámetros cambian a lo largo de los episodios (regímenes). Nuestro problema es estimar cuándo cambian los regímenes y los valores de los parámetros asociados a cada régimen. Preguntar cuándo cambian los regímenes es equivalente a preguntar cuánto tiempo persisten los regímenes.

En los modelos de transición de Markov, además de estimar las medias, varianzas, etc. de cada régimen, estimamos también la probabilidad de cambio de régimen. Las probabilidades de transición estimadas para algún problema podrían ser, las siguientes:

Comienza en el estado 1. La probabilidad de pasar del estado 1 al estado 1 es de 0,82. Dicho de otro modo, una vez en el estado 1, el proceso tiende a permanecer allí. Sin embargo, con una probabilidad de 0,18, el proceso transita al estado 2. El estado 2 no es tan persistente. Con una probabilidad de 0,75, los procesos vuelven a pasar del estado 2 al estado 1 en el siguiente periodo de tiempo.

Los modelos de conmutación de Markov no se limitan a dos regímenes, aunque los modelos de dos regímenes son comunes.

En el ejemplo anterior, describimos la conmutación como abrupta; la probabilidad cambió instantáneamente. Estos modelos de Markov se denominan modelos dinámicos. Los modelos de Markov también pueden acomodar cambios más suaves modelando las probabilidades de transición como un proceso autorregresivo.

Así, el cambio puede ser suave o abrupto.

Veamos cómo funciona

Examinemos los cambios de media entre regímenes. En particular, analizaremos el tipo de interés de los fondos federales. El Tipo de los Fondos Federales es el tipo de interés que el banco central de los Estados Unidos cobra a los bancos comerciales por los préstamos a un día. Vamos a analizar las variaciones del tipo de los fondos federales desde 1954 hasta finales de 2010. Estos son los datos:

Tenemos datos trimestrales. Los tipos de interés altos parecen caracterizar los años setenta y ochenta. Vamos a suponer que hay otro régimen de tipos de interés más bajos que parecen caracterizar las otras décadas.

Para ajustar un modelo de cambio dinámico (cambio brusco) con dos regímenes, escribimos

. mswitch dr fedfundsPerforming EM optimizaton:Performing gradient-based optimization:

Markov-switching dynamic regressionMuestra: 1954q3 – 2010q4 No. de obs = 226Número de estados = 2 AIC = 4,5455Probabilidades incondicionales: transición HQIC = 4,5760 SBIC = 4,6211Log likelihood = -508.63592

En la salida anterior se reportan

• las medias de los dos estados (_cons);
• una única desviación estándar para todo el proceso (sigma); y
• las probabilidades de transición del estado 1 al 1 y del estado 2 al 1 (p11 y p21).

El estado1 es el estado moderado (media de 3,71%).

El estado2 es el estado de tasa alta (media de 9,56%).

Ambos estados son increíblemente persistentes (probabilidades 1->1 y 2->2 de 0,98 y 0,95).

Entre las cosas que se pueden predecir tras la estimación está la probabilidad de estar en los distintos estados. Sólo tenemos dos estados, y por lo tanto la probabilidad de estar en (digamos) el estado 2 nos dice la probabilidad para ambos estados. Podemos obtener la probabilidad predicha y graficarla junto con los datos originales:

. predict prfed, pr

El modelo tiene poca incertidumbre en cuanto al régimen en cada momento. Vemos tres periodos de estados de tasa alta y cuatro periodos de estados de tasa moderada.

Veamos cómo funciona

Veamos un ejemplo de brote de enfermedad, concretamente las paperas por cada 10.000 residentes en la ciudad de Nueva York entre 1929 y 1972. Se podría pensar que los brotes se corresponden con cambios en la media, pero lo que vemos en los datos es un cambio aún mayor en la varianza:

Graficamos la variable S12.mumpspc, que significa casos de paperas per cápita diferenciados estacionalmente en un periodo de 12 meses, y vamos a analizar S12.mumpspc.

Vamos a suponer dos regímenes en los que la media y la varianza de S12.mumpspc cambian. Para ajustar un modelo dinámico (de cambio brusco), escribimos

. mswitch dr S12.mumpspc, varswitch switch(LS12.mumpspc, noconstant)Performing EM optimizaton:Performing gradient-based optimization:

Markov-switching dynamic regressionMuestra: 1929m2 – 1972m6 No. de obs = 521Número de estados = 2 AIC = -0,4826Probabilidades incondicionales: transición HQIC = -0,4634 SBIC = -0,4336Log likelihood = 131,7225

Se reportan

• las medias de los dos estados de S12.mumpspc (0,42 y 0,98);
• las desviaciones estándar de los dos estados (0,06 y 0,26); y
• las probabilidades de transición del estado 1 al 1 y del estado 2 al 1 (0,76 y 0,15).

El estado 1 es el estado de baja varianza.

El conjunto completo de probabilidades de transición es el siguiente: