BioMath:Allometry

¿Qué es la alometría?

La alometría es el estudio del cambio relativo en la proporción de un atributo comparado con otro durante el crecimiento del organismo. Estos atributos pueden ser morfológicos, fisiológicos o de otro tipo. Un ejemplo bien conocido de una relación alométrica es la masa esquelética y la masa corporal. En concreto, el esqueleto de un organismo más grande será relativamente más pesado que el de un organismo más pequeño. Por supuesto, parece obvio que los organismos más pesados requieren esqueletos más pesados. Pero, ¿está igualmente claro que los organismos más pesados requieren esqueletos desproporcionadamente más pesados? ¿Cómo funciona esta relación? Considere los siguientes datos:

• un organismo de 10 kg puede necesitar un esqueleto de 0,75 kg,
• un organismo de 60 kg puede necesitar un esqueleto de 5,3 kg, y sin embargo
• un organismo de 110 kg puede necesitar un esqueleto de 10,2 kg.

Como se puede ver al inspeccionar estos números, los cuerpos más pesados necesitan esqueletos relativamente más robustos para soportarlos. No hay un aumento constante de la masa esquelética por cada 50 kg de aumento de la masa corporal; la masa esquelética aumenta de forma desproporcionada a la masa corporal .

Las leyes de escala alométrica se derivan de datos empíricos. Los científicos interesados en descubrir estas leyes miden un atributo común, como la masa corporal y el tamaño del cerebro de los mamíferos adultos, en muchos taxones . A continuación, se extraen los datos en busca de relaciones a partir de las cuales se escriben las ecuaciones.

Crecimiento alométrico

Las relaciones de escala alométrica pueden describirse mediante una ecuación alométrica de la forma,
	f (s) = c s d,		(1)
donde c y d son constantes. Las variables s y f (s) representan los dos atributos diferentes que estamos comparando (por ejemplo, la masa corporal y la masa esquelética).

Esta ecuación puede utilizarse para entender la relación entre dos atributos. En concreto, la constante d en este modelo determina las tasas de crecimiento relativas de los dos atributos representados por s y f (s). Para simplificar, consideremos el caso d > 0 solamente.

• Si d > 1, el atributo dado por f (s) aumenta de forma desproporcionada al atributo dado por s. Por ejemplo, si s representa el tamaño del cuerpo, entonces f (s) es relativamente más grande para los cuerpos más grandes que para los más pequeños.
• Si 0 < d < 1, el atributo f (s) aumenta con el atributo s, pero lo hace a un ritmo más lento que el de la proporcionalidad.
• Si d = 1, entonces el atributo f (s) cambia como una proporción constante del atributo s. Este caso especial se llama isometría, en lugar de alometría.

Usando ecuaciones alométricas

Nótese que (1) es una función de potencia no una ecuación exponencial (la constante d está en la posición del exponente en lugar de la variable s). A diferencia de otras aplicaciones en las que necesitamos logaritmos para ayudarnos a resolver la ecuación, aquí utilizamos logaritmos para simplificar la ecuación alométrica en una ecuación lineal. Así es como funciona Reescribimos (1) como una ecuación logarítmica de la forma,
	log (f (s)) = log (c s d).		(2)
Entonces, utilizando las propiedades de los logaritmos, podemos reordenar (2) como sigue,
	log (f)	= log c + log (s d),
		= log c + d log s.	(3)
Cuando cambiamos las variables dejando,
	y	= log f,
	b	= log c,
	m	= d,
	x	= log s.
se puede ver que (3) es de hecho la ecuación lineal
	y	= mx + b.	(4)
Por tanto, al transformar una ecuación alométrica en su equivalente logarítmico se obtiene una ecuación lineal. ¿Por qué molestarse? Al reescribir la ecuación alométrica en una ecuación logarítmica, podemos calcular fácilmente los valores de las constantes c y d a partir de un conjunto de datos experimentales. Si trazamos log s en el eje x y log f en el eje y, deberíamos ver una línea con pendiente igual a d e intersección y igual a log c. Recuerda que las variables x e y están realmente en una escala logarítmica (ya que x = log s e y = log f). Llamamos a un gráfico de este tipo un gráfico log-log. Debido a que las ecuaciones alométricas se derivan de datos empíricos, se debe tener cuidado con los datos dispersos alrededor de una línea de mejor ajuste en el plano xy de una gráfica log-log. Las pequeñas desviaciones de una línea de mejor ajuste son en realidad más grandes de lo que pueden parecer. Recuerde que, como las variables x e y están en la escala logarítmica, los cambios lineales en las variables de salida (x e y) corresponden a cambios exponenciales en las variables de entrada (f (s) y s). Dado que en última instancia estamos interesados en una relación entre f y s, debemos preocuparnos incluso por las pequeñas desviaciones de una línea de mejor ajuste.

Ahora volvamos a nuestro cangrejo violinista como ejemplo concreto.