Cada vez que creamos algo nuevo, pasamos de 0 a 1. El acto de crear es singular, como lo es el momento de la creación, y el resultado es algo fresco y extraño.
Peter Thiel, Zero to One
Un estudio de 1992 publicado en Nature trabajó con bebés de cinco meses para determinar su capacidad de comprensión de la suma y la resta. Los experimentadores mostraban a los bebés un objeto, lo ocultaban detrás de una pantalla y luego hacían que los bebés observaran cómo añadían un objeto adicional detrás de la pantalla. Durante algunos ensayos, los experimentadores retiraban subrepticiamente el objeto adicional. Incluso a esa edad, los bebés sabían que algo iba mal cuando veían que se añadían «cero objetos más» al grupo en lugar de «un objeto más».
En su mayor parte, ésta es la intuición innata que nos acompañó en nuestras primeras clases de matemáticas. Si tuvimos suerte (o mala suerte, según a quién se le pregunte), tuvimos nuestro primer contacto con la formalización de esta intuición en la geometría de la escuela media o secundaria. Empezando con proposiciones llamadas «axiomas» -cosas que dábamos por sentadas como verdaderas- nos obligaban a considerar cómo nuestra intuición se derivaba de estos axiomas, y construíamos «pruebas» matemáticas formales, aunque básicas, para resultados como la Ley de los Cosenos o la congruencia de dos triángulos.
Si lo has olvidado, la Ley de los Cosenos dice que c2=a2+b2-2abcos(C)c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(C)c2=a2+b2-2abcos(C), donde aaa, bbb, y ccc son las longitudes de los lados de un triángulo y CCC es el ángulo opuesto al lado ccc. Si se introducen 90 grados para CCC, se obtiene el teorema de Pitágoras.
En esa primera clase de geometría, se nos dijo lo que podíamos dar por cierto, pero ¿nos hemos parado alguna vez a preguntarnos por qué?
¿Quién decidió qué podíamos dar por cierto exactamente? ¿Por qué estos axiomas específicos? ¿Por qué no podíamos suponer que la ley de los cosenos era cierta, y por qué teníamos que demostrarlo?
Los matemáticos han reflexionado mucho sobre estas cuestiones, y el consenso de la comunidad no es necesariamente sobre los axiomas específicos que damos por ciertos, sino sobre un principio: mantener el número de suposiciones al mínimo. Esto es similar a una famosa técnica de resolución de problemas conocida como la navaja de Occam: «Cuando se presentan hipótesis que compiten para resolver un problema, uno debe seleccionar la solución con el menor número de supuestos».
Determinación de los axiomas
El problema de llegar a un conjunto mínimo de axiomas del que se deriven todas las matemáticas es más difícil de lo que parece. Los matemáticos han trabajado durante años para lograrlo, y el intento más famoso fue el Principia Mathematica, publicado en 1913 por los matemáticos Alfred North Whitehead y Bertrand Russell. En 1931, sin embargo, el lógico Kurt Gödel demostró que cualquier sistema de este tipo era imposible; en pocas palabras, cualquier elección de axiomas sería incompleta e incapaz de demostrar todas las matemáticas, o inconsistente, y podría utilizarse para demostrar contradicciones.
No obstante, las matemáticas tienen que empezar por algún sitio, y por ello los matemáticos han definido axiomas específicos para las especializaciones en las que trabajan, como la geometría (pensemos en los axiomas de Euclides). Estos axiomas especializados son lo que los geómetras, algebristas y demás han decidido que son el conjunto mínimo de supuestos que necesitan para hacer un trabajo productivo y sacar conclusiones válidas.
Es a través de estos axiomas que podemos demostrar rigurosamente que 1 es de hecho mayor que 0 – no a partir de nociones nebulosas como la «intuición», sino a partir de una base matemática sólida construida sobre el consenso axiomático de la comunidad matemática.
De hecho, tal vez esto es lo que diferencia nuestra capacidad mental de la de los niños de cinco meses.
A modo de nota al margen, desafiar las convenciones y explorar las consecuencias de los axiomas alternativos ha llevado a la creación de nuevas ramas de las matemáticas. Un ejemplo es la geometría esférica, que tira por la ventana los fundamentos euclidianos tradicionales. En una esfera, por ejemplo, los ángulos de un triángulo pueden sumar más de 180 grados.
Los axiomas que necesitamos
«Dios hizo los números naturales; todo lo demás es obra del hombre.»
Leopold Kronecker, matemático alemán
Cuando digo «conjunto mínimo de supuestos», hay muchos niveles diferentes de «mínimo» por los que podemos empezar. Nuestro nivel fundacional de abstracción podría ser potencialmente que todo lo que tenemos para trabajar son los números naturales – 1,2,3,…1, 2, 3, …1,2,3,… – como parece que defiende Kronecker. Alternativamente, podemos simplemente tomar 1>01 > 01>0 como un axioma.
Podríamos ir en varias direcciones con el primer enfoque. Están los axiomas de Peano, que son un conjunto de axiomas sobre los números naturales que pretenden describir completamente su comportamiento. Estos axiomas son casi como las Leyes de Newton: no se construyen, sino que son una descripción de las propiedades «naturales» de los números naturales. En este enfoque, simplemente definimos el orden de los números naturales, por lo que concluimos 1>01 > 01>0 por construcción.
Definimos la ordenación de los números naturales como: para números naturales aaa y bbb, a≤ba \leq ba≤b si y sólo si a+c=ba + c = ba+c=b para algún número natural ccc.
Es válido, pero hasta cierto punto parece un golpe bajo – estamos esencialmente definiendo nuestro resultado en la existencia.
Por otro lado, podríamos intentar demostrar 1>01 >01>0 en los números reales. Sin embargo, partir de los fundamentos en esta dirección es casi «demasiado cerca del hardware», y pasar de los naturales (1,2,31, 2, 31,2,3, etc.) a los reales (por ejemplo, 2,π,3\sqrt{2}, \pi, 32,π,3) requiere el uso de conceptos como las secuencias de Cauchy, las clases de equivalencia, y más – herramientas que requieren una profunda formación en álgebra moderna (que por desgracia, me falta).
Tomar el último enfoque, axiomatizando nuestra conclusión de que 1>01 >01>0 en la verdad, sería como comer el postre antes de la cena.
El enfoque que encontré más esclarecedor – accesible pero satisfactoriamente riguroso – fue presentado en mi clase de introducción al análisis en la Universidad de Michigan por el profesor Stephen DeBacker. Empezaremos en un nivel de abstracción que sea fácilmente comprensible -pero suficientemente separado lógicamente de nuestro resultado- de modo que podamos ver de primera mano cómo nuestros supuestos básicos pueden utilizarse para formalizar la conclusión aparentemente sencilla que pretendemos. Además, nuestras suposiciones básicas serán las mismas que utilizan los especialistas en los campos del álgebra moderna y el análisis real, por lo que diría que está justificado que elijamos este lugar como punto de partida.
Nuestra «suposición mínima» es que los números reales satisfacen las siguientes propiedades, donde aaa, bbb y ccc son números reales arbitrarios. El término comúnmente utilizado por la comunidad matemática para referirse a cada propiedad aparece entre paréntesis al lado de cada una.
- a+ba + ba+b es un número real (es decir la suma de dos números reales da como resultado otro número real, también conocido como «cierre bajo adición»)
- a×ba \times ba×b es un número real («cierre bajo multiplicación»)
- a+b=b+aa + b = b + aa+b=b+a (i.es decir, podemos cambiar el orden de los sumandos, lo que se conoce como «conmutatividad de la suma»)
- (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)(a+b)+c=a+(b+c) (es decir podemos sumar en cualquier orden, conocido como «asociatividad de la adición»)
- Existe un número real 000 tal que a+0=aa + 0 = aa+0=a (000 es un «elemento aditivo de identidad»)
- Existe existe un número real xxx tal que a+x=0a + x = 0a+x=0 (xxx es un «elemento aditivo inverso»)
- a×b=b×aa \times b = b \times aa×b=b×a («conmutatividad de multiplicación»)
- (a×b)×c=a×(b×c)(a veces b) \N- veces c = a veces (b veces c)(a×b)×c=a×(b×c) («asociatividad de la multiplicación»)
- Existe un número real 111 existe un número real 111 tal que a×1=aa \times 1 = aa×1=a (1 es una «identidad multiplicativa»)
- Existe un número real yyy tal que a×y=1a \times y = 1a×y=1, cuando aaa no es cero (yyy es una «inversa multiplicativa»)
- a×(b+c)=a×b+a×ca \times (b + c) = a \times b + a \times ca×(b+c)=a×b+a×c («distributividad»)
- 1≠01 \neq 01=0
- Los números reales están separados en subconjuntos positivos y negativos
- Sumando y multiplicando números positivos (i.e. números mayores que 000) juntos da como resultado un número positivo
- Todo número real aaa es positivo (a>0a > 0a>0), negativo (a<0a < 0a<0) o el propio cero (a=0a = 0a=0)
Por ahora, podemos introducir algunos valores de aaa, bbb y ccc para intuir por qué se cumplen cada una de estas propiedades. De nuevo, hay formas de demostrar que los números reales satisfacen todas las propiedades anteriores utilizando herramientas del álgebra moderna, pero sin ese bagaje, lo que tenemos arriba es un punto de partida muy accesible.
Además, no necesitaremos utilizar todas las propiedades dadas arriba en nuestra demostración, pero las he enumerado todas aquí porque una colección (potencialmente infinita) de números que satisfacen las primeras doce propiedades tiene un nombre especial entre los matemáticos: un «campo». Si esa colección de números también satisface las tres últimas propiedades, se llama «campo ordenado». Esencialmente, nuestra suposición es que los números reales forman un campo ordenado.
La prueba
Para empezar nuestra prueba, asumimos nuestro axioma – que los números reales forman un campo ordenado, y en consecuencia cumplen las quince propiedades anteriores.
Para empezar, por las propiedades (5) y (9) anteriores, sabemos que los números reales 000 y 111 existen. Por la propiedad (15), sabemos que 111 es positivo, negativo o cero. Por la propiedad (12), sabemos que 1≠01 \neq 01=0. Eso deja dos posibilidades: o bien 111 es positivo, y 1>01 > 01>0; o bien 111 es negativo, y 1<01 < 01<0.
Ahora procedemos mediante una técnica conocida como «prueba por contradicción». Esencialmente, asumimos que algo que queremos demostrar que es falso es cierto, y utilizamos la verdad asumida para demostrar algo que sabemos con seguridad que es falso. La consecuencia lógica de este tipo de maniobra es que debe ser imposible que la cosa que asumimos como verdadera sea efectivamente verdadera, porque llevó a una imposibilidad. Por lo tanto, debe ser falso.
Si tenemos unas cuantas posibilidades entre las que elegir, una de las cuales debe ser verdadera, esta táctica es una buena manera de eliminar las opciones imposibles y reducir el alcance de cuál es la posibilidad real.
Si la prueba por contradicción suena complicada, lo es – pero también es una herramienta matemática esencial. A veces, la complejidad de probar algo directamente -sin contradicción- hace que el problema sea lo suficientemente difícil como para que en realidad pueda ser más fácil demostrar que las posibilidades alternativas simplemente no pueden ser ciertas.
Supongamos que 1<01 <01<0 -que 111 es negativo- y demostremos que conduce a una imposibilidad. Una imposibilidad potencial que podríamos demostrar es que esta suposición implica que 1≥01 \geq 01≥0, porque por la propiedad (15), 111 no puede ser menor que cero y mayor o igual que cero al mismo tiempo.
Por la propiedad (6), existe un número real xxx tal que 1+x=01 + x = 01+x=0.
Podemos sumar xxx a ambos lados para obtener 1+x<0+x1 + x < 0 + x1+x<0+x.
Como la propiedad (5) nos dice que 0+x=x0 + x = x0+x=x, podemos simplificar la desigualdad a 0<x0 < x0<x.
No podemos decir todavía que xxx debe ser -1-1-1, sin embargo – la propiedad (6) sólo dice que existe un número real xxx. Necesitamos demostrarlo.
Un lema es una verdad intermedia que podemos utilizar para demostrar un resultado mayor. Que algo se llame teorema o lema no está necesariamente bien definido, pero en general los lemas nos «ayudan» a demostrar lo que realmente queremos.
Lema: Los elementos inversos aditivos son únicos
En nuestro caso, para demostrar que el xxx de la propiedad (6) es único -en concreto, que sólo existe un número real xxx tal que 1+x=01 + x = 01+x=0 (y en consecuencia, que el número real xxx debe ser -1-1-1), podemos proceder de nuevo por contradicción.
Supongamos que existe otro número real zzz, donde z≠xz \neq xz=x, tal que 1+z=01 + z = 01+z=0. Consideremos ahora la expresión x+1+zx + 1 + zx+1+z. Como la igualdad es reflexiva -es decir, a=aa = aa=a para todo aaa- sabemos que x+1+z=x+1+zx + 1 + z = x + 1 + zx+1+z=x+1+z.
Por la propiedad (4), asociatividad de la suma, podemos agrupar los términos como (x+1)+z=x+(1+z)(x + 1) + z = x + (1 + z)(x+1)+z=x+(1+z).
Por la propiedad (3), conmutatividad de la suma, podemos reordenar la primera cantidad para obtener (1+x)+z=x+(1+z)(1 + x) + z = x + (1 + z)(1+x)+z=x+(1+z).
Como 1+x1 + x1+x y 1+z1 + z1+z son ambos iguales a cero, tenemos que 0+z=x+00 + z = x + 00+z=x+0, y por la propiedad (5), el elemento aditivo de identidad, z=xz = xz=x. Sin embargo, asumimos que z≠xz \neq xz=x, por lo que tenemos una contradicción¡
Por tanto, sólo puede existir un número real xxx tal que 1+x=01 + x = 01+x=0. Si sustituimos cada instancia de 111 en las líneas anteriores por un número real arbitrario aaa, este lema demuestra que para cualquier número real aaa, existe un único xxx tal que a+x=0a + x = 0a+x=0. Dado que este xxx es único, podemos dar con seguridad a este xxx un nombre único, -a-a-a, dando lugar a la noción familiar de negativos, donde a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0. En nuestro caso concreto, esto demuestra que xxx debe ser igual a -1-1-1.
Lemma: Los signos negativos se «cancelan»
Aplicando los resultados del lema anterior, nuestra desigualdad de antes, 0<x0 < x0<x, se convierte en 0<-10 < -10<-1.
Por la propiedad (14), el producto de números positivos es positivo, así que 0<(-1)(-1)0 <(-1)(-1)0<(-1)(-1). Sin embargo, no podemos decir todavía que «dos negativos se anulan», ¡ninguno de los axiomas lo implica! Tenemos que demostrar que (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)=(1)(1). Necesitaremos otro lema.
En el caso general, para cualquier número real aaa, necesitamos demostrar que (-a)(-a)=(a)(a)=a2(-a)(-a) = (a)(a) = a^2(-a)(-a)=(a)(a)=a2. La propiedad (6) -la suposición de que cada elemento tiene un inverso aditivo- se ocupa de los signos negativos, y podría proporcionar una vía interesante para demostrar esto.
Si sientes que estás entendiendo las cosas, no dudes en detenerte aquí y tratar de usar los axiomas para demostrar algunos de los resultados intermedios por tu cuenta. Si te quedas atascado, ¡siempre puedes desplazarte hacia abajo!
Dado que los inversos aditivos son únicos, sabemos que hay un único número real -a2-a^2-a2 tal que a2+(-a2)=0a^2 + (-a^2) = 0a2+(-a2)=0.
Por la propiedad (3), la conmutatividad de la suma, tenemos que -a2+a2=0-a^2 + a^2 = 0-a2+a2=0.
El lema anterior nos decía que si -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0, entonces xxx es único, por lo que si tenemos una expresión de la forma -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0, debemos tener x=a2x = a^2x=a2. Así, si podemos demostrar que -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0, sabremos con seguridad que (-a)(-a)=a2(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
Trabajemos con la expresión -a2+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a). Necesitamos dividir de alguna manera -a2-a^2-a2 en sus términos constitutivos para factorizarla, así que necesitamos otro lema más: demostrar que -a2=-a(a)-a^2 = -a(a)-a2=-a(a).
Lemma: Producto de negativo y positivo es negativo
Para este lema, tomaremos un enfoque similar al que empezamos arriba, usando la unicidad de los inversos aditivos para mostrar que un producto debe ser igual a otro producto. Como -a2-a^2-a2 es el único inverso aditivo de a2a^2a2, si demostramos que a2+(-a)(a)=0a^2 + (-a)(a) = 0a2+(-a)(a)=0, entonces (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Nótese que a2=a(a)a^2 = a(a)a2=a(a), así que por la propiedad (7), la conmutatividad de la multiplicación, tenemos a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a)a^2 + (-a)(a) = a(a) + a(-a)a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a).
Por la propiedad (11), podemos factorizar a(a)+a(-a)a(a) + a(-a)a(a)+a(-a) en a(a+(-a))a(a + (-a))a(a+(-a)).
Por la propiedad (6), a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0, por lo que tenemos a2+(-a)(a)=a0a^2 + (-a)(a) = a0a2+(-a)(a)=a0.
Habríamos terminado si a0=0a0 = 0a0=0, ¡pero aún no lo hemos demostrado!
Lemma: El producto con 0 es 0
Por la propiedad (5), 0+0=00 + 0 = 00+0=0. Así, podemos escribir a0=a(0+0)a0 = a(0 + 0)a0=a(0+0).
Por la propiedad (11), esto distribuye a a0=a0+a0a0 = a0 + a0a0=a0+a0.
Por la propiedad (6), existe un único inverso aditivo -a0-a0-a0 de a0a0a0, por lo que podemos sumarlo a ambos lados de nuestra ecuación para obtener a0+(-a0)=a0+a0+(-a0)a0 + (-a0) = a0 + a0 + (-a0)a0+(-a0)=a0+a0+(-a0).
Simplificando, obtenemos 0=a00 = a00=a0.
Juntando todo
Con eso, podemos concluir que a2+(-a)(a)=a0=a^2 + (-a)(a) = a0 = 0a2+(-a)(a)=a0=0, así que (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Trayendo esto al lema anterior, tenemos -a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a) = -a(a) + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a).
Por la propiedad (11), podemos entonces factorizar esta expresión en -a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a))-a^2 + (-a)(-a) = -a(a + (-a))-a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a)).
Por la propiedad (6), juntando los inversos aditivos, tenemos -a2+(-a)(-a)=-a0-a^2 + (-a)(-a) = -a0-a2+(-a)(-a)=-a0, por lo que -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0.
Por tanto, (-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a) es el único inverso aditivo de -a2-a^2-a2, y por tanto (-a)(-a)=a2(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
Desenvolviendo todo el camino hacia arriba, lo dejamos en 0<(-1)(-1)0 <(-1)(-1)0<(-1)(-1). Este último lema nos dice que (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)=(1)(1). Por la propiedad (9), el elemento de identidad multiplicativa, (1)(1)=1(1)(1) = 1(1)(1)=1. Así, tenemos 0<10 < 10<1, por lo que 1>01 > 01>0.
¡Esto es una contradicción, porque suponíamos que 1<01 < 01<0! Por la propiedad (15), todo número real es positivo, negativo o cero – ¡ningún número puede ser positivo y negativo al mismo tiempo! Por lo tanto, tenemos una imposibilidad, y nuestra suposición original – 1<01 < 01<0 – no puede mantenerse. Podemos eliminar esa posibilidad, dejando sólo un caso restante: 1>01 > 01>0. Como sabemos que todo número real debe caer en uno de los tres casos, y hemos eliminado dos de ellos, debemos tener 1>01 > 01>0.
Como bien dijo Peter Thiel, qué fresco y extraño.