Momentos principales de inercia
Como se muestra en en Tensor de inercia, el momento angular de un cuerpo rígido con respecto al origen del sistema de referencia local se expresa como
Si, por casualidad, todos los términos no diagonales del tensor de inercia mostrado en se hacen cero, puede simplificarse aún más a
Esto puede ocurrir cuando uno alinea los ejes del sistema de referencia local de tal manera que la masa del cuerpo se distribuye uniformemente alrededor de los ejes, por lo que los términos del producto de inercia desaparecen todos. Los términos diagonales no nulos del tensor de inercia mostrado en se denominan momentos principales de inercia del objeto.
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Ejes principales
Como se muestra en , no hay garantía de que el vector momento angular tenga la misma dirección que la del vector velocidad angular. Esto causa un problema: si la dirección del momento angular sigue cambiando, desarrolla un par de torsión que eventualmente obliga al eje de rotación a moverse. Esta es la principal razón que provoca el desgaste y las vibraciones en las máquinas con piezas giratorias.
Pero en algunos casos especiales, puede darse la siguiente condición para que los vectores de momento angular y de velocidad muestren la misma dirección:
donde I = el momento de inercia escalar equivalente del cuerpo alrededor del eje de rotación. Cualquier eje de rotación del cuerpo que sea suficiente se llama eje principal. Hay un grupo de ejes principales (teóricamente 3) en un cuerpo tridimensional. Por ejemplo, hay tres ejes principales perpendiculares para el sistema mostrado en la figura 1.
La figura 1
dice básicamente que el tensor de inercia puede sustituirse por un único momento de inercia escalar cuando el eje de rotación es un eje principal.
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Diagonalización del tensor de inercia
De :
O se puede simplificar a
donde 1 = la matriz identidad. I que se muestra en se llama un valor propio mientras que w es el vector propio. es la ecuación de valores propios.
Para tener una solución no trivial el determinante de los coeficientes debe desaparecer:
conduce a la ecuación secular que es básicamente cúbica, por lo que proporciona tres raíces (valores propios): I1, I2 & I3. Cada raíz corresponde a un momento de inercia en torno a un eje principal. De hecho, las tres raíces son los principales momentos de inercia del cuerpo rígido introducido en :
Una vez conocidos los valores propios, se pueden calcular los ejes principales. Sea
donde n = el vector unitario del eje principal, así,
De & :
Para cada valor propio, se puede calcular el correspondiente nx, ny & nz de & . Hay que prestar atención a la dirección del vector propio en este proceso.
En el análisis del movimiento, los momentos principales de inercia pueden obtenerse a partir de las propiedades inerciales de los segmentos del cuerpo. I1, I2 & I3 de cada segmento son generalmente conocidos. Los datos están disponibles en forma de relaciones de radio de giro (relación entre el radio de giro y la longitud del segmento), ecuaciones de regresión y coeficientes de escala. También se pueden calcular los momentos principales de inercia de los segmentos del cuerpo mediante la modelización con algunas formas geométricas. Para más detalles, véase Estimación individualizada de BSP.
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