La técnica de retroproyección filtrada es una de las técnicas algorítmicas más establecidas para este problema. Es conceptualmente simple, sintonizable y determinista. Sin embargo, no es la única técnica disponible: el escáner EMI original resolvía el problema de la reconstrucción tomográfica mediante álgebra lineal, pero este enfoque estaba limitado por su alta complejidad computacional, especialmente dada la tecnología informática disponible en ese momento. Más recientemente, los fabricantes han desarrollado técnicas iterativas de maximización de expectativas de máxima verosimilitud basadas en modelos físicos. Estas técnicas son ventajosas porque utilizan un modelo interno de las propiedades físicas del escáner y de las leyes físicas de las interacciones de los rayos X. Los métodos anteriores, como la retroproyección filtrada, suponen un escáner perfecto y una física muy simplificada, lo que da lugar a una serie de artefactos, a un alto nivel de ruido y a un deterioro de la resolución de la imagen. Las técnicas iterativas proporcionan imágenes con mejor resolución, menos ruido y menos artefactos, así como la capacidad de reducir en gran medida la dosis de radiación en determinadas circunstancias. La desventaja es un requisito computacional muy alto, pero los avances en la tecnología informática y las técnicas de computación de alto rendimiento, como el uso de algoritmos GPU altamente paralelos o el uso de hardware especializado como FPGAs o ASICs, permiten ahora su uso práctico.
Principio básicoEditar
En esta sección se explicará el principio básico de la tomografía en el caso de que se utilice especialmente la tomografía utilizando el sistema óptico de irradiación de haces paralelos.
La tomografía es una tecnología que utiliza un sistema óptico tomográfico para obtener «cortes» virtuales (una imagen tomográfica) de una sección transversal específica de un objeto escaneado, lo que permite al usuario ver el interior del objeto sin cortarlo. Existen varios tipos de sistemas ópticos tomográficos, entre ellos el sistema óptico de irradiación de haz paralelo. El sistema óptico de irradiación de haz paralelo puede ser el ejemplo más fácil y práctico de un sistema óptico tomográfico, por lo tanto, en este artículo, la explicación de «Cómo obtener la imagen tomográfica» se basará en «el sistema óptico de irradiación de haz paralelo». La resolución en tomografía se describe típicamente por el criterio de Crowther.
La Fig. 3 pretende ilustrar el modelo matemático e ilustrar el principio de la tomografía. En la Fig.3, el coeficiente de absorción en una coordenada transversal (x, y) del sujeto se modela como μ(x, y). La consideración basada en los supuestos anteriores puede aclarar los siguientes puntos. Por lo tanto, en esta sección, la explicación se adelanta según el orden siguiente:
- (1)Los resultados de la medición, es decir, una serie de imágenes obtenidas por luz transmitida se expresan (modelan) como una función p (s,θ) obtenida realizando la transformada de radón a μ(x, y), y
- (2)μ(x, y) se restablece realizando la transformada de radón inversa a los resultados de la medición.
(1)Los resultados de la medición p(s,θ) del sistema óptico de irradiación de haces paralelosEditar
Considera el modelo matemático tal que el coeficiente de absorción del objeto en cada (x,y) están representados por μ(x,y) y se supone que «el haz de transmisión penetra sin difracción, difusión o reflexión aunque es absorbido por el objeto y se supone que su atenuación se produce de acuerdo con la ley de Beer-Lambert.En este asunto, lo que queremos saber» es μ(x,y) y lo que podemos medir será siguiendo p(s,θ).
Cuando la atenuación se ajusta a la ley de Beer-Lambert, la relación entre I 0 {\displaystyle {I}_{0}
y I {displaystyle I}
es la siguiente (ecuación 1) y, por lo tanto, la absorbancia ( p l {{displaystyle p_{l}}
) a lo largo de la trayectoria del haz de luz (l(t)) es la siguiente (ecuación 2). Aquí el I 0 {\displaystyle {I}_{0}}
es la intensidad del haz de luz antes de la transmisión I
es la intensidad de después de la transmisión. I = I 0 exp ( – ∫ μ ( x , y ) d l ) = I 0 exp ( – ∫ – ∞ ∞ μ ( l ( t ) ) | l ˙ ( t ) | d t ) {\displaystyle I=I_{0}\exp \left({-\int \mu (x,y)\l,dl}\right)=I_{0}\exp \left({-{\int }_-\infty }^{\infty }\mu (l(t))\l,|{\\dot {l}(t)|dt}\right)}
(eq. 1) p l = ln ( I / I 0 ) = – ∫ μ ( x , y ) d l = – ∫ – ∞ ∞ μ ( l ( t ) ) | l ˙ ( t ) | d t {\displaystyle p_{l}=\ln(I/I_{0})=-\int \mu (x,y)\l,dl=-{\int }_{-\infty }^{infty }\mu (l(t))|,|{dot {l}(t)|dt}
(ec. 2)
Aquí, una dirección desde la fuente de luz hacia la pantalla se define como dirección t y la perpendicular a la dirección t y paralela a la pantalla se define como dirección s. (Ambos sistemas de coordenadas t-s y x-y se establecen de tal manera que se reflejan entre sí sin transformación espejo-reflejo.)
Utilizando un sistema óptico de irradiación de haz paralelo, se puede obtener experimentalmente la serie de imágenes fluoroscópicas (unas imágenes unidimensionales» pθ(s) de sección transversal específica de un objeto escaneado) para cada θ. Aquí, θ representa el ángulo entre el objeto y el haz de luz de transmisión. En la Fig.3, el plano X-Y gira en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del punto de origen en el plano de tal manera «para mantener la relación posicional mutua entre la fuente de luz (2) y la pantalla (7) que pasa por la trayectoria (5)». El ángulo de rotación de este caso es el mismo que el mencionado θ.
El haz que tiene un ángulo θ,to será la colección de rayos, representada por l ( t) {\displaystyle {l}_{}(t)}
de la siguiente manera (ec. 3). l ( t ) = t + {\displaystyle {l}_{}(t)=t{{in{bmatrix}-{sin \theta \\_cos \theta \\_end{bmatrix}}+{{in{bmatrix}{scos \theta \_sin \theta \_end{bmatrix}}
(eq. 3)
La pθ(s) se define mediante la siguiente (ec. 4). Que p θ ( s ) {\displaystyle p_{\theta }(s)}
es igual a la integral de línea de μ(x,y) a lo largo de l ( t ) {\displaystyle {l}_{}(t)}
de (ec. 3) como la misma manera de (ec.2). Esto significa que, p ( s , θ ) {\displaystyle p(s,\theta )}
de la siguiente (ec. 5) es una resultante de la transformación de Radon de μ(x,y). p θ ( s ) = – ∫ – ∞ ∞ μ ( s cos θ – t sin θ , s sin θ + t cos θ ) d t {\displaystyle p_{\theta }(s)=-{{int }_-\infty }^{infty }\mu (s\cos \theta -t\sin \theta ,s\sin \theta +t\cos \theta )\t}
(ec. 4)
Se puede definir la siguiente función de dos variables (ec. 5). En este artículo, la siguiente p(s, θ) se denomina «la colección de imágenes fluoroscópicas».
p (s, θ)=pθ(s) (ec. 5)
(2)μ(x, y) se restablece realizando la transformación de radón inversa a los resultados de la mediciónEditar
«Lo que queremos saber (μ(x,y))» puede reconstruirse a partir de «Lo que medimos ( p(s,θ))» utilizando la transformación de radón inversa .En las descripciones mencionadas, «Lo que medimos» es p(s,θ) . Por otro lado, «Lo que queremos saber» es μ(x,y). Por lo tanto, lo siguiente será «Cómo reconstruir μ(x,y) a partir de p(s,θ)».