Matemáticas del siglo XVIII

Cálculo de variaciones

La mayor parte de los últimos años del siglo XVII y buena parte de los primeros del XVIII fueron ocupados por los trabajos de los discípulos de Newton y Leibniz, que aplicaron sus ideas sobre el cálculo a la resolución de diversos problemas de física, astronomía e ingeniería.

Sin embargo, el periodo estuvo dominado por una familia, los Bernoulli de Basilea (Suiza), que contaba con dos o tres generaciones de matemáticos excepcionales, especialmente los hermanos Jacob y Johann. Ellos fueron los principales responsables del desarrollo del cálculo infinitesimal de Leibniz -particularmente a través de la generalización y extensión del cálculo conocido como «cálculo de variaciones»-, así como de la teoría de la probabilidad y de los números de Pascal y Fermat.

Basilea fue también la ciudad natal del más grande de los matemáticos del siglo XVIII, Leonhard Euler, aunque, en parte debido a las dificultades para desenvolverse en una ciudad dominada por la familia Bernoulli, Euler pasó la mayor parte de su tiempo en el extranjero, en Alemania y San Petersburgo, Rusia. Destacó en todos los aspectos de las matemáticas, desde la geometría hasta el cálculo, pasando por la trigonometría, el álgebra y la teoría de números, y fue capaz de encontrar vínculos inesperados entre los distintos campos. Demostró numerosos teoremas, fue pionero en la aplicación de nuevos métodos, estandarizó la notación matemática y escribió muchos libros de texto influyentes a lo largo de su larga vida académica.

En una carta dirigida a Euler en 1742, el matemático alemán Christian Goldbach propuso la Conjetura de Goldbach, que afirma que todo número entero par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos primos (p. ej. 4 = 2 + 2; la suma de 2).Por ejemplo, 4 = 2 + 2; 8 = 3 + 5; 14 = 3 + 11 = 7 + 7; etc.) o, en otra versión equivalente, todo número entero mayor que 5 puede expresarse como la suma de tres primos. Otra versión es la llamada conjetura «débil» de Goldbach, según la cual todos los números impares mayores que 7 son la suma de tres primos impares. Sigue siendo uno de los problemas sin resolver más antiguos de la teoría de números (y de todas las matemáticas), aunque la forma débil de la conjetura parece estar más cerca de la resolución que la fuerte. Goldbach también demostró otros teoremas de la teoría de los números, como el Teorema de Goldbach-Euler sobre las potencias perfectas.

A pesar del dominio de Euler y los Bernoullis en las matemáticas del siglo XVIII, muchos de los otros matemáticos importantes eran de Francia. A principios de siglo, Abraham de Moivre es quizás más conocido por la fórmula de Moivre, (cosx + isinx)n = cos(nx) + isin(nx), que relaciona los números complejos y la trigonometría. Pero también generalizó el famoso teorema del binomio de Newton en el teorema del multinomio, fue pionero en el desarrollo de la geometría analítica, y sus trabajos sobre la distribución normal (dio el primer enunciado de la fórmula de la curva de distribución normal) y la teoría de la probabilidad fueron de gran importancia.

Francia se hizo aún más prominente hacia el final del siglo, y un puñado de matemáticos franceses de finales del siglo XVIII en particular merecen ser mencionados en este punto, comenzando por «las tres L».

Joseph Louis Lagrange colaboró con Euler en un importante trabajo conjunto sobre el cálculo de la variación, pero también contribuyó a las ecuaciones diferenciales y a la teoría de los números, y se le suele atribuir el origen de la teoría de grupos, que tan importante sería en las matemáticas de los siglos XIX y XX. Su nombre lleva un teorema temprano en la teoría de grupos, que afirma que el número de elementos de cada subgrupo de un grupo finito se divide uniformemente en el número de elementos del grupo finito original.

Teorema del valor medio de Lagrange

Teorema del valor medio de Lagrange

También se atribuye a Lagrange el teorema de los cuatro cuadrados, según el cual cualquier número natural puede representarse como la suma de cuatro cuadrados (por ej.Por ejemplo, 3 = 12 + 12 + 12 + 02; 31 = 52 + 22 + 12 + 12; 310 = 172 + 42 + 22 + 12; etc.), así como otro teorema, conocido confusamente como Teorema de Lagrange o Teorema del Valor Medio de Lagrange, que afirma que, dada una sección de una curva continua suave (diferenciable), existe al menos un punto en esa sección en el que la derivada (o pendiente) de la curva es igual (o paralela) a la derivada media (o promedio) de la sección. El tratado de Lagrange de 1788 sobre mecánica analítica ofrecía el tratamiento más completo de la mecánica clásica desde Newton, y constituyó una base para el desarrollo de la física matemática en el siglo XIX.

Pierre-Simon Laplace, a veces llamado «el Newton francés», fue un importante matemático y astrónomo, cuya monumental obra «Mecánica Celeste» tradujo el estudio geométrico de la mecánica clásica a uno basado en el cálculo, abriendo un abanico mucho más amplio de problemas. Aunque sus primeros trabajos se centraron principalmente en las ecuaciones diferenciales y las diferencias finitas, ya en la década de 1770 comenzó a reflexionar sobre los conceptos matemáticos y filosóficos de la probabilidad y la estadística, y desarrolló su propia versión de la llamada interpretación bayesiana de la probabilidad independientemente de Thomas Bayes. Laplace es conocido por su creencia en el determinismo científico completo, y sostenía que debería haber un conjunto de leyes científicas que nos permitieran -al menos en principio- predecir todo sobre el universo y su funcionamiento.

Los seis primeros polinomios de Legendre

Los seis primeros polinomios de Legendre (soluciones a la ecuación diferencial de Legendre)

Adrien-Marie Legendre también hizo importantes contribuciones a la estadística, la teoría de números, aunque gran parte de su trabajo (como el método de los mínimos cuadrados para el ajuste de curvas y la regresión lineal, la ley de reciprocidad cuadrática, el teorema de los números primos y su trabajo sobre las funciones elípticas) sólo fue perfeccionado, o al menos difundido, por otros, especialmente por Gauss. Sus «Elementos de geometría», una reelaboración del libro de Euclides, se convirtió en el principal libro de texto de geometría durante casi 100 años, y su medición extremadamente precisa del meridiano terrestre inspiró la creación, y la adopción casi universal, del sistema métrico de medidas y pesos.

Otro francés, Gaspard Monge, fue el inventor de la geometría descriptiva, un método inteligente para representar objetos tridimensionales mediante proyecciones en el plano bidimensional utilizando un conjunto específico de procedimientos, una técnica que más tarde sería importante en los campos de la ingeniería, la arquitectura y el diseño. Su proyección ortográfica se convirtió en el método gráfico utilizado en casi todo el dibujo mecánico moderno.

Después de muchos siglos de aproximaciones cada vez más precisas, Johann Lambert, matemático suizo y destacado astrónomo, proporcionó finalmente una prueba rigurosa en 1761 de que π es irracional, es decir, que no puede expresarse como una fracción simple utilizando sólo números enteros o como un decimal terminante o repetitivo. Esto demostró definitivamente que nunca sería posible calcularlo con exactitud, aunque la obsesión por obtener aproximaciones cada vez más exactas continúa hasta nuestros días. (Más de cien años después, en 1882, Ferdinand von Lindemann demostraría que π también es trascendental, es decir, que no puede ser la raíz de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales). Lambert fue también el primero en introducir las funciones hiperbólicas en la trigonometría e hizo algunas conjeturas clarividentes sobre el espacio no euclidiano y las propiedades de los triángulos hiperbólicos.

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