Idea
La teoría de YangâMills es una teoría de gauge en una (pseudo)manifestación riemanniana XX dada de 4 dimensiones cuyo campo es el campo de YangâMills â un cociclo ââH(X,B¯U(n))\nabla en \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}U(n)) en cohomología diferencial no abeliana representada por un haz vectorial con conexión â y cuyo funcional de acción es
para
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F âF_\nabla la intensidad del campo, localmente la curvatura ð²(n)\Nde la forma diferencial valorada por el álgebra de Lie sobre XX ( con ð²(n)\Nel álgebra de Lie del grupo unitario U(n)U(n));
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â\star el operador estelar de Hodge de la métrica gg;
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1g 2\frac{1}{g^2} la constante de acoplamiento de Yang-Mills y θ\theta el ángulo theta, algunos números reales (ver en S-dualidad).
(Ver este ejemplo en Una primera idea de la teoría cuántica de campos.)
Propiedades
Clasificación de soluciones
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Teorema de Narasimhan-Seshadri
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Teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau
Cuantificación
A pesar de su papel fundamental en el modelo estándar de la física de partículas, varios detalles de la cuantización de la teoría de Yang-Mills siguen abiertos. Ver en cuantización de la teoría de Yang-Mills.
Aplicaciones
Todos los campos gauge en el modelo estándar de la física de partículas así como en los modelos GUT son campos de YangâMills.
Los campos de materia en el modelo estándar son espinores cargados bajo el campo de Yang-Mills. Ver
- espinores en la teoría de Yang-Mills
Historia
De Jaffe-Witten:
En la década de 1950, cuando se descubrió la teoría de YangâMills, ya se sabía que la versión cuántica de la teoría de Maxwell -conocida como Electrodinámica Cuántica o QED- daba una explicación extremadamente precisa de los campos y fuerzas electromagnéticos. De hecho, la QED mejoró la precisión de ciertas predicciones anteriores de la teoría cuántica en varios órdenes de magnitud, además de predecir nuevos desdoblamientos de los niveles de energía.
Así que era natural preguntarse si la teoría gauge no abeliana describía otras fuerzas de la naturaleza, especialmente la fuerza débil (responsable, entre otras cosas, de ciertas formas de radiactividad) y la fuerza fuerte o nuclear (responsable, entre otras cosas, de la unión de protones y neutrones en los núcleos). La falta de masa de las ondas clásicas de YangâMills fue un serio obstáculo para aplicar la teoría de YangâMills a las demás fuerzas, ya que las fuerzas débil y nuclear son de corto alcance y muchas de las partículas son masivas. Por lo tanto, estos fenómenos no parecían estar asociados a campos de largo alcance que describen partículas sin masa.
En las décadas de 1960 y 1970, los físicos superaron estos obstáculos para la interpretación física de la teoría gauge no abeliana. En el caso de la fuerza débil, esto se logró mediante la teoría electrodébil de GlashowâSalamâWeinberg con el grupo gauge H=H = SU(2) Ã\times U(1). Al elaborar la teoría con un campo de Higgs adicional, se evitó la naturaleza sin masa de las ondas clásicas de YangâMills. El campo de Higgs se transforma en una representación bidimensional de HH; su valor no nulo y aproximadamente constante en el estado de vacío reduce el grupo estructural de HH a un subgrupo U(1)U(1) (diagonalmente incrustado en SU(2)ÃU(1)SU(2) \times U(1). Esta teoría describe tanto las fuerzas electromagnéticas como las débiles, de una manera más o menos unificada; debido a la reducción del grupo estructural a U(1)U(1), los campos de largo alcance son los del electromagnetismo solamente, de acuerdo con lo que vemos en la naturaleza.
La solución al problema de los campos de YangâMills sin masa para las interacciones fuertes tiene una naturaleza completamente diferente. Esa solución no vino de la adición de campos a la teoría de YangâMills, sino del descubrimiento de una notable propiedad de la propia teoría cuántica de YangâMills, es decir, de la teoría cuántica cuyo Lagrangiano clásico se ha dado ]. Esta propiedad se llama «libertad asintótica». A grandes rasgos, esto significa que a distancias cortas el campo muestra un comportamiento cuántico muy similar a su comportamiento clásico; sin embargo, a largas distancias la teoría clásica ya no es una buena guía para el comportamiento cuántico del campo.
La libertad asintótica, junto con otros descubrimientos experimentales y teóricos realizados en las décadas de 1960 y 1970, hizo posible describir la fuerza nuclear mediante una teoría gauge no abeliana en la que el grupo gauge es G=G = SU(3). Los campos adicionales describen, a nivel clásico, los «quarks», que son objetos de espín 1/2 algo análogos al electrón, pero que se transforman en la representación fundamental de SU(3)SU(3). La teoría gauge no abeliana de la fuerza fuerte se denomina Cromodinámica Cuántica (QCD).
El uso de la QCD para describir la fuerza fuerte fue motivado por toda una serie de descubrimientos experimentales y teóricos realizados en las décadas de 1960 y 1970, relacionados con las simetrías y el comportamiento en alta energía de las interacciones fuertes. Pero la teoría gauge clásica no abeliana es muy diferente del mundo observado de las interacciones fuertes; para que la QCD describa la fuerza fuerte con éxito, debe tener a nivel cuántico las siguientes tres propiedades, cada una de las cuales es dramáticamente diferente del comportamiento de la teoría clásica:
(1) Debe tener una «brecha de masa»; es decir, debe haber alguna constante Î>0\Delta \gt 0 tal que cada excitación del vacío tenga energía al menos Î\Delta.
(2) Debe tener «confinamiento de quarks», es decir, aunque la teoría se describa en términos de campos elementales, como los campos de quarks, que se transforman de forma no trivial bajo SU(3), los estados de las partículas físicas, como el protón, el neutrón y el pión, son invariantes de SU(3).
(3) Debe tener «ruptura de simetría quiral», lo que significa que el vacío es potencialmente invariante (en el límite, que las masas de los quarks desaparecen) sólo bajo un cierto subgrupo del grupo de simetría completo que actúa sobre los campos de los quarks.
El primer punto es necesario para explicar por qué la fuerza nuclear es fuerte pero de corto alcance; el segundo es necesario para explicar por qué nunca vemos quarks individuales; y el tercero es necesario para dar cuenta de la teoría del «álgebra actual» de los piones blandos que se desarrolló en la década de 1960.
Tanto el experimento -ya que la QCD tiene numerosos éxitos en la confrontación con el experimento- como las simulaciones por ordenador, llevadas a cabo desde finales de la década de 1970, han dado un fuerte estímulo para que la QCD tenga las propiedades citadas anteriormente. Estas propiedades pueden verse, hasta cierto punto, en los cálculos teóricos realizados en una variedad de modelos muy simplificados (como la teoría gauge de celosía fuertemente acoplada). Pero no se entienden completamente en teoría; no existe un cálculo teórico convincente, completo o no desde el punto de vista matemático, que demuestre cualquiera de las tres propiedades en la QCD, en contraposición a una truncación severamente simplificada de la misma.
Este es el problema de la cuantización no-perturbativa de la teoría de Yang-Mills. Ver allí para más.
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Teoría de Yang-Mills D=5
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Teoría de Yang-Mills masiva
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Teoría de Yang-Mills autodual
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Super Yang-Mills
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acople mínimo
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notación de doble línea de ‘t Hooft
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Teoría de Yang-Mills
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Einstein-Maxwell
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Teoría de Einstein-Yang-Mills-Dirac
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Teoría de Einstein-Maxwell-Yang-Mills-Dirac-Higgs
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Yang-Mills
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modelo estándar de la física de partículas
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electromagnetismo
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espinores en la teoría de Yang-Mills
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QED, QCD,
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campo electrodébil
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Monopolo de Yang, monopolo ‘t Hooft-Polyakov
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Dualidad S, dualidad Montonen-Olive
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dualidad eléctrico-magnética
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dualidad geométrica de Langlands
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Teoría de Chern-Simons
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Yang-Mills instanton
- confinamiento
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libertad asintótica
La teoría general
Yang-Mills lleva el nombre del artículo
- Chen Ning Yang, Robert Mills, Conservación del espín isotópico e invariancia gauge isotópica. Physical Review 96 (1): 191â 195. (1954) (web)
que fue el primero en generalizar el principio del electromagnetismo a un grupo gauge no abaliano. Esto se aceptó como formulación de la QCD y de las interacciones débiles (únicamente) después de que se comprendiera la ruptura espontánea de la simetría (el mecanismo de Higgs) en la década de 1960.
Revisiones modernas de los fundamentos
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Arthur Jaffe, Edward Witten, Quantum Yang-Mills theory (pdf)
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Simon Donaldson, Yang-Mills theory and geometry (2005) pdf
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José Figueroa-O’Farrill, Teoría gauge
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Karen Uhlenbeck, notas de Laura Fredrickson, Equations of Gauge Theory, conferencia en la Universidad de Temple, 2012 (pdf, pdf)
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Simon Donaldson, Gauge Theory: Mathematical Applications, Encyclopedia of Mathematical Physics, Academic Press, Páginas 468-481, 2006 (doi:10.1016/B0-12-512666-2/00075-4, autor pdf, pdf)
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Mikio Nakahara, Sección 10.5.4 de: Geometry, Topology and Physics, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)
Ver también las referencias en QCD, teoría gauge, monopolo de Yang-Mills, instantón de Yang-Mills y en teoría de super Yang-Mills.
La discusión clásica de la teoría de YM sobre superficies de Riemann (que está estrechamente relacionada con la teoría de Chern-Simons, véase también en el espacio de moduli de conexiones planas) se encuentra en
- Michael Atiyah, Raoul Bott, The Yang-Mills equations over Riemann surfaces, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences
Vol. 308, No. 1505 (Mar. 17, 1983), pp. 523-615 (jstor, lighning summary)
que se revisa en las notas de la conferencia
- Jonathan EvansAspects of Yang-Mills theory, (web)
Para la relación con la homología de Floer del instantón véase también
- Simon Donaldson, Floer homology groups in Yang-Mills theory Cambridge University Press (2002) (pdf)
Para la relación con los números de Tamagawa véase
- Aravind Asok, Brent Doran, Frances Kirwan, Yang-Mills theory and Tamagawa numbers (arXiv:0801.4733)
Soluciones clásicas
Wu y Yang (1968) encontraron una solución estática a las ecuaciones de Yang-Mills sin fuente SU(2)SU(2). Las referencias recientes incluyen
- J. A. O. Marinho, O. Oliveira, B. V. Carlson, T. Frederico, Revisiting the Wu-Yang Monopole: classical solutions and conformal invariance
Hay una revisión antigua,
- Alfred Actor, Classical solutions of SU(2)SU(2) YangâMills theories, Rev. Mod. Phys. 51, 461â525 (1979),
que proporciona algunas de las soluciones conocidas de la teoría gauge SU(2)SU(2) en el espacio de Minkowski (monopolos, ondas planas, etc) y en el espacio euclidiano (instantones y sus primos). Para grupos gauge generales se pueden obtener soluciones incrustando SU(2)SU(2)âs.
Para los instantones de Yang-Mills se conoce la solución más general, primero elaborada por
- Michael Atiyah, Nigel Hitchin, Vladimir Drinfeld, Yuri Manin, Construction of instantons, Physics Letters 65 A, 3, 185â187 (1978) pdf
para los grupos clásicos SU, SO , Sp, y luego por
- C. Bernard, N. Christ, A. Guth, E. Weinberg, Pseudoparticle Parameters for Arbitrary Gauge Groups, Phys. Rev. D16, 2977 (1977)
para grupos de Lie excepcionales. El último giro en la historia del instantón de Yang-Mills es la construcción de soluciones con holonomía no trivial:
- Thomas C. Kraan, Pierre van Baal, Periodic instantons with nontrivial holonomy, Nucl.Phys. B533 (1998) 627-659, hep-th/9805168
Hay un buen conjunto de notas de conferencia
- David Tong, TASI Lectures on Solitons (hep-th/0509216),
sobre soluciones topológicas con diferentes codimensiones (instantones, monopolos, vórtices, paredes de dominio). Nótese, sin embargo, que excepto en el caso de los instantones estas soluciones requieren típicamente escalares extra y U(1)âs rotos, como se puede encontrar en las teorías de súper Yang-Mills.
Algunos de los materiales utilizados aquí han sido tomados de
- TP.SE, ¿Qué soluciones exactas de las ecuaciones clásicas de Yang-Mills se conocen?
Otro modelo con campos de Yang-Mills ha sido propuesto por Curci y Ferrari, ver Curci-Ferrari model.
Ver también
- DispersiveWiki, Yang-Mills equations