Como el triángulo 30-60-90 está basado en un triángulo equilátero, el triángulo 45-45-90 está basado en un cuadrado, los triángulos 18-72-90 y 36-54-90 están basados en el pentágono regular (ver https://robertlovespi.wordpress.com/2013/03/12/the-18-72-90-and-36-54-90-triangles/), y el 22.5-67,5-90 se basan en el octógono regular (véase la entrada anterior), por lo que el triángulo 15-75-90 se basa en el dodecágono regular, mostrado aquí con tres radios (rojo) y una sola diagonal (morado). El triángulo 15-75-90 se muestra en amarillo. Un argumento de simetría es suficiente para demostrar que el ángulo EFC es el triángulo recto de este triángulo, y que el mayor de sus dos ángulos agudos (ángulo FCE) es la mitad de un ángulo interior de este dodecágono. El ángulo interior de un decágono regular mide 150 grados (la prueba de esto es trivial), por lo que el ángulo FCE debe medir la mitad de esa cantidad, es decir, 75 grados. Esto deja 15 grados para el ángulo CEF, a través del teorema de la suma de triángulos.
¿Pero qué pasa con las longitudes de los lados del triángulo 15-75-90? Primero, considera las diagonales rojas mostradas, y deja que cada una tenga una longitud de 2. Los ángulos DAF y FAE miden cada uno 30 grados, ya que 360/12 = 30, y son ángulos centrales entre radios adyacentes. Esto hace que el ángulo DAE mida 60 grados por adición de ángulos, y se sabe que el triángulo DAE es isósceles, ya que los dos lados rojos son radios del mismo dodecágono regular, y por tanto son congruentes. Por el teorema del triángulo isósceles y el teorema de la suma de triángulos, entonces, los ángulos ADE y AED también miden cada uno (180-60)/2 = 60 grados, por lo que el triángulo ADE es por tanto equilátero, y el lado morado, DE, también tiene una longitud de dos. La simetría es suficiente para ver que DE es bisecado por el radio AC, lo que lleva a la conclusión de que EF, el cateto largo del triángulo 15-75-90, tiene una longitud de 1.
El segmento AF es una mediana, y por tanto también una altitud, del triángulo equilátero ADE, y lo divide en dos triángulos 30-60-90, uno de los cuales es el triángulo AEF. Su hipotenusa, AE, ya se sabe que tiene una longitud de 2, mientras que su cateto corto, EF, ya se sabe que tiene una longitud de 1. El segmento AF es por tanto el cateto largo de este triángulo 30-60-90, con una longitud de √3.
AF, de longitud √3, y FC, el cateto corto del triángulo 15-75-90, forman juntos el radio del dodecágono AC, ya fijado en la longitud 2. Por sustracción de longitudes, entonces, FC, el cateto corto del triángulo 15-75-90, tiene una longitud de 2 – √3. Es prudente hacer una prueba en este punto, tomando la tangente del ángulo de 15 grados FEC en el triángulo amarillo. Tan(15 grados) es igual a 0,26794919…, que es también la aproximación decimal para FC/EF, o (2 – √3)/1.
Todo lo que queda para conocer las relaciones de longitud de los lados del triángulo 15-75-90 es determinar la longitud de EC, su hipotenusa, mediante el Teorema de Pitágoras. El cuadrado de la longitud EC debe ser igual al cuadrado de 1 más el cuadrado de (2 – √3), por lo que EC, elevado al cuadrado, es igual a 1 + 4 – 4√3 + 3, o sea 8 – 4√3. Por tanto, la hipotenusa (EC) debe ser la raíz cuadrada de 8 – 4√3, que es √(8-4√3)) = 2√(2-√3)).
La relación cateto corto:cateto largo:hipotenusa en un triángulo 15-75-90 es, por lo tanto, (2-√3):1:2√(2-√3)).