Un percentil es una ubicación en una distribución que tiene una cantidad específica (o porcentaje) de la distribución «por debajo de ella» (a su izquierda). En otras palabras, si el #n^»th «# percentil es #x#, y extraemos un número aleatorio #X# de la distribución, entonces la probabilidad de que #X# sea menor que #x# es #n %#:
#n^»th» » percentil» = x» «#medios#» » P(X < x)=n%.#
Por ejemplo, en una curva normal estándar (con #mu = 0# y #sigma = 1#), el punto donde #x=0# (es decir el eje #y#) es el percentil 50, porque el 50% del área de la curva cae a la izquierda de #x=0#:
La distribución normal estándar #Z# es una línea de base tan buena, que en realidad tenemos una tabla de valores diseñada específicamente para buscar percentiles para esta curva. Se llama tabla #z# y tiene el siguiente aspecto:
¿Cómo la utilizamos? Digamos que queremos el percentil 25 de la distribución normal estándar. Encontramos el valor más cercano a 0,25 en la tabla (que resulta ser 0,2514) y vemos que está en la fila #»-«0,6# y la columna #0,07#. Para esta tabla, eso significa que el percentil 25 es (aproximadamente) #»-«0,67#.
Pero espera, ¿cómo ayuda eso cuando queremos un percentil para cualquier distribución normal #X#? Necesitamos encontrar una conexión entre cualquier curva y la curva normal estándar. Esa conexión se encuentra desplazando la distribución #X# de izquierda a derecha de manera que esté centrada en #0#, y luego estirándola/descorsionándola de manera que su desviación estándar sea #1#. La fórmula para esto es:
#Z=(X-mu)/sigma#
donde #mu# es la media de #X# y #sigma# es la d.s. de #X#.
Si conocemos el percentil que queremos de la distribución #Z#, podemos resolver para #X# reordenando la ecuación en
#X=sigma Z + mu#.
Como ejemplo, utilicemos la primera pregunta que hiciste, donde #X# se distribuye normalmente con #mu = 81,2# y #sigma = 12,4#, y buscamos el percentil 16.
De la tabla anterior, el percentil 16 de la distribución #Z# es aproximadamente #»-«0,99#. La ubicación equivalente en nuestra distribución #X# es entonces:
#X=(12,4)(«-«0,99)+81,2#
#color(blanco)X=»-«12,276+81.2#
#color(white)X=68.924#
Lo que esto dice es: si #X# es una curva normal con #mu=81.2 » pies «# y #sigma = 12.4 «pies», entonces hay un 16% de posibilidades de que una observación de #X# sea inferior a #68,924 «pies».
El resto lo dejaré como ejercicio; con las fórmulas anteriores, no debería ser tan difícil.
¡Espero que esto ayude!