Si #X# es #»Normal»(μ = 81,2, σ = 12,4),# ¿cuál es el percentil 16 de esta distribución?

Un percentil es una ubicación en una distribución que tiene una cantidad específica (o porcentaje) de la distribución «por debajo de ella» (a su izquierda). En otras palabras, si el #n^»th «# percentil es #x#, y extraemos un número aleatorio #X# de la distribución, entonces la probabilidad de que #X# sea menor que #x# es #n %#:

#n^»th» » percentil» = x» «#medios#» » P(X < x)=n%.#

Por ejemplo, en una curva normal estándar (con #mu = 0# y #sigma = 1#), el punto donde #x=0# (es decir el eje #y#) es el percentil 50, porque el 50% del área de la curva cae a la izquierda de #x=0#:

resources.esri.com

La distribución normal estándar #Z# es una línea de base tan buena, que en realidad tenemos una tabla de valores diseñada específicamente para buscar percentiles para esta curva. Se llama tabla #z# y tiene el siguiente aspecto:

sixsigmastudyguide.com

¿Cómo la utilizamos? Digamos que queremos el percentil 25 de la distribución normal estándar. Encontramos el valor más cercano a 0,25 en la tabla (que resulta ser 0,2514) y vemos que está en la fila #»-«0,6# y la columna #0,07#. Para esta tabla, eso significa que el percentil 25 es (aproximadamente) #»-«0,67#.

Pero espera, ¿cómo ayuda eso cuando queremos un percentil para cualquier distribución normal #X#? Necesitamos encontrar una conexión entre cualquier curva y la curva normal estándar. Esa conexión se encuentra desplazando la distribución #X# de izquierda a derecha de manera que esté centrada en #0#, y luego estirándola/descorsionándola de manera que su desviación estándar sea #1#. La fórmula para esto es:

#Z=(X-mu)/sigma#

donde #mu# es la media de #X# y #sigma# es la d.s. de #X#.

Si conocemos el percentil que queremos de la distribución #Z#, podemos resolver para #X# reordenando la ecuación en

#X=sigma Z + mu#.

Como ejemplo, utilicemos la primera pregunta que hiciste, donde #X# se distribuye normalmente con #mu = 81,2# y #sigma = 12,4#, y buscamos el percentil 16.

De la tabla anterior, el percentil 16 de la distribución #Z# es aproximadamente #»-«0,99#. La ubicación equivalente en nuestra distribución #X# es entonces:

#X=(12,4)(«-«0,99)+81,2#
#color(blanco)X=»-«12,276+81.2#
#color(white)X=68.924#

Lo que esto dice es: si #X# es una curva normal con #mu=81.2 » pies «# y #sigma = 12.4 «pies», entonces hay un 16% de posibilidades de que una observación de #X# sea inferior a #68,924 «pies».

El resto lo dejaré como ejercicio; con las fórmulas anteriores, no debería ser tan difícil.

¡Espero que esto ayude!

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