Variaatiolaskenta
1700-luvun loppupuolisko ja suuri osa 1700-luvun alkupuoliskon ajasta käytettiin Newtonin ja Leibnizin oppilaiden työhön, jotka sovelsivat heidän laskutoimitusta koskevia ajatuksiaan erilaisten fysiikan, tähtitieteen ja insinööritieteiden alalla esiintyvien ongelmien ratkaisemiseen.
Ajanjaksoa hallitsi kuitenkin yksi suku, sveitsiläisen Baselin Bernoullien suku, jossa oli kaksi tai kolme sukupolvea poikkeuksellisia matemaatikkoja, erityisesti veljekset Jacob ja Johann. He olivat suurelta osin vastuussa Leibnizin infinitesimaalilaskennan edelleen kehittämisestä – erityisesti ”variaatiolaskennaksi” kutsutun laskennan yleistyksen ja laajennuksen kautta – sekä Pascalin ja Fermat’n todennäköisyys- ja lukuteorian kehittämisestä.
Basel oli myös 1700-luvun suurimman matemaatikon, Leonhard Eulerin, kotikaupunki, joskin Euler vietti suurimman osan ajastaan ulkomailla, Saksassa ja Pietarissa, Venäjällä, mikä johtui osaltaan siitä, että hänellä oli vaikeuksia tulla toimeen Bernoullien suvun hallitsemassa kaupungissa. Hän kunnostautui kaikilla matematiikan osa-alueilla geometriasta laskutoimituksiin ja trigonometriasta algebraan ja numeroteoriaan, ja hän kykeni löytämään odottamattomia yhteyksiä eri alojen välillä. Hän todisti lukuisia teoreemoja, kehitti uusia menetelmiä, standardoi matemaattista merkintätapaa ja kirjoitti pitkän akateemisen elämänsä aikana monia vaikutusvaltaisia oppikirjoja.
Eulerille vuonna 1742 lähettämässään kirjeessä saksalainen matemaatikko Christian Goldbach esitti Goldbachin olettamuksen, jonka mukaan jokainen parillinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin 2, voidaan ilmaista kahden alkuluvun summana (esim.esim. 4 = 2 + 2; 8 = 3 + 5; 14 = 3 + 11 = 7 + 7; jne.) tai toisen vastaavan version mukaan jokainen kokonaisluku, joka on suurempi kuin 5, voidaan ilmaista kolmen alkuluvun summana. Toinen versio on niin sanottu ”heikko” Goldbachin arvelu, jonka mukaan kaikki parittomat luvut, jotka ovat suurempia kuin 7, ovat kolmen parittoman alkuluvun summa. Ne ovat edelleen lukuteorian (ja koko matematiikan) vanhimpia ratkaisemattomia ongelmia, vaikka arvelun heikko muoto näyttääkin olevan lähempänä ratkaisua kuin vahva. Goldbach todisti myös muita lukuteorian teoreemoja, kuten Goldbach-Eulerin lause täydellisistä potensseista.
Eulerin ja Bernoullien hallitsevasta asemasta 1700-luvun matematiikassa huolimatta monet muut merkittävät matemaatikot olivat Ranskasta. Vuosisadan alkupuolella Abraham de Moivre tunnetaan ehkä parhaiten de Moivren kaavasta (cosx + isinx)n = cos(nx) + isin(nx), joka yhdistää kompleksiluvut ja trigonometrian. Mutta hän myös yleisti Newtonin kuuluisan binomiteorian multinomiteoriaksi, oli edelläkävijä analyyttisen geometrian kehityksessä, ja hänen työnsä normaalijakauman (hän esitti ensimmäisen kerran normaalijakaumakäyrän kaavan) ja todennäköisyysteorian parissa olivat erittäin tärkeitä.
Ranska nousi vuosisadan loppupuolella vieläkin merkittävämpään asemaan, ja tässä yhteydessä kannattaa mainita erityisesti kourallinen 1700-luvun loppupuolella toimivia ranskalaisia matemaatikkoja, jotka alkavat ”kolmesta L:stä”.
Joseph Louis Lagrange teki yhteistyötä Eulerin kanssa tärkeässä yhteisessä teoksessa variaatiolaskennasta, mutta hän osallistui myös differentiaaliyhtälöiden ja lukuteorian kehittämiseen, ja hänen katsotaan yleensä kehittäneen ryhmäteorian, josta tuli niin tärkeä 1800- ja 1900-luvun matematiikassa. Hänen nimensä on saanut eräs varhainen ryhmäteorian lause, jonka mukaan äärellisen ryhmän jokaisen alaryhmän alkioiden lukumäärä jakautuu tasan alkuperäisen äärellisen ryhmän alkioiden lukumäärän kanssa.
Lagrangen keskiarvoteoria
Lagrangen keskiarvoteoria
Lagrangen ansiota on myös neljän neliön lause, jonka mukaan mikä tahansa luonnollinen luku voidaan esittää neljän neliön summana (esim.esim. 3 = 12 + 12 + 12 + 12 + 02; 31 = 52 + 22 + 12 + 12 + 12; 310 = 172 + 42 + 22 + 12; jne.), sekä toisen lauseen, joka tunnetaan hämäävästi myös nimellä Lagrangen lause tai Lagrangen keskiarvoteoreema, joka väittää, että sileän jatkuvan (erilaistuvan) käyrän jakson ollessa annettu, jaksolla on vähintään yksi piste, jossa käyrän derivaatta (tai kaltevuus) on yhtä suuri (tai samansuuntainen) kuin jakson keskiarvon keskimääräinen derivaatta. Lagrangen vuonna 1788 ilmestynyt analyyttistä mekaniikkaa käsittelevä tutkielma tarjosi kattavimman klassisen mekaniikan käsittelyn sitten Newtonin, ja se muodosti perustan matemaattisen fysiikan kehitykselle 1800-luvulla.
Pierre-Simon Laplace, johon joskus viitataan nimellä ”ranskalainen Newton”, oli merkittävä matemaatikko ja tähtitieteilijä, jonka monumentaalinen teos ”Taivaan mekaniikka” käänsi klassisen mekaniikan geometrisen tarkastelun laskentatekniikkaan perustuvaksi tutkimukseksi, joka avasi paljon laajemman ongelmakentän. Vaikka hänen varhaiset työnsä koskivat pääasiassa differentiaaliyhtälöitä ja äärellisiä differenssejä, hän alkoi jo 1770-luvulla pohtia todennäköisyyden ja tilastotieteen matemaattisia ja filosofisia käsitteitä, ja hän kehitti oman versionsa niin sanotusta bayesiläisestä todennäköisyystulkinnasta Thomas Bayesista riippumatta. Laplace tunnetaan hyvin uskostaan täydelliseen tieteelliseen determinismiin, ja hän katsoi, että pitäisi olla olemassa joukko tieteellisiä lakeja, joiden avulla voisimme – ainakin periaatteessa – ennustaa kaiken maailmankaikkeudesta ja sen toiminnasta.
Kuusi ensimmäistä Legendren polynomia
Kuusi ensimmäistä Legendren polynomia (Legendren differentiaaliyhtälön ratkaisut)
Adrien-Marie Legendre teki myös merkittävän panoksensa tilastotieteeseen, lukuteoriaan, abstraktissa algebrassa ja matemaattisessa analyysissä 18. vuosisadan lopulla ja 19. vuosisadan alkupuolella, vaikka monet hänen töistään (kuten pienimmän neliösumman menetelmä käyrien sovittamiseksi ja lineaariseksi regressioksi, kvadraattisen vastavuoroisuuden laki, alkulukujen lause ja hänen työnsä elliptisistä funktioista) saatiin täydellisyyteen – tai ainakin yleiseen tietoisuuteen – vasta toisten, erityisesti Gaussin, toimesta. Hänen ”Elements of Geometry” -teoksensa, joka on Eukleideuksen kirjan uudelleenmuotoilu, oli johtava geometrian oppikirja lähes sadan vuoden ajan, ja hänen äärimmäisen tarkka maanpinnan pituuspiirin mittauksensa innoitti metrisen mitta- ja painojärjestelmän luomiseen ja lähes maailmanlaajuiseen käyttöönottoon.
Vielä yksi ranskalainen, Gaspard Monge, keksi kuvailevan geometrian, nokkelan menetelmän, jolla kolmiulotteiset kohteet voidaan esittää projisoimalla ne kaksiulotteiselle tasolle tiettyjä menettelytapoja käyttäen, tekniikan, josta tuli myöhemmin tärkeä tekniikan, arkkitehtuurin ja muotoilun aloilla. Hänen ortografisesta projisoinnistaan tuli graafinen menetelmä, jota käytetään lähes kaikessa nykyaikaisessa mekaanisessa piirtämisessä.
Monien vuosisatojen yhä tarkempien approksimaatioiden jälkeen sveitsiläinen matemaatikko ja merkittävä tähtitieteilijä Johann Lambert esitti vihdoin vuonna 1761 tiukan todisteen siitä, että π on irrationaalinen eli sitä ei voida ilmaista yksinkertaisena murtolukuna, jossa käytetään pelkkiä kokonaislukuja, tai päättyvänä tai toistuvana desimaalilukuna. Tämä osoitti lopullisesti, että sitä ei voida koskaan laskea tarkasti, vaikka pakkomielle yhä tarkempien likiarvojen saamiseksi jatkuu tänäkin päivänä. (Yli sata vuotta myöhemmin, vuonna 1882, Ferdinand von Lindemann osoitti, että π on myös transsendentaalinen, eli se ei voi olla minkään polynomiyhtälön juuri, jolla on rationaaliset kertoimet). Lambert oli myös ensimmäinen, joka otti hyperboliset funktiot käyttöön trigonometriassa, ja hän esitti joitakin ennakoivia arvauksia ei-euklidisesta avaruudesta ja hyperbolisten kolmioiden ominaisuuksista.
| << Takaisin Leibniziin | Eteenpäin Bernoullin veljeksille >> |