ARMAX-malli (eli ARIMA-malli, jossa on eksogeeninen muuttuja) ilman vakiota on muotoa
Tämä on yksinkertaisesti ARMA-malli, jossa on ylimääräinen riippumaton muuttuja (kovariantti) yhtälön oikealla puolella. Lag-operaattoria käyttäen tämä vastaa
tai
Yksi tapa käsitellä tällaista mallia on tulkita se uudelleen lineaariseksi regressioksi plus ARMA-virheet:
jossa
Tämä malli vastaa
Esimerkki 1: Luodaan kuvion 1 vasemmanpuoleiselle aineistolle ARIMAX-malli, jossa X1 ja X2 ovat eksogeenisia muuttujia ja Y on aikasarja. Luo ennuste seuraaville 3 elementille tämän mallin perusteella.
Kuvio 1 – ARIMAX-mallin alustaminen
Real Statistics Data Analysis Tool: Voit käyttää tähän ARIMAX-tiedonanalyysityökalua. Paina Ctrl-m-näppäintä, valitse Time S -välilehdeltä ARIMAX ja täytä avautuva valintaikkuna kuvan 2 mukaisesti.
Kuva 2 – ARIMAX-valintaikkuna
Tulokset näkyvät kuvan 1 oikealla puolella sekä kuvissa 3 ja 4.
Kuvassa 1 alue G4:G22 sisältää array-kaavan =ADIFF(B4:B23,1), alue H5:H22 sisältää =ADIFF(C4:C23,1) ja alue I5:I22 sisältää =ADIFF(D:D23,1).
Kuvion 3 vasen puoli sisältää tavanomaisen X1:n ja X2:n regressioanalyysin Y:n suhteen, jonka tuloksena saadaan regressiomalli
Jäännökset lasketaan
jossa odotamme jäännösten noudattavan ARIMA(0,0,1)-mallia. Nämä residuaalit näkyvät kuvion 1 alueella J5:J22, laskettuna array-kaavalla
=I4:I22-TREND(I4:I22,G4:H22,,TRUE)
Kuva 3 – OLS-regressiomalli
OLS-regressiomallin residuaaleista tulee nyt ARIMA-mallin dataelementtejä, kuten kuvassa 4 esitetään. Huomaa, että vakiotermi on sisällytetty regressiomalliin, joten se ei sisälly ARIMA-malliin. Samoin differenssi on jo otettu huomioon, joten se ei kuulu ARIMA-malliin. Oletamme siis, että residuaalit noudattavat MA(1)-mallia.
Kuvio 4 – ARIMA(0,0,1)-malli residuaaleille
Kuviossa 4 esitetyn mallin ennuste on esitetty kuvassa 5. Huomaa, että soluissa AV24 ja AV25 näkyvät nollaennustearvot eivät välttämättä olisi nolla, jos olisimme käyttäneet residuaaleille eri ARIMA-mallia.
Kuvio 5 – Residuaaliennuste
Kuviossa 5 esitetty ennuste koskee vain residuaalien aikasarjaa. Meidän on nyt luotava ennuste alkuperäiselle aikasarjalle ajankohtina t = 21, 22 ja 23 niiden arvojen perusteella, joita odotamme eksogeenisille muuttujille X1 ja X2 kyseisinä ajankohtina.
Esitettäköön, että nämä eksogeeniset muuttujat saavat kuvan 6 alueella B24:C26 esitetyt arvot. Huomaa, että tässä kuviossa näkyy kuvion 1 vastaavien sarakkeiden alaosa, jossa lisätyt rivit vastaavat kolmea ennustearvoa.
Alueelle D24:D26 lisätyt merkinnät osoittavat alkuperäisen aikasarjan ennustetut arvot ajankohtina t = 21, 22 ja 24, jotka vastaavat B24:C26:ssa esitettyjä X1- ja X2-arvoja. Nämä ennustetut arvot lasketaan kuvassa 6 esitetyllä tavalla.
Kuva 6 – Aikasarjan ennuste
Sijoitetaan kaava =B24-B23 soluun G23, korostetaan alue G23:H25 ja painetaan näppäimiä Ctrl-R ja Ctrl-D. Tämä erottaa uudet X1- ja X2-arvot. Sijoita seuraavaksi rivikaava =TREND(I4:I22,G4:H22,G23:H25) alueelle I23:I25. Tämä laskee erotetut Y-ennustearvot.
Sijoita nyt kaava =AV23 soluun J23, korosta alue J23:J25 ja paina Ctrl-D näyttääksesi ennustetut jäännösarvot. Lopuksi aseta kaava =D23+I23+J23 soluun D24, korosta alue D24:D26 ja paina Ctrl-D, jotta saat pyydetyn Y-ennusteen.