Joka kerta, kun luomme jotakin uutta, siirrymme 0:sta 1:een. Luomisen teko on ainutkertainen, samoin kuin luomisen hetki, ja lopputulos on jotakin tuoretta ja outoa.
Peter Thiel, Zero to One
Vuonna 1992 Nature-lehdessä julkaistussa tutkimuksessa työskenneltiin viiden kuukauden ikäisten imeväisikäisten kanssa selvittääkseen heidän kykynsä ymmärtää yhteen- ja vähennyslaskua. Koehenkilöt näyttivät vauvoille esineen, piilottivat sen kuvaruudun taakse ja saivat sitten vauvat katsomaan, kun he lisäsivät ylimääräisen esineen kuvaruudun taakse. Joidenkin kokeiden aikana koehenkilöt poistivat salaa ylimääräisen esineen. Jo tuossa iässä vauvat tiesivät, että jokin oli vialla, kun he näkivät, että ryhmään lisättiin ”nolla ylimääräistä” esinettä ”yhden ylimääräisen” esineen sijasta.
Suurimmaksi osaksi tämä on synnynnäinen intuitio, joka vei meidät mukanaan varhaisilla matematiikan tunneillamme. Jos olimme onnekkaita (tai epäonnekkaita, riippuen siitä, keneltä kysytään), saimme ensimmäisen maistiaisen tämän intuition virallistamisesta yläasteen tai lukion geometriassa. Aloitimme ”aksioomiksi” kutsutuista lauseista – asioista, joita pidimme itsestäänselvyyksinä – ja meidät pakotettiin pohtimaan, miten intuitiomme johtui näistä aksioomista, ja konstruoimme muodollisia, vaikkakin yksinkertaisia, matemaattisia ”todistuksia” tuloksista, kuten kosinusten laista tai kahden kolmion yhteneväisyydestä.
Jos unohdit sen, kosinusten laki sanoo, että c2=a2+b2-2abcos(C)c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(C)c2=a2+b2-2abcos(C), missä aaa, bbb ja ccc ovat kolmion sivujen pituudet ja CCC on sivun ccc vastakkainen kulma. Jos CCC:n tilalle laitetaan 90 astetta, saadaan Pythagoraan lause.
Ensimmäisellä geometriatunnilla meille kerrottiin, mitä voimme olettaa todeksi – mutta pysähdyimmekö koskaan kysymään, miksi?
Kuka päätti, mitä tarkalleen ottaen voimme pitää itsestään selvänä? Miksi juuri nämä aksioomat? Miksi emme voineet olettaa, että kosinusten laki oli tosi, ja miksi meidän piti todistaa se?
Matemaatikot ovat pohtineet näitä kysymyksiä pitkään ja hartaasti, ja yhteisön yksimielisyys ei välttämättä ole tietyistä aksioomista, joita pidämme itsestäänselvyyksinä tosiasioina, vaan eräästä periaatteesta: pitäkää oletusten määrä mahdollisimman pienenä. Tämä muistuttaa kuuluisaa ongelmanratkaisutekniikkaa, joka tunnetaan nimellä Occamin partaveitsi: ”Kun ongelman ratkaisemiseksi esitetään kilpailevia hypoteeseja, on valittava ratkaisu, jossa on vähiten oletuksia.”
Aksioomien määrittäminen
Ongelma löytää minimaalinen joukko aksioomia, joista koko matematiikka seuraa, on vaikeampi kuin miltä se näyttää. Matemaatikot ovat ponnistelleet sen eteen vuosikausia, ja tunnetuin yritys oli matemaatikkojen Alfred North Whiteheadin ja Bertrand Russellin vuonna 1913 julkaisema Principia Mathematica. Vuonna 1931 loogikko Kurt Gödel kuitenkin osoitti, että mikään tällainen järjestelmä oli mahdoton – lyhyesti sanottuna, mikä tahansa aksioomavalinta olisi joko epätäydellinen, eikä sillä voitaisi todistaa kaikkea matematiikkaa, tai epäjohdonmukainen, ja sitä voitaisiin käyttää ristiriitojen todistamiseen.
Matematiikan on kuitenkin lähdettävä jostain liikkeelle, ja niinpä matemaatikot ovat määritelleet erityiset aksioomat erikoisaloille, joilla he työskentelevät, kuten geometrialle (ajatelkaapa Eukleideen aksioomia). Nämä erikoistuneet aksioomat ovat se, mitä geometristit, algebralaiset ja niin edelleen ovat päättäneet, että ne ovat minimaalinen joukko oletuksia, joita he tarvitsevat tehdäkseen tuottavaa työtä ja vetääkseen päteviä johtopäätöksiä.
Juuri näiden aksioomien avulla voimme vakaasti osoittaa, että 1 on itse asiassa suurempi kuin 0 – ei ”intuition” kaltaisten utuisten käsitteiden pohjalta, vaan vankan matemaattisen jalansijan varassa, joka rakentuu matemaattisen yhteisön aksiomaattiseen konsensukseen.
Ehkä ehkä juuri tämä erottaa henkiset kykymme viisikuukautisten lasten henkisistä kyvyistä.
Sivuhuomautuksena mainittakoon, että konventioiden uhmaaminen ja vaihtoehtoisten aksioomien seurausten tutkiminen on johtanut kokonaan uusien matematiikan alojen syntyyn. Yksi esimerkki on pallogeometria, joka heittää perinteiset euklidiset perusteet ikkunasta ulos. Pallolla esimerkiksi kolmion kulmat voivat laskea yhteen yli 180 astetta.
Tarvitsemamme aksioomat
”Jumala loi luonnolliset luvut; kaikki muu on ihmisen työtä”.”
Leopold Kronecker, saksalainen matemaatikko
Kun sanon ”minimaalinen joukko olettamuksia”, on monia eri ”minimaalisen” tasoja, joista voimme aloittaa. Perustava abstraktiotasomme voisi mahdollisesti olla se, että meillä on käytettävissämme vain luonnolliset luvut – 1,2,3,…1, 2, 3, …1,2,3,…1,2,3,…1,2,3,… – kuten Kronecker näyttää kannattavan. Vaihtoehtoisesti voimme yksinkertaisesti ottaa 1>01 > 01>0 aksioomaksi.
Voisimme mennä ensimmäisellä lähestymistavalla muutamaan suuntaan. On olemassa Peanon aksioomat, jotka ovat joukko luonnollisten lukujen aksioomeja, jotka pyrkivät kuvaamaan täysin niiden käyttäytymistä. Nämä aksioomat ovat melkein kuin Newtonin lait – eivät ole konstruoituja, vaan pikemminkin kuvaus luonnollisten lukujen ”luonnollisista” ominaisuuksista. Tässä lähestymistavassa yksinkertaisesti määritellään luonnollisten lukujen järjestys, joten päätellään 1>01 > 01>0 konstruoimalla.
Määrittelemme luonnollisten lukujen järjestyksen seuraavasti: luonnollisille luvuille aaa ja bbb, a≤ba \leq ba≤b, jos ja vain jos a+c=ba + c = ba+c=b jollekin luonnolliselle luvulle ccc.
Se on pätevä, mutta jossakin määrin se tuntuu hieman halpamaiselta – määrittelemme periaatteessa tuloksemme olemassaoloon.
Toisaalta voisimme yrittää todistaa 1>01 > 01>0 reaaliluvuilla. Perusluvuista lähteminen tähän suuntaan on kuitenkin melkein ”liian lähellä laitteistoa”, ja siirtyminen reaaliluvuista (1,2,31, 2, 31,2,3 jne.) reaalilukuihin (esim. 2,π,3\sqrt{2}, \pi, 32,π,3) edellyttää sellaisten käsitteiden kuin Cauchy-sarjojen, ekvivalenssiluokkien yms. käyttöä – työkaluja, jotka vaativat perusteellista taustaa modernista algebrasta (joka minulta valitettavasti puuttuu).
Viimeisen lähestymistavan käyttäminen, johtopäätöksemme, että 1>01 > 01>0, aksiomatisoiminen totuudeksi, olisi yhtä kuin jälkiruoan syöminen ennen päivällistä.
Mielestäni valaisevin lähestymistapa – helppokäyttöinen, mutta silti tyydyttävän tiukka – esiteltiin Michiganin yliopiston analyysin johdantoluennollani Michiganin yliopistossa professori Stephen DeBackerin toimesta. Aloitamme abstraktiotasolta, joka on helposti ymmärrettävissä – mutta silti riittävän loogisesti erillään tuloksestamme – jotta voimme silti nähdä omakohtaisesti, miten perusolettamuksemme avulla voimme formalisoida näennäisen yksinkertaisen johtopäätöksen, johon pyrimme. Lisäksi perusoletuksemme ovat samoja oletuksia, joita modernin algebran ja reaalianalyysin asiantuntijat käyttävät – joten sanoisin, että olemme oikeutettuja valitsemaan tämän paikan lähtökohdaksi.
”Minimiolettamuksemme” on, että reaaliluvut täyttävät alla olevat ominaisuudet, missä aaa, bbb ja ccc ovat mielivaltaisia reaalilukuja. Matemaattisen yhteisön yleisesti käyttämä termi, jolla viitataan kuhunkin ominaisuuteen, on lueteltu suluissa kunkin ominaisuuden vieressä.
- a+ba + ba+b on reaaliluku (ts. kahden reaaliluvun yhteenlasku johtaa toiseen reaalilukuun, tunnetaan myös nimellä ”sulkeutuminen yhteenlaskun alla”)
- a×ba \times ba×b on reaaliluku (”sulkeutuminen kertolaskun alla”)
- a+b=b+aa + b = b + aa+b=b+a (ts.ts. voimme vaihtaa yhteenlaskujen järjestystä, tunnetaan nimellä ”yhteenlaskun kommutatiivisuus”)
- (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)(a+b)+c=a+(b+c) (ts. voimme lisätä missä tahansa järjestyksessä, tunnetaan nimellä ”yhteenlaskun assosiatiivisuus”)
- On olemassa reaaliluku 000 siten, että a+0=aa + 0 = aa+0=a (000 on ”additiivinen identiteettielementti”)
- On olemassa on olemassa reaaliluku xxx siten, että a+x=0a + x = 0a+x=0 (xxx on ”additiivinen käänteisalkio”)
- a×b=b×aa \times b = b \times aa×b=b×a (”commutativity of
- (a×b)×c=a×(b×c)(a \ kertaa b) \ kertaa c = a \ kertaa (b \ kertaa c)(a×b)×c=a×(b×c) (”kertolaskun assosiatiivisuus”)
- Täällä on on olemassa reaaliluku 111 siten, että a×1=aa \times 1 = aa×1=a (1 on ”kertolaskuidentiteetti”)
- On olemassa reaaliluku yyy siten, että a×y=1a \times y = 1a×y=1, kun aaa ei ole nolla (yyy on ”multiplikatiivinen käänteisluku”)
- a×(b+c)=a×b+a×ca \times (b + c) = a \times b + a \times ca×(b+c)=a×b+a×c (”distributiivisuus”)
- 1≠01 \neq 01=0
- Reaaliluvut jaetaan positiivisiin ja negatiivisiin osajoukkoihin
- Positiivisten lukujen yhteen- ja kertolasku (i.e. luvut, jotka ovat suurempia kuin 000) yhteen, saadaan positiivinen luku
- Jokainen reaaliluku aaa on joko positiivinen (a>0a > 0a>0), negatiivinen (a<0a <0a < 0a<0), tai itse nolla (a=0a = 0a=0)
Voimme nyt liittää muutamia arvoja aaa:lle, bbb:lle ja ccc:lle saadaksemme intuition siitä, miksi kukin näistä ominaisuuksista pätee. On myös olemassa tapoja todistaa, että reaaliluvut täyttävät kaikki edellä mainitut ominaisuudet käyttämällä modernin algebran työkaluja, mutta ilman tätä taustaa edellä oleva on hyvin helppo lähtökohta.
Ei meidän tarvitse käyttää kaikkia edellä mainittuja ominaisuuksia todistuksessamme, mutta olen luetellut ne kaikki tässä, koska (mahdollisesti äärettömällä) kokoelmalla lukuja, jotka täyttävät kaksitoista ensimmäistä ominaisuutta, on matemaatikkojen keskuudessa erikoisnimi – ”kenttä”. Jos tämä numeroiden kokoelma täyttää myös kolme viimeistä ominaisuutta, sitä kutsutaan ”järjestetyksi kentäksi”. Pohjimmiltaan olettamuksemme on, että reaaliluvut muodostavat järjestetyn kentän.
Todistus
Aloittaaksemme todistuksemme, oletamme aksioomamme – että reaaliluvut muodostavat järjestetyn kentän ja näin ollen täyttävät edellä mainitut viisitoista ominaisuutta.
Aluksi tiedämme edellä mainittujen ominaisuuksien (5) ja (9) perusteella, että reaaliluvut 000 ja 111 ovat olemassa. Ominaisuudesta (15) tiedämme, että 111 on joko positiivinen, negatiivinen tai nolla. Ominaisuuden (12) perusteella tiedämme, että 1≠01 \neq 01=0. Jäljelle jää kaksi mahdollisuutta: joko 111 on positiivinen ja 1>01 > 01>0 tai 111 on negatiivinen ja 1<01 < 01<0.
Etenemme seuraavaksi tekniikalla, jota kutsutaan nimellä ”todistaminen ristiriitaisuudella”. Pohjimmiltaan oletamme, että jokin, jonka haluamme osoittaa epätodeksi, on totta, ja käytämme oletettua totuutta todistaaksemme jotain, jonka tiedämme varmasti olevan epätosi. Tämänkaltaisen manööverin looginen seuraus on, että sen, minkä oletimme olevan totta, täytyy olla mahdotonta olla todella totta, koska se johti mahdottomuuteen. Näin ollen sen täytyy olla epätosi.
Jos meillä on valittavana muutama mahdollisuus, joista yhden täytyy olla tosi, tämä taktiikka on hyvä tapa eliminoida mahdottomat vaihtoehdot ja rajata pois se, mikä on todellinen mahdollisuus.
Jos todistaminen ristiriitaisuudella kuulostaa monimutkaiselta, se on sitä – mutta se on myös olennainen matemaattinen työkalu. Joskus jonkin asian todistamisen monimutkaisuus suoraan – ilman ristiriitaa – tekee ongelmasta niin vaikean, että voi itse asiassa olla helpompaa osoittaa, että vaihtoehtoiset mahdollisuudet eivät yksinkertaisesti voi olla totta.
Esitellään, että 1<01 < 01<0 – että 111 on negatiivinen – ja osoitetaan, että se johtaa mahdottomuuteen. Yksi mahdollinen mahdottomuus, jonka voisimme osoittaa, on se, että tämä oletus implikoi, että 1≥01 \geq 01≥0, koska ominaisuuden (15) mukaan 111 ei voi olla samanaikaisesti sekä pienempi kuin nolla että suurempi tai yhtä suuri kuin nolla.
Ominaisuuden (6) mukaan on olemassa reaaliluku xxx, joka on sellainen, että 1+x=01 + x = 01+x=0.
Voidaan lisätä xxx molempiin puoliin, jolloin saadaan 1+x<0+x1 + x < 0 + x1+x<0+x.
Koska ominaisuus (5) kertoo, että 0+x=x0 + x = x0+x=x, voidaan epätasa-arvo yksinkertaistaa muotoon 0<x0 < x0<x.
Me emme kuitenkaan voi vielä sanoa, että xxx:n täytyy olla -1-1-1 – ominaisuus (6) sanoo vain, että on olemassa reaaliluku xxx. Meidän on todistettava se.
Lemma on välitodistus, jota voimme käyttää suuremman tuloksen todistamiseen. Se, kutsutaanko jotakin teoreemaksi vai lemaksi, ei ole välttämättä tarkkaan määritelty, mutta yleisesti ottaen lemmat ”auttavat” meitä todistamaan sen, mitä todella haluamme.
Lemma: Additiiviset käänteisluvut ovat yksikäsitteisiä
Tapauksessamme todistaaksemme, että ominaisuudessa (6) oleva xxx on yksikäsitteinen – tarkemmin sanottuna, että on olemassa vain yksi reaaliluku xxx, joka on sellainen, että 1+x=01 + x = 01+x=0 (ja näin ollen reaaliluvun xxx täytyy olla -1-1-1), voimme taas edetä ristiriidan kautta.
Esitetään, että on olemassa toinen reaaliluku zzz, jossa z≠xz \neq xz=x, niin että 1+z=01 + z = 01+z=0. Tarkastellaan nyt lauseketta x+1+zx + 1 + zx+1+z. Koska tasa-arvo on refleksiivinen – eli a=aa = aa=a kaikille aaa – tiedämme, että x+1+z=x+1+zx + 1 + z = x + 1 + zx+1+z=x+1+z.
Ominaisuuden (4), yhteenlaskun assosiatiivisuuden, nojalla voimme ryhmitellä lausekkeet seuraavasti: (x+1)+z=x+(1+z)(x + 1) + z = x + (1 + z)(x+1)+z=x+(1+z).
Ominaisuuden (3), yhteenlaskun kommutatiivisuuden, nojalla voimme järjestää ensimmäisen suureen uudelleen, jolloin saadaan (1+x)+z=x+(1+z)(1 + x) + z = x + (1 + z)(1+x)+z=x+(1+z).
Koska 1+x1 + x1+x ja 1+z1 + z1+z ovat molemmat yhtä suuria kuin nolla, saadaan 0+z=x+00 + z = x + 00+z=x+0, ja ominaisuuden (5), additiivisen identiteettielementin, nojalla z=xz = xz=x. Oletimme kuitenkin, että z≠xz \neq xz=x, joten meillä on ristiriita!
Siten voi olla olemassa vain yksi reaaliluku xxx, joka on sellainen, että 1+x=01 + x = 01+x=0. Jos korvaamme jokaisen 111:n tapauksen yllä olevissa riveissä mielivaltaisella reaaliluvulla aaa, tämä lemma osoittaa, että mille tahansa reaaliluvulle aaa on olemassa yksikäsitteinen xxx, joka on sellainen, että a+x=0a + x = 0a+x=0. Koska tämä xxx on ainutkertainen, voimme turvallisesti antaa tälle xxx:lle ainutkertaisen nimen -a-a-a, mikä johtaa tuttuun negatiivien käsitteeseen, jossa a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0. Erityistapauksessamme tämä osoittaa, että xxx:n on oltava yhtä suuri kuin -1-1-1.
Lemma: Negatiiviset merkit ”kumoavat”
Soveltamalla edellä olevan lemman tuloksia, aiempi epätasa-arvomme 0<x0 < x0<x muuttuu 0<-10 < -10<-1.
Ominaisuuden (14) mukaan positiivisten lukujen tulo on positiivinen, joten 0<(-1)(-1)0 < (-1)(-1)0<(-1)(-1). Emme kuitenkaan voi vielä sanoa, että ”kaksi negaatiota kumoaa toisensa” – mikään aksioomista ei edellytä sitä! Meidän on todistettava, että (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)(-1)=(1)(1). Tarvitsemme toisen lemman.
Yleisessä tapauksessa mille tahansa reaaliluvulle aaa meidän on osoitettava, että (-a)(-a)=(a)(a)=a2(-a)(-a) = (a)(a) = a^2(-a)(-a)=(a)(a)=a2. Ominaisuus (6) – oletus siitä, että jokaisella alkuaineella on additiivinen käänteisluku – käsittelee negatiivisia merkkejä, ja se voisi tarjota mielenkiintoisen väylän tämän osoittamiseen.
Jos sinusta tuntuu, että alat päästä jyvälle asioista, voit vapaasti lopettaa tähän ja yrittää käyttää aksioomia todistaaksesi joitain välituloksia itsenäisesti. Jos jäät jumiin, voit aina selata alaspäin!
Sen vuoksi, että additiiviset käänteisluvut ovat yksikäsitteisiä, tiedämme, että on olemassa yksikäsitteinen reaaliluku -a2-a^2-a2 siten, että a2+(-a2)=0a^2 + (-a^2) = 0a2+(-a2)=0.
Ominaisuuden (3), yhteenlaskun kommutatiivisuuden, nojalla on -a2+a2=0-a^2 + a^2 = 0-a2+a2=0.
Edellinen lemma kertoi, että jos -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0, niin xxx on yksikäsitteinen, joten jos meillä on lauseke muotoa -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0, niin meillä täytyy olla x=a2x = a^2x=a2. Jos siis voimme osoittaa, että -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0, tiedämme varmasti, että (-a)(-a)=a2(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
Työskennellään lausekkeen -a2+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a) kanssa. Meidän on jotenkin pilkottava -a2-a^2-a2 osatekijöihinsä kertolaskujen tekemistä varten, joten tarvitsemme vielä toisen lemman – todistamaan, että -a2=-a(a)-a^2 = -a(a)-a2=-a(a).
Lemma: Negatiivisen ja positiivisen tulo on negatiivinen
Tätä lemmaa varten käytämme samankaltaista lähestymistapaa kuin edellä aloittamaamme, jossa käytämme additiivisten käänteislukujen yksikäsitteisyyttä osoittaaksemme, että yhden tulon täytyy olla yhtä suuri kuin toisen tulon. Koska -a2-a^2-a2 on a2a^2a2:n ainutkertainen additiivinen käänteisluku, jos osoitamme, että a2+(-a)(a)=0a^2 + (-a)(a) = 0a2+(-a)(a)=0, niin (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Huomaa, että a2=a(a)a^2 = a(a)a2=a(a), joten ominaisuuden (7), kertolaskun kommutatiivisuuden, nojalla on a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a)a^2 + (-a)(a) = a(a) + a(-a)a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a).
Ominaisuuden (11) nojalla voimme faktoroida a(a)+a(-a)a(a) + a(-a)a(a)+a(-a) muotoon a(a+(-a))a(a+(-a))a(a + (-a))a(a+(-a)).
Ominaisuuden (6) mukaan a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0, joten saadaan a2+(-a)(a)=a0a^2 + (-a)(a) = a0a2+(-a)(a)=a0.
Olisimme valmiit, jos a0=0a0 = 0a0=0, mutta sitä emme ole vielä todistaneet!
Lemma: Tuote 0:n kanssa on 0
Ominaisuuden (5) mukaan 0+0=00 + 0 = 00+0=0. Voimme siis kirjoittaa a0=a(0+0)a0 = a(0 + 0)a0=a(0+0).
Ominaisuuden (11) nojalla tämä jakaantuu muotoon a0=a0+a0a0 = a0 + a0a0=a0+a0.
Ominaisuuden (6) mukaan a0a0a0:lle a0a0a0 on olemassa yksikäsitteinen additiivinen käänteisluku -a0-a0-a0, joten voimme lisätä sen yhtälömme molempiin puoliin saadaksemme tulokseksi a0+(-a0)=a0+a0+(-a0)a0+(-a0) = a0+a0+(-a0)a0+(-a0)a0 + (-a0)a0 +(-a0)a0+(-a0).
Yksinkertaistamalla saadaan 0=a00 = a00=a0.
Putting It All Together
Tästä voimme päätellä, että a2+(-a)(a)=a0=0a^2 + (-a)(a) = a0 = 0a2+(-a)(a)=a0=0, joten (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Sovittamalla tämä edelliseen lemmaan saadaan -a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a) = -a(a) + (-a)(-a)-a2 + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a).
Ominaisuuden (11) nojalla voimme sitten faktoroida tämän lausekkeen muotoon -a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a))-a^2 + (-a)(-a) = -a(a + (-a))-a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a)).
Ominaisuuden (6) nojalla, kun additiiviset käänteisluvut laitetaan yhteen, saadaan -a2+(-a)(-a)=-a0-a^2 + (-a)(-a) = -a0-a2+(-a)(-a)=-a0, joten -a2+(-a)(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0.
Siten (-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a) on -a2-a^2-a2:n ainoa additiivinen käänteisluku, joten (-a)(-a)=a2(-a)(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)(-a)(-a)=a2.
Kierrettyämme koko matkan ylöspäin jäimme 0<(-1)(-1)0 < (-1)(-1)0<(-1)(-1)0<(-1)(-1). Tämä viimeinen lemma kertoo meille, että (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)(-1)=(1)(1). Ominaisuuden (9) mukaan multiplikatiivinen identtinen alkio, (1)(1)=1(1)(1) = 1(1)(1)=1. Näin ollen meillä on 0<10 < 10<1, joten 1>01 > 01>0.
Tämä on ristiriita, koska oletimme, että 1<01 < 01<0! Ominaisuuden (15) mukaan jokainen reaaliluku on joko positiivinen, negatiivinen tai nolla – mikään luku ei voi olla samanaikaisesti sekä positiivinen että negatiivinen! Näin ollen kyseessä on mahdottomuus, eikä alkuperäinen oletuksemme – 1<01 < 01<0 – voi pitää paikkansa. Voimme poistaa tämän mahdollisuuden, jolloin jäljelle jää vain yksi tapaus: 1>01 > 01>0. Koska tiedämme, että jokaisen reaaliluvun on kuuluttava johonkin näistä kolmesta tapauksesta, ja olemme poistaneet niistä kaksi, meidän on oltava 1>01 >01 > 01>0.
Kuten Peter Thiel niin kauniisti asian ilmaisi, kuinka raikasta ja outoa.