Yksi fysiikan peruskäsitteistä on energia. On vaikea määritellä, mitä energia oikeastaan on, mutta yksi käyttökelpoinen määritelmä voisi olla ”systeemissä tapahtuvan muutoksen määrän tai systeemissä tapahtuvan muutoksen potentiaalin mitta”.
Karkeasti ottaen energia voidaan jakaa kahteen muotoon, kineettiseen ja potentiaaliseen. Kineettinen energia on liikkeen tai muutoksen energiaa. Potentiaalienergia on energiaa, joka systeemillä on sen seurauksena, että se voi kokea jonkin muutoksen. Esimerkkinä mainittakoon, että putoavalla kirjalla on liike-energiaa, koska sen sijainti avaruudessa muuttuu (se liikkuu alaspäin). Hyllyllä lepäävällä kirjalla ei ole potentiaalienergiaa hyllyyn nähden, koska sen korkeus hyllyyn nähden on nolla metriä. Jos kirja kuitenkin nostetaan jollekin korkeudelle hyllyn yläpuolelle, sillä on potentiaalienergiaa, joka on verrannollinen siihen korkeuteen, jolla se sijaitsee hyllyn yläpuolella.
Kappaleella voi olla samanaikaisesti sekä liike-energiaa että potentiaalienergiaa. Esimerkiksi esineellä, joka on putoamassa, mutta ei ole vielä saavuttanut maata, on liike-energiaa, koska se liikkuu alaspäin, ja potentiaalienergiaa, koska se pystyy liikkumaan alaspäin vielä pidemmälle kuin se on jo liikkunut. Esineen potentiaali- ja liike-energioiden summaa kutsutaan esineen mekaaniseksi energiaksi.
Kappaleen pudotessa sen potentiaalienergia pienenee, kun taas sen liike-energia kasvaa. Potentiaalienergian väheneminen on täsmälleen yhtä suuri kuin kineettisen energian lisääntyminen.
Toinen tärkeä käsite on työ. Samalla tavoin kuin määrittelimme energian, voimme määritellä työn ”energian käytön aikaansaaman muutoksen määrän mittaamiseksi systeemissä”. Voit esimerkiksi tehdä työtä kirjalle nostamalla sen lattialta ja laittamalla sen hyllylle. Näin tehdessäsi olet lisännyt kirjan potentiaalienergiaa (lisäämällä sen potentiaalia pudota lattialle). Potentiaalienergian määrä, jonka olet ”antanut” kirjalle, on täsmälleen sama kuin työmäärä, jonka teet nostamalla sen hyllylle.
Matemaattisesti energia on kuitenkin hyvin helppo määritellä. Kineettinen energia on 1/2 m v^2. Potentiaalienergia on hieman hankalampi. Sanotaan, että meillä on voima, joka voidaan kirjoittaa gradienttina (kolmiulotteinen derivaatta. Jos et tiedä, mikä se on, kuvittele, että se on normaali derivaatta, ja sinun pitäisi pystyä ymmärtämään asiat yhdessä ulottuvuudessa.) jostakin funktiosta ϕ. 
Voidaan lyhyesti esittää seuraava periaate, joka pätee suljettuihin systeemeihin (eli kun ei ole vuorovaikutuksia systeemin ulkopuolisten asioiden kanssa):
Kaikissa suljetuissa systeemeissä tapahtuvissa fysikaalisissa prosesseissa liike-energian muutoksen määrä on yhtä suuri kuin potentiaalienergian muutoksen määrä. Jos liike-energia kasvaa, potentiaalienergia pienenee ja päinvastoin.
Kun tarkastelemme avoimia systeemejä (eli kun on vuorovaikutusta systeemin ulkopuolisten asioiden kanssa), on mahdollista, että energiaa lisätään systeemiin (tekemällä siihen työtä) tai otetaan systeemistä (antamalla systeemin tehdä työtä). Tällöin sovelletaan seuraavaa sääntöä:
Systeemin kokonaisenergia (liike-energia plus potentiaalienergia) kasvaa systeemiin tehdyn työn verran ja vähenee systeemin tekemän työn verran.
Tämä johtaa meidät pohtimaan energian ja muiden suureiden säilymistä.
Monissa tapauksissa ”saat ulos sen, mitä laitat sisään”.
Jos laitat kolme paria sukkia tyhjään kuivausrumpuun, sinun ei tarvitse analysoida kuivausrummun tarkkaa konfiguraatiota, lämpötilaprofiilia tai muita asioita saadaksesi selville, kuinka monta sukkaa kuivausrummusta tulee ulos. Kuivausrummusta tulee ulos 3 paria sukkia.
Säilymislaki yleisimmässä muodossaan sanoo yksinkertaisesti, että jonkin suureen kokonaismäärä suljetussa systeemissä ei muutu. Yllä olevassa esimerkissä säilyvä määrä olisi sukat, systeemi olisi kuivausrumpu, ja systeemi on suljettu niin kauan kuin kukaan ei laita sukkia kuivausrumpuun tai ota sukkia kuivausrummusta. Jos systeemi ei ole suljettu, voimme aina tarkastella laajempaa systeemiä, joka on suljettu ja joka käsittää alun perin tarkastelemamme systeemin (esim. talon, jossa kuivausrumpu sijaitsee), vaikka ääritapauksissa tämä voi johtaa meidät tarkastelemaan sukkien (tai minkä tahansa) määrää koko maailmankaikkeudessa!
Säilymislait auttavat meitä ratkaisemaan ongelmia nopeasti, koska tiedämme, että meillä on jonkun prosessin lopussa sama määrä säilyvää suureen kuin sen alussa. Periaatteelliset säilymislait ovat;
- massan säilyminen
- energian säilyminen
- impulssin säilyminen
- kulmavauhdin säilyminen
- varauksen säilyminen
Palataksemme yllä olevaan esimerkkiin, niin ”sukkien säilyminen” on itse asiassa seurausta massan säilymislaista.
On huomattava, että ydinreaktioiden yhteydessä energia voidaan muuttaa massaksi ja päinvastoin. Tällaisissa reaktioissa massan ja energian kokonaismäärä ei muutu. Siksi näistä kahdesta ensimmäisestä säilymislaista kahta käsitellään usein yhtenä massa-energian säilymislakina
Yhdistämällä nämä lait Newtonin lakeihin saadaan muita johdettuja säilyviä suureita, kuten
- kulmavauhdin säilyminen
Yksittäisessä suljetussa systeemissä kokonaisenergiamäärä säilyy aina. Tämä ilmenee siten, että n energiamuutoksen summa on yhteensä 0.
∑ k = 1 n Δ E k = 0 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\Delta \mathbf {E} _{k}=0}
Esimerkki tällaisesta energian muutoksesta on pallon pudottaminen etäisyydeltä maanpinnan yläpuolelta. Pallon energia muuttuu pudotessaan potentiaalienergiasta liike-energiaksi.
U g = m g h K = 1 2 m v 2 {\displaystyle {\begin{matrix}U_{g}&=&m\mathbf {g} h\\\K&=&=&{1 \over 2}m\mathbf {v} ^{2}\end{matrix}}}
Koska tämä on systeemissämme ainoa energiamuutos, otamme yksinkertaisen fysikaalisen ongelman ja mallinnamme sen havainnollistamiseksi.
Kappaleen, jonka massa on 10 kiloa, pudotamme 3 metrin korkeudesta. Mikä on sen nopeus, kun se on 1m maanpinnan yläpuolella?
Aloitamme arvioimalla potentiaalienergiaa, kun esine on alkutilanteessa.
U g = m g h U g = 30 g g = 9,807 m s – 2 U g = 30 ⋅ 9,807 U g 3 = 294,21 J {\displaystyle {\begin{matrix}U_{g}&=&m\mathbf {g} h\\\U_{g}&=&30\mathbf {g} \\\\mathbf {g} &=&9.807ms^{-2}\\U_{g}&=&30\cdot 9.807\\U_{g3}&=&294.21J\end{matrix}}}
Kappaleen potentiaalienergia 1m korkeudella maanpinnasta saadaan vastaavalla tavalla.
U g = m g h U g = 10 g U g = 10 ⋅ 9.807 U g 1 = 98.07 J {\displaystyle {\begin{matrix}U_{g}&=&m\mathbf {g} h\\\\U_{g}&=&10\mathbf {g} \\U_{g}&=&10\cdot 9.807\\U_{g1}&=&98.07J\end{matrix}}}
Siten potentiaalienergian muutos saadaan
Δ U g = 294.21 – 98.07 = 196.14 J {\displaystyle {\begin{matrix}\Delta U_{g}&=&294.21-98.07=196.14J\end{matrix}}}
Määritelmän mukaan potentiaalienergian muutos vastaa kineettisen energian muutosta. Esineen alkuperäinen KE on 0, koska se on levossa. Näin ollen lopullinen kineettinen energia on yhtä suuri kuin KE:n muutos.
Δ U g = Δ K 196,14 J = 1 2 m v 2 196.14 = 5 v 2 {\displaystyle {\begin{matrix}\Delta U_{g}&=&\Delta K\\\196.14J&=&=&{1 \over 2}m\mathbf {v} ^{2}\\196.14&=&5\mathbf {v} ^{2}\end{matrix}}}
Rearranging for v
196.14 5 = v 2 196.14 5 = v v ≈ 6.263 m s – 1 {\displaystyle {\begin{matrix}{196.14 \over 5}&=&\mathbf {v} ^{2}\\\{\sqrt {196.14 \over 5}}&=&\mathbf {v} \\\\\\mathbf {v} &\approx &6.263ms^{-1}}\end{matrix}}}
Voimmepa tarkastaa suorituksemme seuraavalla kinemaattisella yhtälöllä.
v 2 = u 2 + 2 a s v 2 = 0 2 + 2 g s v = 2 g s v = 2 ⋅ 9.807 ⋅ 2 v ≈ 6.263 m s – 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {v} ^{2}&=&\mathbf {u} ^{2}+2\mathbf {as} \\\\\mathbf {v} ^{2}&=&0^{2}+2\mathbf {gs} \\\\\mathbf {v} &=&{\sqrt {2\mathbf {gs} }}\\\\\mathbf {v} &=&{\sqrt {2\cdot 9.807\cdot 2}}}\\\\\mathbf {v} &\approx &6.263ms^{-1}\end{matrix}}}}
Tämä seuraa siitä, että voimme itse asiassa käyttää energiayhtälöitä tuottaaksemme edellä esitetyn kinemaattisen yhtälön.
Δ U g = Δ K m g h = 1 2 m v 2 m g Δ h = 1 2 m Δ ( v 2 ) s = Δ h g s = 1 2 Δ ( v 2 ) 2 g s = v 2 – v 0 2 2 a s = v 2 – u 2 v 2 = u 2 + 2 a s {\displaystyle {\begin{matrix}\Delta U_{g}&=&\Delta K\\\m\m\mathbf {g} h&=&{1 \over 2}m\mathbf {v} ^{2}\\\\m\mathbf {g} \Delta h&=&{1 \over 2}m{\Delta (\mathbf {v} }^{2})\\\\mathbf {s} &=&\Delta h\\\\\mathbf {gs} &=&{1 \over 2}\Delta (\mathbf {v} ^{2})\\\2\mathbf {gs} &=&\mathbf {v} ^{2}-{\mathbf {v} _{0}}^{2}\\\2\mathbf {as} &=&\mathbf {v} ^{2}- \mathbf {u} ^{2}\\\\\mathbf {v} ^{2}&=&\mathbf {u} ^{2}+2\mathbf {as} \end{matrix}}}
