Idea
YangâMillsin teoria on mittateoria tietyllä 4-ulotteisella (pseudo-)Riemannin moninaisuudella XX, jonka kenttä on YangâMillsin kenttä â cocycle ââH(X,B¯U(n))\nabla \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}U(n)) differentiaalisessa ei-abeliaanisessa kohomologiassa, jota edustaa vektorinippu, jolla on yhteys â ja jonka toimintafunktio on
for
-
F âF_\nabla kentän voimakkuus, paikallisesti kaarevuus ð²(n)\mathfrak{u}(n)-Lie-algebra-arvoinen differentiaalimuoto XX:ssä ( jossa ð²(n)\mathfrak{u}(n) on unitääriryhmän U(n)U(n) Lie-algebra);
-
â\star metriikan gg Hodge-tähtioperaattori;
-
1g 2\frac{1}{g^2} Yang-Millsin kytkentävakio ja θ\theta theta-kulma, joitain reaalilukuja (ks. kohdasta S-dualiteetti).
(Ks. tämä esimerkki osoitteessa Ensimmäinen ajatus kvanttikenttäteoriasta.)
Ominaisuudet
Ratkaisujen luokittelu
-
Narasimhan-Seshadrin teoreema
-
Donaldson-Uhlenbeck-Yaun teoreema
Kvantifikaatio
Vaikkakin perustavanlaatuinen rooli hiukkasfysiikan standardimallissa, Yang-Millsin teorian kvantittumisen monet yksityiskohdat ovat edelleen avoimia. Ks. kohdasta Yang-Mills-teorian kvantisointi.
Sovellukset
Kaikki hiukkasfysiikan standardimallissa sekä GUT-malleissa esiintyvät mittakentät ovat YangâMills-kenttiä.
Standardimallin ainekentät ovat YangâMills-kentän alla varattuja spinoreita. Katso
- spinorit Yang-Millsin teoriassa
Historiaa
Jaffe-Witteniltä:
JangâMillsin teorian löytyessä 1950-luvulla tiedettiin jo, että Maxwellin teorian kvanttiversio â joka tunnetaan nimellä Kvantti-Elektrodynamiikka tai QED â antaa erittäin tarkan kuvauksen sähkömagneettisista kentistä ja voimista. Itse asiassa QED paransi tiettyjen aikaisempien kvanttiteorian ennusteiden tarkkuutta useilla suuruusluokilla ja ennusti myös uusia energiatasojen jakautumisia.
Olikin luonnollista kysyä, kuvaako ei-abeliaaninen ulottumateoria muita luonnossa esiintyviä voimia, erityisesti heikkoa voimaa (joka on vastuussa muun muassa radioaktiivisuuden tietyistä muodoista) ja vahvaa voimaa eli ydinvoimaa (joka on vastuussa muun muassa protonien ja neutronien sitomisesta ytimiin). Klassisten YangâMillsin aaltojen massaton luonne oli vakava este YangâMillsin teorian soveltamiselle muihin voimiin, sillä heikko ja ydinvoima ovat lyhyen kantaman voimia ja monet hiukkaset ovat massiivisia. Näin ollen nämä ilmiöt eivät näyttäneet liittyvän massattomia hiukkasia kuvaaviin pitkän kantaman kenttiin.
1960- ja 1970-luvuilla fyysikot voittivat nämä esteet, jotka haittasivat ei-abeliaanisen mittateorian fysikaalista tulkintaa. Heikon voiman tapauksessa tämä onnistui GlashowâSalamâWeinbergin sähköheikon teorian avulla, jossa on mittaryhmä H=H = SU(2) Ã\times U(1). Kehittämällä teoriaa ylimääräisellä Haggsin kentällä vältettiin klassisten YangâMills-aaltojen massaton luonne. Higgsin kenttä muuntuu HH:n kaksiulotteiseksi esitykseksi; sen nollasta poikkeava ja suunnilleen vakioarvo tyhjiötilassa vähentää HH:n rakenneryhmän U(1)U(1)-alaryhmäksi (joka on diagonaalisesti upotettu SU(2)ÃU(1)SU(2)\times U(1). Tämä teoria kuvaa sekä sähkömagneettisia että heikkoja voimia enemmän tai vähemmän yhtenäisellä tavalla; koska rakenneryhmä pelkistetään U(1)U(1):ksi, pitkän kantaman kentät ovat vain sähkömagnetismin kenttiä, mikä vastaa sitä, mitä näemme luonnossa.
Vahvojen vuorovaikutusten massattomien YangâMills-kenttien ongelman ratkaisu on luonteeltaan täysin erilainen. Tuo ratkaisu ei tullut lisäämällä kenttiä YangâMillsin teoriaan, vaan löytämällä merkittävä ominaisuus itse YangâMillsin kvanttiteoriasta, toisin sanoen kvanttiteoriasta, jonka klassinen Lagrangian on annettu ]. Tätä ominaisuutta kutsutaan âasymptoottiseksi vapaudeksiâ. Karkeasti tämä tarkoittaa sitä, että lyhyillä etäisyyksillä kenttä osoittaa kvanttikäyttäytymistä, joka on hyvin samankaltaista kuin sen klassinen käyttäytyminen; kuitenkin pitkillä etäisyyksillä klassinen teoria ei enää ole hyvä opas kentän kvanttikäyttäytymiseen.
Asymptoottinen vapaus yhdessä muiden 1960- ja 1970-luvuilla tehtyjen kokeellisten ja teoreettisten löydösten kanssa mahdollisti sen, että ydinvoima pystyttiin kuvaamaan ei-abeliaanisella mittateorialla, jossa mittaryhmä on muotoa G=G = SU(3). Lisäkentät kuvaavat klassisella tasolla âkvarkkejaâ, jotka ovat elektronin kaltaisia spin 1/2 -objekteja, mutta jotka muuntuvat SU(3)SU(3)SU(3:n perusedustuksessa. Vahvan voiman ei-abeliaanista mittateoriaa kutsutaan kvanttikromodynamiikaksi (Quantum Chromodynamics, QCD).
QCD:n käyttäminen vahvan voiman kuvaamiseen motivoitui 1960- ja 1970-luvuilla tehdyistä kokeellisista ja teoreettisista havainnoista, jotka liittyivät vahvan vuorovaikutuksen symmetrioihin ja korkean energian käyttäytymiseen. Mutta klassinen ei-abeliaaninen mittateoria eroaa hyvin paljon vahvan vuorovaikutuksen havaitusta maailmasta; jotta QCD voisi kuvata vahvaa voimaa menestyksekkäästi, sillä on oltava kvanttitasolla seuraavat kolme ominaisuutta, joista jokainen eroaa dramaattisesti klassisen teorian käyttäytymisestä:
(1) Sillä on oltava âmassa-aukko;â nimittäin on oltava jokin vakio Î>0 \Delta \gt 0 siten, että jokaisella tyhjiön herätyksellä on energiaa vähintään Î\Delta.
(2) Sillä on oltava âkvarkkien rajoittuneisuusº eli vaikka teoriaa kuvataan alkeiskenttien, kuten kvarkkikenttien, avulla, jotka muuntuvat ei-triviaalisti SU(3):n mukaisesti, fysikaalisten hiukkasten tilat, kuten protoni, neutroni ja pioni, ovat SU(3)-invariantteja.
(3) Siinä on oltava âkiraalinen symmetrian murtuminen,â mikä tarkoittaa, että tyhjiö on potentiaalisesti invariantti (siinä raja-arvossa, että kvarkkien paljaat massat häviävät) vain kvarkkikenttiin vaikuttavan täyden symmetriaryhmän tietyn alaryhmän alaisuudessa.
Ensimmäistä kohtaa tarvitaan selittämään, miksi ydinvoima on voimakas mutta lyhytkestoinen; toista kohtaa tarvitaan selittämään, miksi emme koskaan näe yksittäisiä kvarkkeja; ja kolmatta kohtaa tarvitaan selittämään 1960-luvulla kehitetty pehmeitä pioneja koskeva âvirta-algebraâ-teoria.
Sekä kokeet â sillä QCD:llä on ollut lukuisia onnistumisia vastakkainasettelussa kokeisiin nähden â että 1970-luvun loppupuolelta lähtien suoritetut tietokonesimuloinnit ovat antaneet vahvaa tukea sille, että QCD:llä todella on edellä mainitut ominaisuudet. Nämä ominaisuudet ovat jossain määrin nähtävissä teoreettisissa laskelmissa, jotka on suoritettu erilaisilla erittäin yksinkertaistetuilla malleilla (kuten vahvasti kytketyllä ristikkorakenteisella mittateorialla). Mutta niitä ei ymmärretä täysin teoreettisesti; ei ole olemassa vakuuttavaa, vaikkakin matemaattisesti täydellistä, teoreettista laskelmaa, joka osoittaisi minkä tahansa näistä kolmesta ominaisuudesta QCD:ssä, toisin kuin sen voimakkaasti yksinkertaistetussa typistyksessä.
Tämä on Yang-Mills-teorian ei-turbatiivisen kvantisoinnin ongelma. Katso sieltä lisää.
-
D=5 Yang-Mills-teoria
-
massiivinen Yang-Mills-teoria
-
super-Yang-Mills-teoria
-
super-Yang-Mills-teoria
-
.Mills-teoria
-
minimaalinen kytkentä
-
’t Hooftin kaksoisviivamerkintä
-
Einstein-Yang-Mills-teoria
-
Einstein-Maxwell-teoria
-
Einstein-Yang-Mills-Dirac-teoria
-
Einstein-Maxwell-Yang-Mills-Dirac-Higgs-teoria
-
-
Yang-Millsin yhtälö
-
hiukkasfysiikan standardimalli
-
sähkömagnetismi
-
spinorit Yang-Mills-teoriassa
-
QED, QCD,
-
sähköheikko kenttä
-
-
Yang-monopoli, ’t Hooft-Poljakov-monopoli
-
S-duaalisuus, Montonen-Oliven dualiteetti
-
sähkömagneettinen dualiteetti
-
geometrinen Langlandsin dualiteetti
-
-
Chern-Simonsin teoria
-
Yang-Millsin instanton
- sulautuminen
-
asymptoottinen vapaus
yleinen
Yang-Millsin teoria on nimetty artikkelin
- Chen Ning Yang mukaan, Robert Mills, Isotooppisen spinin säilyminen ja isotooppinen mittainvarianssi. Physical Review 96 (1): 191â 195. (1954) (web)
jossa ensimmäisenä yleistettiin sähkömagnetismin periaate ei-abalialaiseen mittausryhmään. Tämä hyväksyttiin QCD:n ja heikkojen vuorovaikutusten muotoiluksi (vasta) sen jälkeen, kun spontaani symmetrian murtuminen (Higgsin mekanismi) ymmärrettiin 1960-luvulla.
Nykyaikaisia katsauksia perusteista
-
Arthur Jaffe, Edward Witten, Quantum Yang-Mills theory (pdf)
-
Simon Donaldson, Yang-Mills theory and geometry (2005) pdf
-
José Figueroa-O’Farrill, Gauge-teoria
-
Karen Uhlenbeck, Laura Fredricksonin muistiinpanot, Equations of Gauge Theory, luento Temple Universityssä, 2012 (pdf, pdf)
-
Simon Donaldson, Gauge Theory: Mathematical Applications, Encyclopedia of Mathematical Physics, Academic Press, Sivut 468-481, 2006 (doi:10.1016/B0-12-512666-2/00075-4, author pdf, pdf)
-
Mikio Nakahara, Section 10.5.4 of: Geometry, Topology and Physics, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)
Vrt. myös viittaukset kohdissa QCD, mittateoria, Yang-Mills-monopoli, Yang-Mills-instantoni ja super Yang-Mills-teoria.
Klassinen keskustelu YM-teoriasta yli Riemannin pintojen (joka liittyy läheisesti Chern-Simonsin teoriaan, ks. myös kohdasta moduli space of flat connections) on teoksessa
- Michael Atiyah, Raoul Bott, The Yang-Mills equations over Riemann surfaces, Filosofiset tapahtumat Lontoon kuninkaallisesta seurasta. Series A, Mathematical and Physical Sciences
Vol. 308, No. 1505 (Mar. 17, 1983), pp. 523-615 (jstor, lighning summary)
jota tarkastellaan luentomonisteessa
- Jonathan EvansAspects of Yang-Mills theory, (web)
Suhteesta instanton Floer-homologiaan ks. myös
- Simon Donaldson, Floer homology groups in Yang-Mills theory Cambridge University Press (2002) (pdf)
Suhteesta Tamagawan lukuihin katso
- Aravind Asok, Brent Doran, Frances Kirwan, Yang-Mills theory and Tamagawa numbers (arXiv:0801.4733)
Klassiset ratkaisut
Wu ja Yang (1968) löysivät staattisen ratkaisun lähteettömille SU(2)SU(2) Yang-Millsin yhtälöille. Viimeaikaisia viitteitä ovat muun muassa
- J. A. O. Marinho, O. Oliveira, B. V. Carlson, T. Frederico, Revisiting the Wu-Yang Monopole: classical solutions and conformal invariance
Tässä on vanha katsaus,
- Alfred Actor, Classical solutions of SU(2)SU(2) YangâMills teorioiden klassiset ratkaisut,
- Alfred Actor, Classical solutions of SU(2)SU(2) YangâMills theories, Rev. Mod. Phys. 51, 461â525 (1979),
jossa esitetään joitakin SU(2)SU(2)-mittariteorian tunnettuja ratkaisuja Minkowskin (monopolit, tasoaallot jne.) ja euklidisessa avaruudessa (instantonit ja niiden serkut). Yleisille mittausryhmille voidaan saada ratkaisuja upottamalla SU(2)SU(2)âs.
Jang-Millsin instantoneille tunnetaan yleisin ratkaisu, jonka ensin työstivät
- Michael Atiyah, Nigel Hitchin, Vladimir Drinfeld, Yuri Manin, Construction of instantons, Physics Letters 65 A, 3, 185â187 (1978) pdf
klassisille SU-, SO-, Sp-ryhmille ja sitten
- C. Bernard, N. Christ, A. Guth, E. Weinberg, Pseudoparticle Parameters for Arbitrary Gauge Groups, Phys. Rev. D16, 2977 (1977)
poikkeuksellisille Lie-ryhmille. Viimeisin käänne Yang-Millsin instantonitarinaan on sellaisten ratkaisujen rakentaminen, joilla on ei-triviaali holonomia:
- Thomas C. Kraan, Pierre van Baal, Periodic instantons with nontrivial holonomy, Nucl.Phys. B533 (1998) 627-659, hep-th/9805168
On olemassa hieno luentomoniste
- David Tong, TASI Lectures on Solitons (hep-th/0509216),
topologisista ratkaisuista, joilla on erilainen ko-ulottuvuus (instantonit, monopolit, vorteksit, domain walls). Huomaa kuitenkin, että instantoneja lukuun ottamatta nämä ratkaisut vaativat tyypillisesti ylimääräisiä skalaareja ja rikkinäisiä U(1)â:ita, kuten super-Jang-Mills-teorioissa voi esiintyä.
Joitakin tässä käytetyistä aineistoista on otettu kirjasta
- TP.SE, Which exact solutions of the classical Yang-Mills equations are known?
Toisen Yang-Mills-kenttiä sisältävän mallin ovat ehdottaneet Curci ja Ferrari, katso Curci-Ferrari-malli.
Katso myös
- DispersiveWiki, Yang-Mills-yhtälöt
.