Kuten kolmio 30-60-90 perustuu tasasivuiseen kolmioon, kolmio 45-45-90 perustuu neliöön, kolmiot 18-72-90 ja 36-54-90 säännönmukaiseen viisikulmioon (kts. https://robertlovespi.wordpress.com/2013/03/12/the-18-72-90-and-36-54-90-triangles/) ja 22.5-67,5-90-kolmio perustuu säännölliseen kahdeksankulmioon (ks. edellinen viesti), joten 15-75-90-kolmio perustuu säännölliseen kaksikulmioon, joka on tässä esitetty kolmella säteellä (punainen) ja yhdellä lävistäjällä (violetti). Kolmio 15-75-90 on esitetty keltaisella. Symmetria-argumentti riittää osoittamaan, että kulma EFC on tämän kolmion suorakulmainen kolmio, ja sen kahdesta terävästä kulmasta (kulma FCE) suurempi on puolet tämän kaksikulmion sisäkulmasta. Säännöllisen kaksikulmion sisäkulma on 150 astetta (todistus tästä on triviaali), joten kulman FCE on oltava puolet tästä eli 75 astetta. Jäljelle jää 15 astetta kulmalle CEF kolmiosumman lauseen kautta.
Mutta entä kolmion 15-75-90 sivupituudet? Tarkastellaan ensin esitettyjä punaisia lävistäjiä ja annetaan niiden kunkin pituudeksi 2. Kulmat DAF ja FAE mittaavat kumpikin 30 astetta, koska 360/12 = 30, ja ne ovat vierekkäisten säteiden välisiä keskuskulmia. Tämä tekee kulmasta DAE 60 astetta kulmien yhteenlaskun avulla, ja kolmion DAE tiedetään olevan tasakylkinen, koska kaksi punaista sivua ovat saman säännöllisen kaksikulmion säteitä ja siten yhteneviä. Tasakylkisen kolmion lauseen ja kolmiosumman lauseen mukaan kulmat ADE ja AED ovat myös kumpikin (180-60)/2 = 60 astetta, joten kolmio ADE on siis tasasivuinen, ja myös violetin sivun DE pituus on kaksi. Symmetria riittää näkemään, että DE:n halkaisee säde AC, mistä voidaan päätellä, että 15-75-90-kolmion pitkän jalan EF pituus on 1.
Segmentti AF on tasasivuisen kolmion ADE mediaani ja siten myös korkeus, ja jakaa sen kahdeksi 30-60-90-kolmioksi, joista toinen on kolmio AEF. Sen hypotenuusan AE tiedetään jo olevan 2, kun taas sen lyhyen jalan EF tiedetään olevan 1. Segmentti AF on siis tämän 30-60-90 kolmion pitkä jalka, jonka pituus on √3.
AF, jonka pituus on √3, ja FC, joka on 15-75-90-kolmion lyhyt jalka, muodostavat yhdessä kaksikulmion säteen AC, jonka pituudeksi on jo asetettu 2. Pituuden vähennyslaskun avulla FC:n, 15-75-90-kolmion lyhyen jalan, pituus on siis 2 – √3. Tässä vaiheessa on järkevää tehdä koe ottamalla keltaisen kolmion 15 asteen kulman FEC tangentti. Tan(15 astetta) on 0,26794919…, joka on myös FC/EF:n desimaalinen approksimaatio eli (2 – √3)/1.
Kolmion 15-75-90 sivujen pituussuhteiden selvittämiseksi jäljelle jää vain sen hypotenuusan EC:n pituus Pythagoraan lauseen avulla. EC:n pituuden neliön on oltava yhtä suuri kuin 1:n neliö plus (2 – √3) neliö, joten EC:n neliö on 1 + 4 – 4√3 + 3 eli 8 – 4√3. Hypotenuusan (EC) on siis oltava 8 – 4√3:n neliöjuuri eli √(8-4√3)) = 2√(2-√3)).
Lyhyen jalan:pitkän jalan:hypotenuusan suhde 15-75-90 kolmiossa on siis (2-√3):1:2√(2-√3))).