Suodatetun takaprojisoinnin tekniikka on yksi vakiintuneimmista algoritmisista tekniikoista tähän ongelmaan. Se on käsitteellisesti yksinkertainen, viritettävä ja deterministinen. Se on myös laskennallisesti vaatimaton, sillä nykyaikaiset skannerit vaativat vain muutamia millisekunteja kuvaa kohti.Tämä ei kuitenkaan ole ainoa käytettävissä oleva tekniikka: alkuperäisessä EMI-skannerissa tomografinen rekonstruktio-ongelma ratkaistiin lineaarialgebran avulla, mutta tätä lähestymistapaa rajoitti sen suuri laskennallinen monimutkaisuus, varsinkin kun otetaan huomioon tuolloin käytettävissä ollut tietokonetekniikka. Viime aikoina valmistajat ovat kehittäneet iteratiivisia fysikaaliseen malliin perustuvia maksimaalisen todennäköisyyden odotusarvojen maksimointitekniikoita. Nämä tekniikat ovat edullisia, koska niissä käytetään skannerin fysikaalisten ominaisuuksien ja röntgensäteiden vuorovaikutuksen fysikaalisten lakien sisäistä mallia. Aikaisemmat menetelmät, kuten suodatettu takaprojektio, edellyttävät täydellistä skanneria ja hyvin yksinkertaistettua fysiikkaa, mikä johtaa useisiin artefakteihin, suureen kohinaan ja heikentyneeseen kuvan resoluutioon. Iteratiivisilla tekniikoilla saadaan kuvia, joiden resoluutio on parempi, kohina vähäisempi ja artefaktit vähäisempiä, sekä mahdollisuus pienentää säteilyannosta huomattavasti tietyissä olosuhteissa. Haittapuolena on erittäin suuri laskentavaatimus, mutta tietotekniikan ja korkean suorituskyvyn laskentatekniikoiden kehittyminen, kuten erittäin rinnakkaisten GPU-algoritmien käyttö tai erikoislaitteistojen, kuten FPGA:iden tai ASIC:ien, käyttö mahdollistaa nyt käytännön käytön.
Perusperiaate Muokkaa
Tässä jaksossa selitetään tomografian perusperiaate siinä tapauksessa, että käytetään erityisesti rinnakkaissäteilyä hyödyntävää optista järjestelmää hyödyntävää tomografiaa.
Tomografia on tekniikka, jossa käytetään tomografista optista järjestelmää virtuaalisten ”viipaleiden” (tomografiakuvan) saamiseksi skannatun kohteen tietystä poikkileikkauksesta, minkä ansiosta käyttäjä voi nähdä kohteen sisäpuolelle leikkaamatta. On olemassa useita erityyppisiä optisia tomografiajärjestelmiä, mukaan lukien rinnakkaissäteilyä hyödyntävä optinen järjestelmä. Rinnakkaissäteilyä käyttävä optinen järjestelmä on ehkä helpoin ja käytännöllisin esimerkki tomografisesta optisesta järjestelmästä, joten tässä artikkelissa ”Tomografisen kuvan saaminen” selitetään ”rinnakkaissäteilyä käyttävän optisen järjestelmän” avulla. Tomografiassa resoluutiota kuvataan tyypillisesti Crowtherin kriteerillä.
Kuvassa 3 on tarkoitus havainnollistaa matemaattista mallia ja tomografian periaatetta. Kuvassa 3 absorptiokerroin kohteen poikkileikkauskoordinaatistossa (x, y) mallinnetaan muodossa μ(x, y). Edellä esitettyihin oletuksiin perustuva tarkastelu voi selventää seuraavia asioita. Siksi tässä jaksossa selitys etenee järjestyksessä seuraavasti:
- (1)Mittaustulokset eli läpäisevällä valolla saatu kuvasarja ilmaistaan (mallinnetaan) funktiona p (s,θ), joka saadaan suorittamalla radon-muunnos μ(x, y):lle, ja
- (2)μ(x, y) palautetaan suorittamalla käänteinen radon-muunnos mittaustuloksille.
(1)Mittaustulokset p(s,θ) samansuuntaisen säteilyn säteilyn optisen järjestelmänEdit
Tarkastellaan matemaattista mallia siten, että kohteen absorptiokerroin kussakin (x,y)-kohteessa esitetään μ(x,y):llä, ja oletetaan, että ”läpäisysäde tunkeutuu läpi ilman diffraktiota, diffuusiota tai heijastusta, vaikkakin kohde absorboituu siihen, ja sen vaimenemisen oletetaan tapahtuvan Beer-Lambertin lain mukaisesti.Tässä asiassa se, mitä haluamme tietää”, on μ(x,y) ja se, mitä voimme mitata, on seuraava p(s,θ).
Kun vaimeneminen on Beer-Lambertin lain mukaista, suhde I 0 {\displaystyle {I}_{0}}}
ja I {\displaystyle I}
on seuraava (yht.1) ja näin ollen absorbanssi ( p l {\displaystyle p_{l}}
) valonsäteen kulkureitillä (l(t)) on seuraava (yht.2). Tässä I 0 {\displaystyle {I}_{0}}}
on valonsäteen intensiteetti ennen lähetystä I {\displaystyle I}
on intensiteetti lähetyksen jälkeen. I = I 0 exp ( – ∫ μ ( x , y ) d l ) = I 0 exp ( – ∫ – ∞ ∞ μ ( l ( t ) ) ) | l ˙ ( t ) | d t ) {\displaystyle I=I_{0}\exp \left({-\int \mu (x,y)\,dl}\right)=I_{0}\exp \left({-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (l(t))\,|{\dot {l}}(t)|dt}\right)}
(yht. 1) p l = ln ( I / I 0 ) = – ∫ μ ( x , y ) d l = – ∫ – ∞ ∞ μ ( l ( t ) ) ) | l ˙ ( t ) | d t {\displaystyle p_{l}=\ln(I/I_{0})=-\int \mu (x,y)\,dl=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (l(t))\,|{\dot {l}}(t)|dt}
(yht. 2)
Tässä valonlähteestä valkokankaalle suuntautuva suunta määritellään t-suunnaksi ja t-suuntaan nähden kohtisuorassa oleva ja valkokankaan suuntainen suunta määritellään s-suunnaksi. (Sekä t-s- että x-y-koordinaattijärjestelmät on asetettu siten, että ne heijastuvat toisiinsa ilman peilimuunnosta.)
Käyttämällä samansuuntaisen säteilyn optista järjestelmää voidaan kokeellisesti saada läpivalaisukuvasarja (yksiulotteinen kuva” pθ(s) skannatun kohteen tietystä poikkileikkauksesta) kullekin θ:lle. Tässä θ edustaa kohteen ja läpäisevän valonsäteen välistä kulmaa. Kuvassa 3 X-Y-taso pyörii vastapäivään tason alkupisteen ympäri siten, että ”valonlähteen (2) ja näytön (7) keskinäinen sijaintisuhde säilyy radan (5) läpi kulkevan valonlähteen (2) ja näytön (7) välillä”. Kiertokulma on tässä tapauksessa sama kuin edellä mainittu θ.
Säde, jonka kulma θ,to on lays-kokoelma, jota edustaa l ( t ) {\displaystyle {l}_{}(t)}
seuraavista (yhtälö 3). l ( t ) = t + {\displaystyle {l}_{}(t)=t{\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\\\cos \theta \\\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}s\cos \theta \\\s\sin \theta \\\\\\end{bmatrix}}}
(eq. 3)
Pθ(s) määritellään seuraavasti (yhtälö 4). Että p θ ( s ) {\displaystyle p_{\theta }(s)}
on yhtä suuri kuin linjan μ(x,y) integraali pitkin l ( t ) {\displaystyle {l}_{}(t)}
(yhtälön 3) samalla tavalla kuin (yhtälön 2). Tämä tarkoittaa, että p ( s , θ ) {\displaystyle p(s,\theta )}
seuraavasta (yht. 5) on μ(x,y) Radon-muunnoksen resultantti. p θ ( s ) = – ∫ – ∞ ∞ μ ( s cos θ – t sin θ , s sin θ + t cos θ ) d t {\displaystyle p_{\theta }(s)=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (s\cos \theta -t\sin \theta ,s\sin \theta +t\cos \theta )\,dt}}
(yht. 4)
Voidaan määritellä seuraava kahden muuttujan funktio (yht. 5). Tässä artikkelissa seuraavaa p(s, θ) kutsutaan ”läpivalaisukuvien kokoelmaksi”.
p (s, θ)=pθ(s) (eq. 5)
(2)μ(x, y) palautetaan suorittamalla käänteinen radon-muunnos mittaustuloksilleEdit
”Se, mitä haluamme tietää (μ(x,y))” voidaan rekonstruoida ”siitä, mitä mittasimme ( p(s,θ))” käyttämällä käänteistä radon-muunnosta .Edellä mainituissa kuvauksissa ”se, mitä mittasimme” on p(s,θ) . Toisaalta ”Mitä haluamme tietää” on μ(x,y). Joten seuraavaksi on ”Miten rekonstruoida μ(x,y) p(s,θ):sta”.